单元综合检测五 四边形
(80分钟 120分)
一、选择题(每小题4分,满分36分)
1.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于 (B)
A.60° B.72°
C.90° D.108°
【解析】设这个正多边形的边数为n,则(n-2)·180°=540°,解得n=5,所以这个正多边形的每一个外角等于=72°.
2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 (D)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
【解析】平行四边形的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分.菱形的性质:对边相等,邻边相等,对角相等,对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.比较得出D选项符合题意.
3.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是 (D)
A.OA=OC B.OE=DC
C.∠BOE=∠OBA D.∠OBE=∠OCE
8
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,OA=OC,故A正确;又∵点E是BC的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE=DC,故B正确;∵OE∥AB,∴∠BOE=∠OBA,故C正确;∵OB≠OC,∴∠OBE≠∠OCE,故D错误.
4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于 (D)
A.2 B.
C. D.
【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,OA=4,OB=3,∴AB==5,∴OH=.
5.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 (B)
A. B.2
C.+1 D.2+1
【解析】∵正方形ABCD的面积为1,∴BC=CD=1,又E,F是BC,CD的中点,∴CE=CF=,∴EF=,∴正方形EFGH的周长为4EF=4×=2.
6.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为 (C)
A.1 B.2
8
C.2 D.4
【解析】∵四边形AECF是菱形,AB=3,∴设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,∵四边形AECF是菱形,∴∠FCO=∠ECO,∵∠ECO=∠ECB,∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=3-x,解得x=1,∴CE=2,利用勾股定理得BC=,又∵AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积是AE·BC=2.
7.如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF,则下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的有 (D)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】如图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF,∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,∴∠CBF=∠FBH,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确;∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△CFG,∴FE=FG,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°,∴BF=EF=FG,故②正确;∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确;∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,∴∠BFC=∠BFH,∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确.
8.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD的延长线于点H,若=2,则的值为(A)
A. B. C. D.
8
【解析】设菱形ABCD的边长为3a.因为四边形ABCD是菱形,=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,因为AB∥CD,所以,所以HD=AB=a,HF=HB.因为AB∥CD,所以,所以BG=HB,所以.
9.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,连接BE交AC于点F,交AD于点H,连接DF并延长交AB于点G,则下列结论:①∠CFD=60°;②S△BGF=S△DHF;③△AHE≌△FGB;④△EDH∽△EFD.其中正确的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,∴∠BAE=90°+60°=150°,AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=15°,在正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠BAF=∠DAF=45°.在△ABF和△ADF中,AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ABF=∠ADF=15°,∴∠CFD=∠FAD+∠ADF=45°+15°=60°,故①正确;∵点F为正方形ABCD对角线AC上的点,∴BF=DF,∴△BGF≌△DHF,∴S△BGF=S△DHF,故②正确;∵∠AHE=∠HAB+∠ABH=90°+15°=105°,同理∠FGB=105°,∴∠AHE=∠FGB,∵∠AEH=∠FBG,而BF=DF≠AD=AE,∴△AHE与△FGB不全等,故③错误;∵∠DHE=60°+15°=75°,∠EDF=60°+15°=75°,∴∠DHE=∠EDF.又∵∠DEH=∠FED,∴△EDH∽△EFD,故④正确.
二、填空题(每小题5分,满分20分)
10.若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则这个多边形是 十二 边形.
【解析】设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=5×360°,解得n=12.
11.在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为 3或5 .
【解析】本题分两种情况讨论:①如图1,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF,又∵AB=CD,∴BE=CF=AB,∵BE+CF-EF=BC,即2AB-EF=BC,又∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8,∴AB=5;②如图2,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,同理可得BA=BE,CD=CF,又∵AB=CD,∴BE=CF=AB,∵BE+CF+EF=BC,∴2AB+EF=BC,∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB+2=8,∴AB=3.综上,AB的长为3或5.
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12.如图,四边形OABC为矩形,点A,C分别在x轴和y轴上,连接AC,点B的坐标为(4,3),∠CAO的平分线与y轴相交于点D,则点D的坐标为 .
【解析】过点D作DE⊥AC于点E,∵B(4,3),∴OA=4,OC=3,在Rt△ABC中,AC==5,∵AD平分∠CAO且DE⊥AC,DO⊥OA,∴△AOD≌△AED,∴AO=AE=4,DO=DE,∴CE=AC-AE=5-4=1,设OD=x,则DE=x,CD=3-x,在Rt△CDE中,∵CD2=DE2+CE2,∴(3-x)2=x2+12,解得x=,∴点D的坐标为.
