山西省太原市第五中学2018-2019学年高二上学期10月月考试题数学（理）Word版含答案.doc

密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 太原五中2018-2019学年度第一学期阶段性检测 高 二 数 学（理）‎ ‎ 出题人、校对人：刘锦屏、李廷秀、闫晓婷（2018.10）‎ 一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）‎ ‎1.已知是两条平行直线，且平面，则与的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．在平面内 D．平行或在平面内 ‎2．若某多面体的三视图（单位：）如图所示，且此多面体的体积，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ x,’‎ O’‎ y’‎ C’‎ B’‎ A’‎ ‎3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形，且，平行于轴，则这个平面图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知圆柱的高等于，侧面积等于，则这个圆柱的体积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎6.如图，长方体中，，为上一点，则异面直线与所成角的大小是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．随点的移动而变化 ‎7.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（　　）‎ A． B．平面 C． D．平面 ‎8.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的正方形，且面，四棱锥的体积为，则该球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在长方体中，分别在线段和上，，则三棱锥体积的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是　 .‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是 边长为的正方形，则该几何体的表面积为　 . ‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎13.已知圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 . ‎ ‎14. 如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足　 　时，有平面． ‎ ‎15.如图，在直四棱柱中，底面是正方形，．记异面直线与所成的角为，则 　 　.‎ 三、 解答题（每小题10分，共40分）‎ ‎16.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，， 为的中点，过的平面与交于点．‎ ‎（1）求证：点为的中点；‎ ‎（2）四边形是什么平面图形？说明理由，并求其面积．‎ A B C D E F A’‎ B F D E ‎17.如图，边长为4的正方形中：‎ ‎（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.求证：；‎ ‎（2）当时，求三棱锥的体积.‎ B1‎ A1‎ M C B A C1‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.在四棱锥中，底面为正方形，.‎ ‎（1）证明：面⊥面；‎ ‎（2）若与底面所成的角为， ，求二面角的余弦值．‎ 一、选择题（每小题4分，共40分）高二数学（理）‎ ‎1.已知是两条平行直线，且平面，则与的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．在平面内 D．平行或在平面内 ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 解析：因为是两条平行直线，且平面，所以与的位置关系是或在平面内，故选：D．‎ ‎2．若某多面体的三视图（单位：）如图所示，且此多面体的体积，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，高为，底边长为，底面高为，‎ 顶点在底面上的射影是等腰三角形的顶点，所以，‎ 解得．故选：A．‎ ‎3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形，且，平行于轴，则这个平面图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：根据斜二测画法的规则可知：‎ 水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为，高为，‎ 下底为，∴该图形的面积为．故选：B．‎ ‎4.已知圆柱的高等于，侧面积等于，则这个圆柱的体积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：圆柱的高等于，侧面积等于，可得，可得，‎ 所以圆柱的体积为：．故选：D．‎ ‎5.若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解析：对于A，若，显然结论错误，故A错误；‎ 对于B，若，则或异面，故B错误；‎ 对于C，若，则 ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；‎ 对于D，若，则位置关系不能确定，故D错误．故选：C．‎ ‎6.如图，长方体中，，为上一点，则异面直线与所成角的大小是（　　）‎ A． B． C． D．随点的移动而变化 解析：∵面，∴为在面内的射影，又，∴，∴，异面直线与所成角的大小是．所以故选C．‎ ‎7.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（　　）‎ A． B．平面 C． D．平面 解析：∵在正方体中，分别是的中点， ‎ ‎∴以为原点，为轴，为轴，为轴，，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体中，棱长为，‎ 则，‎ ‎，故A正确；‎ ‎，‎ 又，平面，故B成立；‎ ‎，∴和不平行，故C错误；‎ 平面的法向量，‎ 又平面，平面，故D正确．故选：C．‎ ‎8.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为 ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 A． B． C． D．‎ 解析：如图所示：‎ 连接交于点，连接，在正方体中，∵AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D，‎ 又A1D⊥AD1，且AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面AD1C1B，所以∠A1C1O即为所求角，‎ 在Rt△A1C1O中，，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，‎ 故选D．‎ ‎9.已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为的正方形，且面，四棱锥的体积为，则该球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：四棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，‎ 由四棱锥的体积为，解得；，解得；‎ ‎∴外接球的体积为．