知识点08 分式
一、选择题
1. （2018四川内江，6，3）已知：－＝，则的值是（ ）
A． B．－ C．3 D．－3
【答案】C
【解析】解：∵－＝＝，∴＝3．故选择C．
【知识点】分式相加减；倒数
2. （2018四川绵阳，6，3分） 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为
A B C D
【答案】 B
【解析】解：由等式成立，可得，解得x≥3.故选B.
【知识点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集
3. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a＞b＞0，且，则=
【答案】
【解析】解：由题意得：2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0，
33
整理得：2()2+-1=0，
解答=，
∵a＞b＞0，
∴=
故答案为
【知识点】分式的加减法，解一元二次方程
4. （2018浙江金华丽水，4，3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）．
A．3 B． C．3或 D．0
【答案】A．
【解析】分式的值为0，则，解得x＝3．故选A．
【知识点】分式的值为0的条件
5.（2018甘肃白银，4，3）已知（），下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】:由已知比例式进行变形，然后对照选项逐一检查可知B选项错误。
故选B
33
【知识点】比例式的变形。比例式的变形一定要满足比例的基本性质，比例内项之积等于比例外项之积。
6. （2018甘肃白银，5，3） 若分式的值为0，则的值是（ ）
A.2或-2 B.2 C.-2 D. 0
【答案】A
【解析】由分式的值为0，可得：，解得x=2或x=-2,.所以x=2或x=-2。
故选A
【知识点】考查分式值为0的条件。
7. （2018四川省南充市，第9题，3分）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路分析】将=3变形，用含xy的式子表示x－y，再将代数式中的x－y用含xy的式子代替，最后计算化简即可得解.
【解题过程】解：=3，y－x=3xy，∴x－y=－3xy，∴原式====，故选D.
【知识点】化简求值
8. （2018山东威海，8，3分）化简（a－1）＋（－1）·a的结果是( )
A．－a2 B．1 C．a2 D．－1
33
【答案】A
【解析】根据分式的加减乘除法则进行运算，运算时，要注意运算顺序．
原式＝（a－1）÷（）．a＝（a－1）．．a＝－a2．
【知识点】分式的混合运算
9.（2018山东省淄博市，7，4分） 化简的结果为
（A） （B） a-1 （C）a （D）1
【答案】B
【解析】将分式先通过同时改变第二项分子分母的符号将两项的分母变成相同的，再利用分式的加减及化简求出结果. ==a-1.
【知识点】分式的加减；完全平方公式
10. （2018天津市，7，3）计算的结果为（ ）
A．1 B．3 C. D．
【答案】C
【解析】分析：本题考查了分式的加减运算．在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
解：,
故选C.
【知识点】分式的加减法．
33
11. （2018浙江温州，6，4）若分式的值为0，则的值是（ ）
A. 2
B. 0
C. -2
D. -5
【答案】A
【解析】本题考查了分式值为零的条件分式值为零必须满足两个条件分母为0和分子不为0，所以由x-2=0得x=2
显然当x=2时分母为7不为0，所以选A
【知识点】分式值为零的条件1. （2018甘肃天水，T9，F4）按一定的规律排列的一组数：（其中a，b为整数），则a+b的值为（ ）
A.182 B.172 C.242 D.200
【答案】A.
【思路分析】首先根据题意得出分母变化的规律，求出a，b的值，即可得出答案.
【解析】由题意可知
可知a=72，b=110，
则a+b=182.
【知识点】探究规律
2. （2018广东广州，4，3分）下列计算正确的是（ ）
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．a2＋2a2＝3a4
C．x2y÷＝x2(y≠0) D．(－2x2)3＝－8x6
33
【答案】D
【解析】因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，a2＋2a2＝3a2，x2y÷＝x2y×y＝x2y2，所以选项A、B、C错误；而(－2x2)3＝(－2)3×(x2)3＝－8x6，故答案为D．
【知识点】完全平方公式；合并同类项；分式的运算；幂的运算
3. （2018河北省，14，2）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
【答案】D
【解析】乙在化简过程中将1－x写成了x－1后没有补上负号，所以错误．丁约分后的分母应该是x而不是2，错误．故选D．
【知识点】分式的化简
4. （2018武汉市，2，3分） 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞－2 B．x＜－2 C．x＝－2 D．x≠－2
【答案】D
【解析】∵≠0，∴≠－2.故选D.
【知识点】分式有意义的条件
5. （2018湖北省孝感市，8，3分）已知，，则式子的值是（ ）
A．48 B． C．16 D．12
33
【答案】D
【解析】∵－=+2xy-（-2xy）=4xy，即4xy =-=45．∴=（+）（-）=12-+180-=12.故选D.