13.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线,将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论:①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.其中正确的结论是 ①②③ .(填写所有正确结论的序号)
【解析】∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴AC⊥BD,CD=AD=1,∠DCB=90°,∠CBD=45°,BD=.∵△DGH是由△DCB绕点D顺时针旋转45°得到,∴DH=BD=AC=,DG=DC=1,∠H=∠CBD=45°,∠DGH=90°,∴△AEH与△GBE都是等腰直角三角形,GH∥AC,∴AE=AH=DH-AD=-1,EG=BG=BD-DG=-1,∴AE=EG,∴DE平分∠ADG,∠ADE=∠GDE=22.5°,于是可得∠CDF=∠CFD=67.5°,∴CF=CD=1,AF=AC-CF=-1,∴AF=EG=AE.由AF=EG,AF∥EG,可得四边形AEGF是平行四边形,又AF=AE,可得四边形AEGF是菱形,故①正确;∵AE=EG,ED=ED,∴△AED≌△GED(HL),故②正确;由四边形AEGF是菱形,得FG∥AB,∴∠GFC=∠BAC=45°,∴∠DFG=45°+67.5°=112.5°,故③正确;BC+FG=1+-1=,故④错误.
三、解答题(满分64分)
14.(10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
(1)给出以下条件:①OB=OD;②∠1=∠2;③OE=OF.请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在(1)中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
解:(1)若选①和②,在△BEO和△DFO中,∵∠1=∠2,OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO(ASA).
若选①和③,在△BEO和△DFO中,∵OB=OD,∠BOE=∠DOF,OE=OF,∴△BEO≌△DFO(SAS).
若选②和③,在△BEO和△DFO中,∵∠1=∠2,∠BOE=∠DOF,OE=OF,∴△BEO≌△DFO(AAS).
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(2)由(1)知△BEO≌△DFO,∴OB=OD,OE=OF,
∵AE=CF,∴OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
15.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,O是BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形,并说明理由.
解:(1)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠CBE=∠BCD,
∵点O是边BC的中点,∴OB=OC,
∵∠BOE=∠COD,∴△BOE≌△COD,∴OE=OD,
∴四边形BECD是平行四边形.
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=50°,
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,
∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,
∴OC=OD,∵OB=OC,OD=OE,∴DE=BC,
∵四边形BECD是平行四边形,∴四边形BECD是矩形.
16.(14分)如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
(1)求证:AG=GC;
(2)求证:AG2=GE·GF.
证明:(1)在菱形ABCD中,AD=CD,∠ADG=∠CDG,
又DG=DG,∴△AGD≌△CGD,∴AG=GC.
(2)在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠F=∠DCG,
由(1)得△AGD≌△CGD,∴∠DAG=∠DCG,∴∠F=∠DAG,
又∵∠AGF=∠EGA,∴△AGE∽△FGA,
∴,即AG2=GE·GF.
17.(14分)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.
(1)求证:DE=DC;
(2)求证:AF⊥BF;
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(3)当AF·GF=28时,请直接写出CE的长.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠DCE=∠CEB,
∵EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠CEB,
∴∠DCE=∠DEC,∴DE=DC.
(2)连接DF,∵DE=DC,F为CE的中点,
∴DF⊥EC,∴∠DFC=90°,
在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,
∴BF=CF=EF=EC,∴∠ABF=∠CEB,
∵∠DCE=∠CEB,∴∠ABF=∠DCF,∴△ABF≌△DCF,
∴∠AFB=∠DFC=90°,∴AF⊥BF.
(3)CE=4.
提示:∵AF⊥BF,∴∠BAF+∠ABF=90°,∵EH∥BC,∠ABC=90°,∴∠BEH=90°,∴∠FEH+∠CEB=90°,∵∠ABF=∠CEB,∴∠BAF=∠FEH,∵∠EFG=∠AFE,∴△EFG∽△AFE,∴,即EF2=AF·GF,∵AF·GF=28,∴EF=2,∴CE=2EF=4.
18.(14分)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.
(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC.
(2)若点P在线段AB上.
①如图2,连接AC,当P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;
②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分∠AEC时,求a∶b的值及∠AEC的度数.
解:(1)在正方形ABCD和正方形BPEF中,AB=BC,BP=BF=PE=EF,∠BFE=∠BPE=90°,
∴AP=CF,∴△APE≌△CFE(SAS),∴EA=EC.
(2)①△ACE为直角三角形.
理由:在正方形BPEF中,∠BPE=90°,∴∠APE=90°,
∵P为AB的中点,∴AP=BP.
∵BP=PE,∴AP=PE,∴∠PAE=∠PEA=45°,
在正方形ABCD中,∠CAB=45°,∴∠CAE=90°,
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∴△ACE为直角三角形.
②连接BE,∵EP平分∠AEC,∴∠AEP=∠CEP,
在正方形BPEF中,PE∥BF,∴∠CEP=∠ECF,
∴∠AEP=∠ECF.
∵∠APE=∠EFC=90°,∴△APE∽△EFC,
∴,∴,∴a2=2b2,∴a=b(舍负),
∴a∶b=∶1,
∴BE=BP=b,∠EBF=45°,
∴BE=BC,∴∠BEC=∠ECF,
∴∠EBF=∠BEC+∠ECF=2∠ECF.
∵∠AEC=2∠CEP,∠CEP=∠ECF,
∴∠AEC=∠EBF=45°.
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