故选：B．‎ ‎10. 在长方体中，分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解析：如图 ‎∵D到平面MC1N的距离为定值，‎ ‎△MC1N的一边长MN=2，，‎ ‎∴要使三棱锥D﹣MNC1的体积最小，则C1 到直线MN的距离最小，此时MN在AC 或AA1上，C1 到直线MN的距离为5，‎ 则三棱锥D﹣MNC1的体积最小值为V=．故选：A．‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是　 .‎ 解析：分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为的正方形，则该几何体的表面积为　 .‎ 解析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为，棱柱的高为，其左侧面与底侧面都是边长为的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积，答案为：．‎ ‎13.已知圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 . ‎ 解析：设圆锥的底面半径为，母线为，因为圆锥的表面积是，所以，又因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，代入①可得，所以圆锥的底面直径为 . ‎ ‎14. 如图所示，在正方体中，分别是棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足　　时，有平面．‎ 解析：∵HN∥DB，FH∥D1D，∴面FHN∥面B1BDD1．‎ ‎∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，‎ 故M∈FH．故答案为：M在线段FH上.‎ ‎15.如图，在直四棱柱中，底面是正方形，．记异面直线与所成的角为，则 ‎ 解：方法一：∵在直四棱柱中，底面是正方形，‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎．‎ ‎，是异面直线与所成的角（或所成的角的补角），‎ 设，‎ 记异面直线与所成的角为，则 ，故答案为：．‎ 方法二：向量法.‎ 三、解答题（每小题10分，共40分）‎ ‎16.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，， 为的中点，过的平面与交于点．‎ ‎（1）求证：点为的中点；‎ ‎（2）四边形是什么平面图形？说明理由，并求其面积．‎ 解析：（1）证明：三棱柱中，，平面，‎ 平面，平面，又平面，‎ 平面平面，，‎ 又为的中点，∴点为的中点；‎ ‎（2）四边形是直角梯形，理由为：‎ 由（1）知，，且，∴四边形是梯形；‎ 又侧棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；又AB=6，BC=8，AC=10，‎ ‎∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1；‎ 又BF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥BF；∴梯形ABFE是直角梯形；‎ 由BB1=3，B1F=4，∴BF=5；又EF=3，AB=6，‎ ‎∴直角梯形ABFE的面积为S=×（3+6）×5=．‎ ‎17.如图，边长为的正方形中：‎ ‎（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.求证：；‎ A B C D E F A’‎ B F D E ‎（2）当时，求三棱锥的体积.‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 解析：（1）证明：由正方形可知：，‎ 平面，.‎ ‎（2）正方形边长为4，故折叠后，‎ 故的面积，由（1）知，可得三棱锥的体积.‎ B1‎ A1‎ M C B A C1‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ 解析：（1）证明：连接交于,连接.在三角形中，‎ 是三角形的中位线，‎ 所以∥,‎ 又因平面，‎ 所以∥平面. ‎ ‎（2）方法一：设直线与平面所成角为，‎ 点到平面的距离为，不妨设，则，‎ 因为,，‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以,.‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，. ‎ 方法二：如图以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.‎ x y z A B C A1‎ B1‎ C1‎ M 则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有 ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 ‎,,，‎ 令,得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则. ‎ ‎19.在四棱锥中，底面为正方形，.‎ ‎（1）证明：面⊥面；‎ ‎（2）若与底面所成的角为3，，求二面角的余弦值．‎ 解析：（1）证明：连接AC，BD交点为O，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PB=PD，OB=OD，∴BD⊥OP，‎ 又∵OP∩AC=O，∴BD⊥面PAC，‎ 又BD⊂面PAC，∴面PAC⊥面ABCD．…（4分）‎ ‎（2）方法一：∵面PAC⊥面ABCD，过点P作PE⊥AC，垂足为E，‎ ‎∴PE⊥面ABCD，‎ ‎∵PA与底面ABCD所成的角为30°，∴∠PAC=30°，‎ 又PA⊥PC，设PC=2，‎ 则AP=2，PE=，AE=3，AC=4，AD=2，…（6分）‎ 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（，，），‎ 设面PBC法向量为=（x，y，z），=（0，2，0），=（﹣，﹣，），‎ 则，令z=1，则=（），‎ 同理面PCD的法向量=（0，，1），…（10分）‎ cos＜＞===．‎ 由图知二面角B﹣PC﹣D的平面角是钝角，‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…（12分）‎ 方法二：∵面PAC⊥面ABCD，过点P作PE⊥AC，垂足为E，‎ ‎∴PE⊥面ABCD，‎ ‎∵PA与底面ABCD所成的角为30°，∴∠PAC=30°，又PA⊥PC，设PC=2，‎ 则AP=2，PE=，AE=3，AC=4，AD=2，‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页 密 封 线 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 内 不 得 答 题 在三角形BEC中，∠BCE=45°，由余弦定理可得，解得，‎ 在直角三角形PBE中：，‎ 同理：在三角形DEC中，∠DCE=45°，由余弦定理可得，解得，在直角三角形PDE中：，‎ 都是等腰三角形，设点是中点，则为二面角的平面角，易知，‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．‎ ‎ 高二数学（理） 第17页,共20页 高二数学（理） 第18页,共20页