【知识点】求代数式的值；整式的乘法．
6.（2018浙江省台州市，3，3分）
计算，结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据分式的减法法则，，故选A
【知识点】分式的运算
二、填空题
1. （2018山东滨州，14，5分）若分式的值为0，则x的值为________．
【答案】－3
【解析】因为分式值为0，所以x²－9＝0且x－3≠0，所以x＝－3
【知识点】分式的意义
2. （2018浙江金华丽水，14，4分）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：．若，则的值是 ．
【答案】－1．
33
【解析】∵，==a－b=2，∴===－1．故答案为－1．
【知识点】分式的加法；阅读理解
3. （2018甘肃白银，12，4）使得代数式有意义的的取值范围是 。
【答案】
【解析】由代数式有意义，得：，解得：。故填。
【知识点】分式和二次根式有意义的条件即二次被开方数要大于或等于0，分式有意义的条件是分母不等于0.此处不少学生易忽略分母不等于0.
4. （2018湖南衡阳，15，3分）
计算： ．
【答案】x-1.
【解析】解：==x-1.
【知识点】分式的加减运算
5. （2018湖南长沙，13题，3分）化简
【答案】1
【解析】
33
【知识点】分式的加减
6.（2018江苏省盐城市，10，3分）要使分式有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≠2
【解析】要使分式有意义，x－2≠0，则x≠2．
【知识点】分式有意义的条件
7. （2018浙江湖州，12，4）当x＝1时，分式的值是 ．
【答案】
【解析】把x＝1代入分式，＝．故填.
【知识点】分式
8. （2018宁波市，14题，4分） 要使分式有意义，x的取值应满足____________．
【答案】
【解析】分式成立的条件为分母不为零，即
【知识点】分式成立的条件1. （2018江西，7，3分）若分式有意义，则x的取值范围为________．
【答案】x≠1
【解析】由分式的定义可知分母不能为0，即x－1≠0，则x≠1.
【知识点】分式有意义的条件
33
2. （2018湖北荆门，17，3分）将数个，个，个，…，个（为正整数）顺次排成一列：
，记，，，…，，，
，…，，则 ．
【答案】（亦可）.
【解析】解：根据题意可得
==
故答案为.
【知识点】规律探究
3. （2018武汉市，13，3分）计算的结果是___________
【答案】
【解析】原式＝＝＝.故答案为.
【知识点】分式的符号法则 同分母的分式相加减
33
4. （2018湖南省永州市，14，4）化简： ．
【答案】
【解析】根据分式的运算法则，先把括号里面通分，再将括号外面的除法变为乘法，把能分解因式的分解因式，然后约分化简．原式==.因此，本题填：．
【知识点】分式的运算
5. （2018四川攀枝花，12，4）如果a+b=2，那么代数式(a-b)+-b的值是 .
【答案】2
【解析】
【知识点】分式的运算
6.（2018四川自贡，14，4分）化简的结果是 .
【答案】
【解析】
【知识点】分式的加减运算
7. （2018湖北省襄阳市，12，3分）计算：= ▲ .
【答案】.
33
【解析】解：原式=
=
=.
故答案为.
【知识点】分式的加减，平方差公式
8. （2018浙江省台州市，11，5分）
若分式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若分式有意义时，需要满足分母不为0；∵，∴
【知识点】分式有意义的条件
三、解答题
1. （2018四川泸州，19题，6分） 化简：.
【思路分析】先算括号里的分式加减，再算乘除，先因式分解
【解题过程】
【知识点】分式运算，因式分解
33
2. （2018四川绵阳，19，16分） （2）解分式方程：
【思路分析】（1）首先将二次根式化为最简二次根式形式，根据特殊角的三角函数值得出sin60°，根据绝对值的性质对绝对值进行化简，然后将所得结果进行加减计算即可；
（2）首先对分式方程的两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，最后把整式方程的解代入最简公分母中检验是否为0，进而得出最后的结果.
【解题过程】（1）原式===2.
（2） 方程两边同时乘以x-2，得 x-1+2(x-2)=-3,
去括号，得 x-1+2x-4=-3，
移项，得 x+2x=2，
合并同类项，系数化为1，得 x=，
经检验，x=是原分式方程的解，
故原分式方程的解为x=.
