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益阳市箴言中学2016—2017学年高二12月月考
文科数学试题
(时间：120分钟 满分：150分 )
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．不等式x(9－x)＞0的解集是 ( )
A．(0，9) B．(9，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，0)∪(9，＋∞)
2．下列命题中正确的是 ( )
A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b， 2c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )
A．37 B．36 C．20 D．19
4．抛物线y=x2的准线方程是（ ）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D． x=﹣2
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝ ( )
A. B. C. D.
6、已知a、b为实数，则“2a>2b”是“lna>lnb”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，则边a的长为 ( )
A．10 B．20 C．20 D.
8．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( )
A．16 B．32 C．48 D．64
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
10．若实数x，y满足则S＝2x＋y+1的最大值为( )
A．8 B．4 C．3 D．2
11．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（ ）
A．（4，7） B．（5.5，7） C．（7，+∞） D． （﹣∞，4）
12．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D． ﹣=1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知0＜x＜6，则(6－x)·x的最大值是________．
14、
15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图
所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB
与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最
后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且
座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．
16．等腰Rt△ABC中，斜边，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率是 _________ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．)
17．(本小题满分10分)设：，：，且p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18、(本小题满分12分)已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
19． (本小题满分12分)在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．
20．(本小题满分12分)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＝an＋1－an，bn＋1＝2bn＋2.
(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；
(2)求数列{an}的通项公式．
21．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的过点（0，1），离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．
高二文科数学月考试卷答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，)
1．不等式x(9－x)＞0的解集是( A )
A．(0，9) B．(9，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，0)∪(9，＋∞)
2．下列命题中正确的是( C )
A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列
B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列
C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b， 2c是等比数列
D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列
3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( A )
A．37 B．36 C．20 D．19
4．抛物线y=x2的准线方程是（ A ）
A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D． x=﹣2
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝( B )
A. B. C. D.
6、已知a、b为实数，则“2a>2b”是“lna>lnb”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，A＝135°，C＝30°，c＝20，则边a的长为( B )
A．10 B．20 C．20 D.
8．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为( D )
A．16 B．32 C．48 D．64
9．在△ABC中，若acos B＝bcos A，则△ABC是 (A )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
10．若实数x，y满足则S＝2x＋y+1的最大值为( A )
A．8 B．4 C．3 D．2
11．已知焦点在y轴上的椭圆方程为，则m的范围为（B ）
A．（4，7） B．（5.5，7） C．（7，+∞） D． （﹣∞，4）
12．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（ D ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D． ﹣=1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知0＜x＜6，则(6－x)·x的最大值是________．答案：9
14、
15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图
所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB
与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最
后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且
座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．
答案：30
16．等腰Rt△ABC中，斜边，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率是 _________ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．)
17．(本小题满分10分)设：，：，且p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18、(本小题满分12分)已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
解：
(Ⅰ) 最小正周期为
(Ⅱ)
故最小值为
19． (本小题满分12分)在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．
解：(Ⅰ) 因为，且 ， 所以．
因为，由正弦定理得．
(Ⅱ) 由得．
由余弦定理，得． 解得或（舍负）．
所以
20．(本小题满分12分)设a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＝an＋1－an，bn＋1＝2bn＋2.
(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，1来所以＝2.
又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，所以数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知bn＋2＝4·2n－1，
则bn＝2n＋1－2，
所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝
2n－1－2，…，a3－a2＝23－2，a2－a1＝22－2，
叠加得an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，
所以an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n.
21．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?
解：(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－－50，
(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50，(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，
解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3，
故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．
所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝1y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，
而19－≤19－2 ＝9，当且仅当x＝5时取得等号．
即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的过点（0，1），离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．
解：（Ⅰ）因为已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的过点（0，1），∴b=1，
又∵椭圆的离心率等于，∴b=c，∴a=． ∴椭圆C的标准方程为：
（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），将y=kx+1，代入中，得（+k2）x2+2kx=0，
当k≠0时，△＞0，且x1=0，x2=﹣，所以|AB|=•，
原点到直线y=kx+1的距离d= S△AOB=|AB|•d=||=||≤=
∴S△AOB的最大值为．
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