单元综合检测四 三角形
(80分钟 120分)
一、选择题(每小题4分,满分32分)
1.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是 (A)
A.22° B.28°
C.50° D.30°
【解析】如图,∵a∥b,∴∠4=∠1=50°,由三角形的外角性质得∠3=∠4-∠2=50°-28°=22°.
2.在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为10,AC边的长度可以在3,5,7,9,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵∠ABC=30°,AB=10,∴AD=AB=5.当AC=3时,没有符合条件的三角形;当AC=5时,可作1个三角形;当AC=7时,可作2个三角形;当AC=9时,可作2个三角形;当AC=11时,可作1个三角形.所以满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个.
3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是 (C)
A.45° B.55° C.65° D.75°
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【解析】设这个角的度数是x,根据题意得180-x=4(90-x)+15,解得x=65.
4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是 (B)
A.AD=BE B.∠C=∠F
C.AC=DF D.BC=EF
【解析】∵BC∥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F,不能判断△ABC≌△DEF.
5.如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为 (A)
A.4∶9 B.2∶5
C.2∶3 D.
【解析】四边形ABCD和A'B'C'D'的相似比为2∶3,所以四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为4∶9.
6.点D,E分别在等边△ABC的边BC,AC上,BD=CE,AD与BE相交于点O,则∠AOE的度数是 (C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【解析】由等边△ABC得∠ABC=60°,易证△ABD≌△BCE,得∠BAD=∠CBE,∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=60°.
7.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为 (B)
A. B.+1
C.+1 D.+1
7
【解析】取AB的中点M,连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时,CE的值最大,∵将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2,∵E为BC'的中点,∴EM=AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2,∴CM=AB=,∴CM+EM=+1.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,O是AB的中点,D,E分别是边AC,BC上的动点.下列结论:①若∠DOE=90°,则四边形CDOE的面积是定值;②若AD=CE,则∠DOE=90°;③若∠DOE=45°,则△AOD与△BEO相似;④若△AOD与△BEO相似,则∠DOE=45°.其中正确的是 (C)
A.①② B.①③④ C.①②③ D.①②③④
【解析】连接OC.∵AC=BC,O是AB的中点,∴OC⊥AB,∵∠ACB=90°,∴OC=AO=BO,∴∠A=∠ACO=∠BCO=∠B=45°.∵∠DOE=90°,∴∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE,∴S四边形CDOE=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△AOC=S△ABC,即四边形CDOE的面积是定值,故①正确;∵AD=CE,易证△AOD≌△COE,由OC⊥AB可得∠DOE=90°,故②正确;∵∠DOE=45°,∴∠AOD+∠BOE=135°,∵∠AOD+∠ADO=135°,∴∠BOE=∠ADO,∵∠A=∠B,∴△AOD∽△BEO,故③正确;△AOD与△BEO相似分两种情况:△AOD∽△BEO或△AOD∽△BOE,故④不正确.
二、填空题(每小题5分,满分15分)
9.如图,AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D,若∠CBD=30°,则∠A的度数为 40° .
【解析】设∠A的度数为x,∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=x,又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=x+30,根据题意得x+2(x+30)=180,解得x=40,即∠A=40°.
10.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的一点,连接BE并延长,交CD的延长线于点F,若AE∶ED=2∶1且平行四边形ABCD的面积为24,则△DEF的面积是 2 .
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【解析】∵ED∶AE=1∶2,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴,∵AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△CBF,,∴,∴S△AEB=4S△DEF,S四边形BCDE=8S△DEF,∴4S△DEF+8S△DEF=24,解得S△DEF=2.
11.如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c,给出以下几个结论:
①如果AD是BC边中线,那么CE是AB边中线;②AE的长度为;③BD的长度为;④若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,则S=AE·BD.
其中正确的结论是 ②③④ .(将正确结论的序号都填上)
【解析】当AD是BC边中线时,则BD=CD,∵△ABD与△ACD的周长相等,∴AB=AC,但此时不能得出AC=BC,即不能得出CE是AB的中线,故①不正确;∵△ABD与△ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,∴AB+BD+AD=AC+CD+AD,∴AB+BD=AC+CD,∵AB+BD+CD+AC=a+b+c,∴AB+BD=AC+CD=,∴BD=-c=,同理AE=,故②③正确;当∠BAC=90°时,则b2+c2=a2,∴AE·BD=[a+(c-b)][a-(c-b)]=[a2-(c-b)2]=[a2-(c2+b2-2bc)]=×2bc=bc=S,故④正确.
三、解答题(满分73分)
12.(8分)计算:sin2 45°+3tan 30°-3tan 60°·cos 30°.
解:原式=+3×-3×
=
=-4+.
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13.(12分)如图1,直线l上有两个点A,B,图中有=1条线段;如图2,直线l上有三个点A,B,C,图中有=3条线段;如图3,直线l上有四个点A,B,C,D,图中有=6条线段;….
(1)图4中有多少条线段?
(2)猜想:若直线l上有n个不同的点,则图中有 条线段.(用含n的代数式表示)
(3)应用:春节期间,10位朋友之间互通电话问候,且每两位朋友之间只通一次电话,则这10位朋友之间需通多少次电话?
解:(1)=10(条).
(2).
(3)当n=10时,=45(次).
∴这10位朋友之间需通45次电话.
14.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD.
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
解:(1)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∠B=∠C,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠ADC,
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
在Rt△ADB中,AD==12,
∵·AD·BD=·AB·DE,
∴DE=.
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15.(13分)《男生女生向前冲》是安徽卫视重磅推出的大型户外竞技类真人秀节目,一经推出就受到全国电视观众的青睐.体育爱好者小张站在200米高的楼房(CD)的顶端C处测得冲关赛道“亚洲一号”的起点A的俯角是45°,测得终点B的俯角是30°.
(1)求冲关赛道“亚洲一号”AB的长度.(结果保留根号)
(2)预计冲关时间在60秒之内(含60秒)即可夺得2018年冲关王.小张在保证不落水的前提下,要想夺得2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是多少米/秒?(结果精确到0.1,参考数据:≈1.41,≈1.73)
解:(1)在Rt△ACD中,∵tan 45°=,∴AD=CD=200.
在Rt△BCD中,∵tan 30°=,∴BD==200.
∴AB=BD-AD=(200-200)米.
答:冲关赛道“亚洲一号”AB的长度为(200-200)米.
(2)设小张冲关的平均速度为x米/秒,根据题意,
得60x≥200-200,解得x≥2.4.
答:小张要想夺得2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是2.4米/秒.
16.(14分)已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE.
(1)如图1,求证:AD=CD;
(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.
解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF,
∵AC⊥BD,BF⊥CD,
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,
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∴∠DAE=∠GCF,
∴AD=CD.
(2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.
17.(14分)已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.
(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF.
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图2说明理由.
解:(1)连接AD.
∵∠A=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.
∵D为BC的中点,
∴AD=BC=BD,∠FAD=45°.
∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
(2)BE=AF.
理由:连接AD,如图所示.
∵∠ABD=∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF.
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