【知识点】最简二次根式，二次根式的加减运算，特殊角的三角函数值，绝对值，解分式方程
3. （2018山东滨州，21，10分）先化简，再求值：（xy²＋x²y）×÷，其中x＝π0－，y＝2sin45°－
【解析】（xy²＋x²y）×÷
＝xy（x＋y）××
＝x－y，
当x＝π0－，y＝2sin45°－时，
33
原式＝（π0－）－（2sin45°－）
＝1－2－（2×－2）
＝－1－（－）
＝－1．
【知识点】分式的运算、因式分解、特殊角的三角函数值
4. （2018甘肃白银，19，6分） 计算：
【思路分析】分式的化简求值按照先乘除后加减，如果有括号就先算括号里的顺序从左至右的顺序依次计算即可。
【解题过程】解：原式=
=
=
=
=
【知识点】分式的混合运算 ，因式分解。
5. （2018·重庆B卷，21，10）计算：（2）(a－1－)÷．
【思路分析】（2）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简．
33
【解题过程】
21．解：（2）原式＝
＝
＝．
【知识点】分式的运算
6.（2018安徽省，18，9分）观察以下等式:
第1个等式:，
第2个等式:，
第3个等式:，
第4个等式:，
第5个等式:，
……
按照以上规律,解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
【思路分析】观察已知等式左右特点，结合序数可得（1）（2）；再根分式的加减混合运算顺序和运算法则验证左右是否相等可得．
33
【解题过程】（1）
（2）
（3）证明：∵左边=，右边=1
∴左边=右边，∴原等式成立
【知识点】数字的变化规律探究，分式混合运算．
7. （2018江苏连云港，第18题，6分）解方程－=0
【思路分析】根据先去分母，将分式方程化成整式方程，解方程即可，最后不要忘记检验.
【解题过程】解:去分母，得3x－2(x－1)=0， 2分
解得x=－2. 4分
经检验，x=－2是方程的解，所以原方程的解是x=－2. 6分
【知识点】解分式方程
8. （2018山东聊城，18，7分）先化简，再求值：，其中.
【思路分析】先利用分式的四则运算法则进行化简，再把a的取值代入化简后的结果进行计算.
【解题过程】解：
=
=
33
=
=
=
=
=
=
=，
当时，
原式====-2×2=-4.
【知识点】分式的四则混合运算、代数式的化简求值、因式分解
9.（2018四川省成都市，15，6）（2）（1－）÷
【思路分析】根据运算法则，先算括号内的，通分变成同分母的分式进行加减运算，然后再算乘除法．最后利用因式分解进行约分化成最简的形式．
【解题过程】解：（1－）÷＝（）×＝×＝x－1．
【知识点】；分式的通分和约分； 因式分解；分式的混合运算；
10. （2018四川省达州市，18，6分） 化简代数式：，再从不等式组
33
的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值.
【思路分析】先求出不等式组的解集，然后化简代数式，根据题意选取合适的整数值代入，求出代数式的值.
【解题过程】解：解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＞－3，
∴不等式组的解集为－3＜x≤1
＝
＝
＝3（x＋1）－（x－1）
＝3x＋3－x＋1
＝2x＋4.
∵x≠0，x≠±1
∴当x取－2时，原式＝2×（－2）＋4＝0.
【知识点】解不等式（组）；分式的化简求值
11. （2018四川广安，题号18，分值：6）先化简，再求值：并从-1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值.
【思路分析】首先根据分式的加减法计算括号内的，再计算分式的乘法，并将a的值代入计算即可.
【解题过程】原式=……………………………………………………..1分
=……………………………………………………………………………………2分
=…………………………………………………………………………………….3分
33
=……………………………………………………………………………………………4分
由题意可知a+1≠0，a≠0，a-2≠0，所以a≠-1，a≠0，a≠2，
当a=1时，原式=-1…………………………………………………………………………6分
【知识点】分式的化简求值
12. （2018江苏泰州，17，12分）
（2）化简：
【思路分析】根据分式的混合运算法则，先通分算括号里的减法，再把除法转化为乘法运算，最后约成最简分式或整式．
【解题过程】
=
=
=
【知识点】分式的化简
13. （2018江苏省盐城市，19，8分） 先化简，再求值：（1－）÷，其中x＝＋1
【思路分析】先根据分式运算法则将分式化简，再求值.
【解题过程】解：原式＝×
＝×＝x－1.
当x＝＋1时，原式＝＋1－1＝.
33
【知识点】分式的化简求值
14. （2018山东临沂，20，7分）计算：.
【思路分析】先将括号里的分式的通分化简，再将括号外的除法运算转化为乘法运算，化简分式得出结果.
【解题过程】＝
＝
＝
＝
＝.
【知识点】分式化简 最简公分母
15. (2018山东青岛中考，16，4分) （2）化简：.
