大庆一中高三年级上学期第三阶段考试
数学（文科）试卷
出题人：贾桂华 审题人：刘丽
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜x2－3x－10＜0} B＝{x｜x＞3}，则右图中阴影部分表示的集合为( )北京四中网校
A．(－2，＋∞) B．(－2，5)
C．(3，5) D．(5，＋∞)
2.若，且，则( )
A． B. C.- D.-
3.已知函数则（ ）
A． B． C． D．
4.若复数满足，则复数的模为（ ）
A． B． C. D.
5.若点P(1,-2)位于角终边上，则=（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( )
7.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是，，，，则（ ）
A．7 B． C． D．或
8.在各项均为正数的等比数列中，若
等于（ ）
A．12 B．10 C．８ D．
9．设函数,若，且，则的最小值是( )
A． B． C． D．
10.要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( )
A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度
11.已知数列满足，则该数列的前2017项的乘积（ ）
A.2 B. C. D.—2
二. 填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分）
13. 已知向量与的夹角是，且，若，则实数_______.
14．已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为_____
15. 已知函数的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是_____________
16.已知 a∈ R，若实数 x， y满足 y＝－ x 2＋3ln x，则( a－x) 2＋( a＋2－y) 2
的最小值是_________．
三.解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
x
5
17.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
表二：女生
等级
优秀
合格
尚待改进
频数
15
3
y
(1)从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
男生
女生
总计
优秀
非优秀
总计
(2)由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
参考数据与公式：
临界值表：
P(K2＞k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
18.已知函数
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在中，角所对的边分别是，若且，试判断
的形状.
20.如右上图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝，
点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，
点F在线段AB上，且EF∥BC.
(1)证明：AB⊥平面PFE；
(2)若四棱锥P－DFBC的体积为7，求线段BC的长．
21.在平面直角坐标系中,已知点,为动点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点.若点在轴上,且 ，求点的纵坐标的取值范围.
22.已知函数在处取得极值.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）求证：对任意,都有
大庆一中高三年级上学期第三阶段考试文科数学试题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
D
B
C
D
B
B
D
C
A
C
13. 14. 18 15.(1,2) 16. 8
17.(1)设从高一年级男生中抽出m人，则＝，m＝25，则从女生中抽取20人，
∴x＝25－15－5＝5，y＝20－18＝2. …………2分
表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共10种．
设事件C表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种．……………4分,
∴P(C)＝＝，故所求概率为. ………………5分
(2)列联表如下：
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
…………7分
∵1－0.9＝0.1，P(K2≥2.706)＝0.10，
而K2＝＝＝＝1.125＜2.706， …………9分
∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”． …………10分
18．解：﹙1﹚
…………2分
……………3分
所以最小正周期,……………4分,
………………5分
﹙2﹚由，有，所以 ………………6分
因为，所以,即. ……………………8分
由余弦定理及，所以.……………10分
所以 所以.……………………………………………11分
所以为等边三角形. ……………………………………………12分
19．（1）由已知可得，即，即
∴ 数列是公差为1的等差数列 ……………………5分
（2）由（1）知，∴ ………………………8分
（3）由（2）知
………………10分
相减得：
…………………………12分
∴
20. (1)证明：如图，由DE＝EC，PD＝PC知，故PE⊥AC. …………1分
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PE⊥AB.……………4分,
因为∠ABC＝，EF∥BC，所以AB⊥EF.
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PFE.……………6分,
(2)解：设BC＝x，则在Rt△ABC中，AB＝＝.从而S△ABC＝AB·BC＝x.
由EF∥BC知，＝＝，得△AFE∽△ABC，故
＝()2＝，S△AFE＝S△ABC.由AD＝AE，得
S△AFD＝S△AFE＝·S△ABC＝S△ABC.
四边形DFBC的面积
S四边形DFBC＝S△ABC－S△AFD＝S△ABC＝x. ……………8分,
由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P－DFBC的高．
在Rt△PEC中，PE＝＝＝2 .……………10分,
所以VP－DFBC＝·SDFBC·PE＝·x·2＝7.
故x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27.
因为x＞0，所以x＝3或x＝3.
所以BC＝3或BC＝3. ……………12分
21.解：（1）设动点的坐标为,依题意可知,
整理得 ,所以动点的轨迹的
方程为 , ……4分
（2）当直线的斜率不存在时,满足条件的点的纵坐标为 ； ……………5分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
将代入并整理得,
.
设,,则,
设的中点为,则,,
所以 . …………8分
由题意可知,
又直线的垂直平分线的方程为.
令解得 ……………10分
当时,因为,所以;
当时,因为,所以
综上所述,点纵坐标的取值范围是 …………………12分
22.解： (1), ………………1分
由已知得，即，解得. ………………………3分
当时,在处取得极小值,所以
. ………………………4分
（2），，
令得，令得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增， ……………………5分
①当时，在上单调递增，；
②当时，，在上单调递减，在上单调递增，
；
③当时，，在上单调递减，.
综上，在上的最小值 ……………… 9分
(3)由(1)知, .
令，得，因为，
所以，时，. ……………… 11分
所以,对任意,都有. ……………12分
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