2018-2019学年湖北省黄石市九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0
3．（3分）一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（ ）
A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6
4．（3分）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
5．（3分）将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5
C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3
6．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
7．（3分）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
8．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=4，CD=5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（ ）
A． B． C． D．4
9．（3分）如图已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB和AC于点E、F，给出以下五个结论正确的个数有（ ）
①AE=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），S四边形AEPF=S△ABC．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴是x=﹣1．下列结论：①ab＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+2c＜0；④8a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
12．（3分）将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．
13．（3分）点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．（3分）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′= ．
16．（3分）二次函数y=x2﹣2x﹣5的最小值是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（7分）解方程
（1）x（x﹣2）+x﹣2=0
（2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．
18．（7分）已知，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限抛物线上方的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
19．（7分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为点D，AB=12，OD=8，求⊙O半径的长．
20．（8分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，求a2﹣a+b+3ab的值．
21．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．
23．（8分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
24．（9分）我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．C．
3．D．
4．A．
5．D．
6．A．
7．B．
8．A．
9．D．
10．C．
二．填空题
11．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
12．
【解答】解：x2﹣6x+5=0，
x2﹣6x=﹣5，
x2﹣6x+9=﹣5+9，
（x﹣3）2=4，
所以a=3，b=4，
ab=12，
故答案为：12．
13．
【解答】解：
∵y=2x2﹣4x+c，
∴当x=﹣3时，y1=2×（﹣3）2﹣4×（﹣3）+c=30+c，
当x=2时，y2=2×22﹣4×2+c=c，
当x=3时，y3=2×32﹣4×3+c=6+c，
∵c＜6+c＜30+c，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
14．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°．
15．
【解答】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，
∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；
由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，
故答案为30°．
16．
【解答】解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为：﹣6
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．
【解答】解：（1）x（x﹣2）+x﹣2=0
（x﹣2）（x+1）=0
x﹣2=0或x+1=0
x1=2，x2=﹣1；
（2）（x﹣2）（x﹣5）=﹣2
x2﹣7x+12=0
（x﹣3）（x﹣4）=0
x﹣3=0或x﹣4=0
x1=3，x2=4．
18．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），OC=3OB，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3），
将点B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，
或，
解得：或，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．
（2）过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，如图所示．
∵a＞1，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
当y=0时，有x2+2x﹣3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
利用待定系数法可求出线段AC所在直线的解析式为y=﹣x﹣3．
∵点D的横坐标为m，
∴点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），点E的坐标为（m，﹣m﹣3），
∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，
∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+m）（﹣3＜m＜0）．
∵﹣＜0，且S=﹣（m2+m）=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，S取最大值，最大值为．
19．
【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×12=6，
在Rt△AOD中，OA===10，
即⊙O半径的长为10．
20．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴a+b=2，ab=﹣1，a2﹣2a=1，
a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0．
21．
【解答】解：（1）由题意得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，而∠CAE=100°，
∴∠ACE==40°．
22．
【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD=2PQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴PD2=AP2+AD2，PQ2=BP2+BQ2，
∵PD2=4 PQ2，
∴82+（2t）2=4[（10﹣2t）2+t2]，
解得：t1=3，t2=7；
∵t=7时10﹣2t＜0，
∴t=3，
答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，
则×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10=80﹣24，
整理得x2﹣8x+16=0
解得x1=x2=4．
23．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，
得，解得，
则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，
整理，得x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4．
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
=﹣80x2+800x﹣1760
=﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，w有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
24．
【解答】解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD=AB′=BC，
故答案为．
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．
理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD=B′C′=BC=4，
故答案为4．
（2）猜想．
证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，
∴QB'=AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，
∵∠BAC+∠B'AC'=180°，
∴∠QB'A=∠BAC，
又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ=BC=2AD，
即．
25．
【解答】解：（1）∵OA=1，OB=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
代入y=﹣x2+bx+c，得
解得 b=2，c=3．
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．
∴PE⊥CD，PE=PA．
由y=﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
∴DF=CF，
∴△DCF为等腰直角三角形．
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
∴△DEP为等腰三角形．
设P（1，m），
∴EP2=（4﹣m）2．
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2
∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．
整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2．
∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．
如图，连结CQ、CB、CM，
∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴∠CBQ=45°，BC=3．
由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，
∴∠CBQ=∠CDM．
∴△DCM∽△BQC分两种情况．
当=时，
∴=，解得 DM=．
∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．
∴M1（1，）．
当时，
∴=，解得 DM=3．
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．
∴M2（1，1）．
综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．
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