【思路分析】（2）先通分相减，然后把分子分母分解因式后约分即可．
【解题过程】（2）原式===．
【知识点】分式化简；
33
16.（2018山东烟台，19，6分）
先化简，再求值：，其中x满足．
【思路分析】原式括号中两项通分，并把通分后的分子利用提取公因式法分解因式，把除式的分子和分母颠倒，化除为乘，进行约分，再将整体代入即可．
【解题过程】解：
=x(x－2)=x2－2x．
∵x2－2x－5=0，
∴x2－2x=5，
∴原式=5．
【知识点】分式的化简求值；整体代入
17. （2018四川省宜宾市，17（2），5分）化简：（1-）÷
【思路分析】直接根据分式的混合运算顺序进行计算化简.
【解题过程】解：原式==.
【知识点】分式的混合运算
1. （2018湖北鄂州，17，8分） 先化简，再从 －3，－2，0，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
33
．
【思路分析】按照先乘除后加减的运算顺序，利用约分法则，先算乘法，在利用同分母的分式加减法则通分，化到最简后，再根据分式有意义的条件确定x的取值范围，选定x的取值后代入求值．
【解析】解：，且，解得，故当x＝－2时，原式＝．
【知识点】分式的乘法；同分母分式的加减；分式约分；分式有意义的条件；代数式求值
2. （2018湖南益阳，20，8分）化简：．
【思路分析】先把括号里面的通分进行分式的加减运算，然后再进行乘法运算即可．
【解析】
解：
= x
【知识点】分式的运算
33
3. (2018山东菏泽，16，6分)先化简，再求值：，其中，.
【思路分析】先通分和整式的乘法，再进行分式的乘除运算，最后合并同类项，化简后代入x、y的值计算即可．
【解析】
解：原式=
=
=
=－xy－x2+xy+2y2
=－x2+2y2．
当x=－1，y=2时，
原式=－(－1)2+2×22=7．
【知识点】分式的化简求值
4. （2018四川遂宁，17，8分）先化简，再求值，（其中x=1，y=2）
【思路分析】首先对分式进行化简，然后将x和y的值代入化简后的式子中计算即可.
【解析】解：原式===，
当x=1，y=2时，
原式==-3.
33
【知识点】提公因式法，公式法，同分母分式的加法，分式的乘法
5. （2018·重庆A卷，21，10）
【思路分析】（2）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简．
【解析】（2）原式＝
＝
＝．
【知识点】分式的运算
6.（2018甘肃天水，T19，F8）（2）先化简，再求值：，其中x=.
【思路分析】对于（2），先根据分式的加减法计算括号内的，再计算分式的乘除法即可，然后代入计算即可.
【解析】
（2）原式=，……………………………………………………………….6分
=，
=……………………………………………………………………………………………7分
当x=时，原式===……………………………………………………..…8分
【知识点】分式的混合运算
33
7. （2018广东广州，19，10分）已知．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
【思路分析】（1）利用平方差公式、完全平方式和分式的运算性质将进行化简；（2）由正方形的面积求出正方形的边长a，再代入求值．
【解析】（1）；
（2）∵正方形ABCD的边长为a，且它的面积a2＝9，∴a＝3，∴T＝．
【知识点】分式的化简和求值
8. （2018贵州遵义，20题，8分）化简分式，并在2,3,4,5,这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值。
【思路分析】先分解因式，能约分的先约分，然后进行分式的加减，最后乘除，得到花间结果，然后选择数字代入时要考虑让分式有意义，即a不能取2和3
【解析】，当a=4时，原式=7
【知识点】分式运算，分式的定义
9.（2018湖南省湘潭市，18，6分）先化简，再求值：．其中x=3．
【思路分析】直接根据分式分混合运算顺序进行计算，然后把x的值代入求解.
33
【解析】解：==
=x+2，把x=3代入得：原式=3+2=5.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
10. （2018江苏淮安，18，8）先化简，再求值：，其中a= -3
【答案】
【思路分析】本题考查分式的化简求值，先对异分母的要先化为同分母的，并对每个分式的分子、分母分解因式，再约分化简计算.
【解析】
当a= -3时，原式＝
【知识点】分式的化简求值
11. （2018山东德州，19，8分）先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解.
【思路分析】先算乘除，再算加减，因有括号，所以先算括号里面的。接着解不等式组，将它的整数解代入分式化简后的代数式计算即可．
【解析】解：原式.
解不等式组:.
33
解不等式①得:.
解不等式②得：.
∴不等式组的解集是:.
是整数
∴
将代入得:
原式.
【知识点】分式化简求值，解不等式组
12. （2018山东省日照市，17（2），5分）（2）化简：（-）÷，并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值.
