2018-2019学年天津市宁河县九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）
1．如果（m﹣1）x2+3x﹣2=0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠1 C．m=0 D．m=1
2．一元二次方程2x2﹣5x﹣7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5；2；7 B．2；﹣5；﹣7 C．2；5；﹣7 D．﹣2；5；7
3．下列图案均是名车的标志，在这些图案中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（2，6）
C．抛物线的对称轴是直线x=6 D．抛物线经过点（0，10）
5．用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x+3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣2
C．y=（x﹣6）2﹣2 D．y=（x﹣3）2+2
6．已知一元二次方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2，（x1＜x2），则下列判断正确的是（ ）
A．﹣2＜x1＜x2＜3 B．x1＜﹣2＜3＜x2
C．﹣2＜x1＜3＜x2 D．x1＜﹣2＜x2＜3
7．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
8．已知二次函数y=3（x﹣2）2+5，则有（ ）
A．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．当x＞2时，y随x的增大而减小
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
9．在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE．其中一定正确的有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②⑤ D．③④⑤
10．已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
11．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）=380 B．x（x﹣1）=380
C． x（x+1）=380 D．x（x+1）=380
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A．ac＞0
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．2a﹣b=0
D．方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：a2﹣3a+= ．
14．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形．
15．抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，2）．则
（1）a的取值范围是 ；
（2）若△AMO的面积为△ABO面积的倍时，则a的值为 ．
17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2．
18．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直角∠MPN的顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（4）OG•BD=AE2+CF2．
三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）
19．（8分）解一元二次方程
（1）2（x﹣3）2﹣18=0
（2）x2﹣5x+3=0
20．（8分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）
（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
21．（10分）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．
22．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
23．（10分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
24．（10分）如图所示，将△ABC绕点B顺时针旋转30°与△DBE重合，点C与点E重合，点A与点D重合，AC与BE交于点G，DE与AC交于点F，求证：∠EFG=30°．
25．如图：已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3）与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PA+PB的值是最小时，求点P的坐标．
参考答案
一．选择题
1．
【解答】解：由题意m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：B．
2．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣5x﹣7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2；﹣5；﹣7，
故选：B．
3．
【解答】解：第一、四、五个图形是中心对称图形的图案，
故选：C．
4．
【解答】解：∵y=（x+2）2+6=x2+4x+10，
∴a=1，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
抛物线的顶点坐标是（﹣2，6），故选项B错误，
抛物线的对称轴是直线x=﹣2，故选项C错误，
当x=0时，y=10，故选项D正确，
故选：D．
5．
【解答】解：y=x2﹣6x+11，
=x2﹣6x+9+2，
=（x﹣3）2+2．
故选：D．
6．
【解答】解：令y=（x﹣3）（x+2），
当y=0时，（x﹣3）（x+2）=0，
则x=3或x=﹣2，
所以该抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0），
∵一元二次方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0，
∴（x﹣3）（x+2）=1，
所以方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0的两根可看做抛物线y=（x﹣3）（x+2）与直线y=1交点的横坐标，
其函数图象如下：
由函数图象可知，x1＜﹣2＜3＜x2，
故选：B．
7．
【解答】解：由题意，得
a=﹣2，b=﹣1．
a+b=﹣2+（﹣1）=﹣3，
故选：A．
8．
【解答】解：
∵y=3（x﹣2）2+5，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），
∴A、B、C都不正确，
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而增大
∴D正确，
故选：D．
9．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，
∴BA=BC=BA1=BC1，∠ABA1=∠CBC1=α，∠C=∠C1，
而∠CFD=∠C1FB，
∴∠CDF=∠C1BF=α，所以①正确；
∵∠A=∠A1=∠C1，BA=BC1，∠ABE=∠C1BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴A1E=CF，所以②正确；
∵∠CDF=α，而∠C不一定等于α，
∴DF与FC不一定相等，所以③错误；
∵BA1=BC，∠A1BF=∠CBE，BF=BE，
∴△A1BF≌△CBE，
∴A1F=CE，所以④正确．
故选：A．
10．
【解答】解：∵抛物线y=﹣5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，
而B（2，y2）离直线x=﹣1的距离最远，A（﹣1，y1）点离直线x=﹣1最近，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
11．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）=380．
故选：B．
12．
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向下，即a＜0，
抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即c＞0，
∴ac＜0，选项A错误；
由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，选项C错误；
由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
则方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，选项D正确．
故选：D．
二．填空题
13．
【解答】解：∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，
∴a2﹣3a+1=0，
则a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a，
所以原式=﹣1+1=0，
故答案为：0．
14．
【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为4；
15．
【解答】解：∵抛物线y=3x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，
∴△=36﹣12a=0，
解得：a=3，
故答案为：3
16．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=ax2+bx+c，
得：，
可得：a+b=﹣2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点M在第二象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣2＜a＜0，
故答案为：﹣2＜a＜0；
（2）∵点A（1，0）、点B（0，2）、点O（0，0），
∴，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点M在第二象限，
∴点M的坐标为（），
∴=，
∵△AMO的面积为△ABO面积的倍，
∴，
解得，（舍去），，
故答案为：﹣4+2．
17．
【解答】解：设矩形的长为xm，则宽为m，
菜园的面积S=x•=﹣x2+15x=﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20）
∵当x＜15时，S随x的增大而增大，
∴当x=15时，S最大值=m2，
故答案为：．
18．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF=OE；故正确；
（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
（3）过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH=BC=，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当x=时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；故错误；
（4）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵OB=BD，OE=EF，
∴OG•BD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．
故答案为（1）（2）（4）．
三．解答题（共7小题，满分56分，每小题8分）
19．
【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2﹣18=0，
∴2（x﹣3）2=18，
则（x﹣3）2=9，
∴x﹣3=3或x﹣3=﹣3，
解得：x=6或x=0；
（2）∵a=1、b=﹣5、c=3，
∴△=25﹣4×1×3=13＞0，
则x=．
20．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求；
（2）由图可知，△A2B2C2与△ABC关于点（0，2）成中心对称．
21．
【解答】解：设该抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，
3=a（3﹣2）2+1，
解得，a=2，
即该抛物线解析式是y=2（x﹣2）2+1．
22．
【解答】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得：，
解得：，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1，
∵y=﹣（x﹣4）2+，
∴飞行的最高高度为：米．
23．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
24．]
【解答】证明：∵将△ABC绕点B顺时针旋转30°与△DBE重合，
∴∠E=∠C，
在△EFG中，∠EFG=180°﹣∠E﹣∠EGF，
在△CBG中，∠CBG=180°﹣∠C﹣∠CGB，
∵∠E=∠C，∠EGF=∠CGB，
∴∠EFG=∠CBG=30°．
25．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3=a（0﹣1）2+4，得a=﹣1，
∴抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）∵点B（0，3），设点B关于x轴的对称点是点D，
∴D点的坐标是（0，﹣3），
设过点A，点D的直线的解析式为y=kx+b，与x轴的交于点P，则点P即为所求，
，得，
∴y=7x﹣3，
当y=0时，x=，
即点P的坐标为（，0），
即当PA+PB的值是最小时，点P的坐标是（，0）．
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