【思路分析】先将分式的分母因式分解，约分化简，再在0≤x≤4中选取合适的整数代入求值，注意x的取值要保证原式有意义．
【解析】解：原式=（-）·=[-]·
=·=·=
∵，∴∴当0≤x≤4时，可取的整数为x=1或x=3.
当x=1时，原式==1；当x=3时，原式==1.
【知识点】分式化简求值
13. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，17，8）先化简，再求值：，其中x是方程x2＋3x＝0的根．
33
【思路分析】（1）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简；（2）解一元二次方程x2＋3x＝0；（3）将方程的根代入化简后的式子进行计算，注意要使分式有意义．
【解析】解：原式＝＝＝x＋1，
∵x是方程x2＋3x＝0的根，
∴x1＝0，x2＝－3．
∴当x＝0时，原式无意义；当x＝－3时，原式＝－3＋1＝－2．
【知识点】分式的运算；一元二次方程的解法；分式有意义的条件
14. （2018福建A卷，19，9）化简求值：，其中
【思路分析】首先将括号里的式子进行通分，根据同分母的分式减法的运算法则进行计算，并将计算的结果除以，得出最简分式，然后把代入最简分式中即可.
【解题过程】解：原式=
当时，原式=.
【知识点】异分母分式的减法，分式的乘除法
15. （2018福建B卷，19，9）化简求值：，其中
【思路分析】首先将括号里的式子进行通分，根据同分母的分式减法的运算法则进行计算，并将计算的结果除以，得出最简分式，然后把代入最简分式中即可.
33
【解题过程】解：原式=
当时，原式=.
【知识点】异分母分式的减法，分式的乘除法
16.（2018广东省深圳市，18，？分）先化简，再求值：，其中x＝2．
【思路分析】先算括号内，进行通分运算，再将其除法化为乘法进行约分、化到最简，再代入求值．
【解题过程】解：＝＝，当x＝2时，原式＝．
【知识点】分式的混合运算；异分母分式的加减；约分；代数式求值
17. （2018贵州安顺，T20，F10）先化简，再求值：， 其中
【思路分析】原式括号内的式子通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简成最简分式，解出x的值，将不符合分式意义的值舍去，最后代入符合分式意义的值求值即可.
【解题过程】解：原式 =
==
=，
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∵，∴.∵x-2≠0，∴x=2舍去，即x=-2.当x=-2时，=-.
【知识点】分式化简求值.
18. （2018湖北荆州，T19②，F5）先化简，后求值:，其中.
【思路分析】①括号里面的整式与分式通分后，进行加减运算②除法变乘法后，分解因式③约分后化成最简分式，④代入求值，化为最简根式.
【解题过程】原式=
=
=
当时，原式=
【知识点】完全平方公式、平方差公式、分解因式、分式的加减运算.
19.（2018四川雅安，18题，10分）
（2）先化简：，再从-1，0，1中选取一个数并带入求值
【思路分析】（2）先通分，再因式分解，进行约分，再计算乘法，从三个数中选择一个使原分式有意义的数字带入，进行计算。
【解题过程】（2）原式=，其中a≠1，且a≠-1，所以取a=0，原式=1
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【知识点】分式运算，分式的定义
20. （2018湖北荆门，18，8分）先化简，再求值：，其中.
【解题过程】解：原式=，
当x=2时，
原式=.
【知识点】分式的化简求值
21. （2018河南，16，8分）先化简,再求值：,其中．
【思路分析】先利用异分母分式的加减法则计算，然后根据除法法则将原式转化为乘法，利用约分的法则进行约分，一定要化成最简分式或整式，最后把代入得到答案即可．
【解题过程】
解：原式
．
当时,原式．
【知识点】分式的加减乘除混合运算；分式与1的加减运算时，对1的理解.
22. （2018广西玉林，20题，6分）先化简再求值：，其中a=1+，b=1-
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【思路分析】先利用因式分解、分式加减乘除法则对分式进行化简，再带入求值
【解题过程】原式=，当a=1+，b=1-时，原式=
【知识点】分式化简，分母有理化
23. （2018山东省泰安市，19，6）先化简，再求值
，其中.
【思路分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的化简整理，然后再代入数值计算.
【解题过程】.解：原式 2分
. 5分
当时， 原式. 6分
【知识点】因式分解；分式的化简求值；二次根式的化简.
24. （2018陕西，16，5分）化简：
【思路分析】先把括号里面的两个分式通分进行加减运算，然后把除法变为乘法再约分化简即可．
【解题过程】解：
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【知识点】分式的运算
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