2018年中考数学试题分类汇编知识点09分式方程及其应用.doc

1 知识点 09 分式方程及其应用 一、选择题 1. （2018 四川省成都市，8，3）分式方程 ＋ ＝1 的解是（ ） A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 【答案】A 【解题过程】解： ＋ ＝1，去分母（x－2）（x＋1）＋x＝x（x－2），解得 x＝1，检验：把 x＝1 代入 x （x－2）≠0，∴x＝1 是原方程的解．故选择 A． 【知识点】分式方程；分式方程的解法 2. （2018·重庆 B 卷，12，4）若数a 使关于 x 的不等式组 有且仅有三个整数解，且使关于 y 的 分 式 方 程 有 整 数 解 ， 则 满 足 条 件 的 所 有 a 的 值 之 和 是 （ ） A．－10 B．－12 C．－16 D．－18 【答案】B． 1x x + 1 2x − 1x x + 1 2x − 1 11 ( 1)3 2 2 3(1 ) x x x a x  − ≤ −  − ≤ − 3 12 12 2 y a y y ++ =− −2 【解析】解不等式组，得－3≤x≤ ，由该不等式组有且仅有三个整数解，得－1≤ ＜0，从而－8≤a＜－ 3． 解方程 ，得 y＝ ＋5． 又∵y≠2，即 ＋5≠2， ∴a≠－6． 又∵y 为整数， ∴满足条件的整数 a 为－8 和－4，其和为－12．故选 B． 【知识点】一元一次不等式组的解法 分式方程的解法 3. （2018 湖南衡阳，8，3 分）衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值 30 万千克，为了满足市 场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 6 万千克，种 植亩数减少了 10 亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为 万千克，根据题意，列 方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】解：设原来平均每亩产量 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克， 根据题意列方程为 ，故选 A. 【知识点】分式方程的应用、根据实际问题列分式方程 4. （2018 山东临沂，10，3 分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场，一汽 贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为 5000 万元.今年 1－5 月份，每辆车的销售价格比去年降低 1 万 元，销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少 20%.今年 1－5 月份每辆车的销售价格是多少万元? 设今年 1－5 月份每辆车的销售价格为 万元根据题意.列方程正确的是( ) 3 5 a + 3 5 a + 3 12 12 2 y a y y ++ =− − 2 a 2 a x 30 36 101.5x x − = 30 30 101.5x x − = 36 30 101.5x x − = 30 36 101.5x x + = 30 36 101.5x x − = x3 A． B． C. D． 【答案】A 【解析】去年一整年的销售数量用代数式 辆表示，今年 1－5 月份的销售数量用代数式 辆 表示，根据相等关系“今年 1－5 月份的销售数量=去年一整年的销售数量”可列方程 = ， 故选 A. 【知识点】分式方程 应用题 5. （2018 山东省淄博市，10，4 分）“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务， 为了迎接雨季的到来.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%.结果提前 30 天完成了这一任务.设 实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【思路分析】设的未知量为工作效率，已知的是工作总量，因此用工作效率和工作总量表示出时间，利用时间做 等量关系列方程求解. 【解题过程】实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划为 ，从而可得原计划时间为 ，实际时间为 ，再根据提前 30 天完成任务可列方程为 ，故选 C. 【知识点】分式方程的应用 1. （2018 湖南益阳，9，4 分）体育测试中，小进和小俊进行 800 米跑测试，小进的速度是小俊的 1.25 倍，小 ( )5000 1 20%5000 1x x −=+ ( )5000 1+20%5000 1x x =+ ( )5000 1 20%5000 1x x −=− ( )5000 1+20%5000 1x x =− 1x + 5000 x - %)2015000 （× 1x + 5000 x - %)2015000 （× 60 60 30(1 25%)x x − =+ 60 60 30(1 25%)x x − =+ 60 (1 25%) 60 30x x × + − = 60 60 (1 25%) 30x x × +− = 1 25% x + ( )60 1 25% x × + 60 x 60 (1 25%) 60 30x x × + − =4 进比小俊少用了 40 秒，设小俊的速度是 x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A．40×1．25x－40x=800 B． C． D． 【答案】C 【思路分析】设小俊的速度是 x 米/秒，则小进的速度为 1.25x，分别列出两人所用的时间，根据“小进比小俊 少用了 40 秒”列方程即可． 【解析】解：设小俊的速度是 x 米/秒，则小进的速度为 1.25x，小俊所用时间为 ，小进所用时间为 ， 所列方程为 ，故选择 C． 【知识点】分式方程的应用 2. （2018 山东德州，8，3 分）分式方程 的解为（ ） A． B． C. D．无解 【答案】D 【解析】去分母，得 ，所以 ，此时 ，所以原方程无解. 故选 D. 【知识点】解分式方程 3. （2018 广东广州，13，3 分）方程 的解是_______． 【答案】x=2 【解析】方程两边同乘以x(x＋6)，得 x＋6＝4x，解得，x＝2．检验：当 x＝2 时，x(x＋6)≠0，所以 x＝2 是原 方程的解． 【知识点】分式方程的解法 800 800 402.25x x − = 800 800 401.25x x − = 800 800 401.25x x − = 800 x 800 1.25x 800 800 401.25x x − = ( )( ) 311 1 2 x x x x − =− − + 1x = 2x = 1x = − ( )( )( 2) 1 2 3x x x x+ − − + = 1x = ( )( )1 2 0x x− + = 1 4 6x x = +5 4. （2018 湖北荆州，T5，F3）解分式方程 时，去分母可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：原方程为 ，即 两边同时乘以(x－2)，得 1－3（x-2）=-4， 故选择 B． 【知识点】分式方程 5. （2018 湖南张家界，2，3 分）若关于 的分式方程 的解为 ，则 的值为( ) 【答案】C 【解析】解：∵关于 x 的分式方程 的解为 ， ∴ 满足关于 x 的分式方程 . ∴ ，解得 m=3. 故答案是 3. 【知识点】分式方程的解. 二、填空题 1. （2018 江苏无锡，13，3 分） 方程 的解是 . 【答案】 【解析】两边同时乘以 x（x+1），得 1 432 2x x − =− − ( )1 3 2 4x− − = ( )1 3 2 4x− − = − ( )1 3 2 4x− − − = − ( )1 3 2 4x− − = xx −=−− 2 432 1 2 432 1 −−=−− xx x 11 3 =− − x m 2=x m A 5 B 4 C 3 D 2 11 3 =− − x m 2=x 2=x 11 3 =− − x m 112 3 =− −m 3 1 x x x x − = + 3 2x = −6 ， 即-2x-3=0， 解得 . 检验：当 时，x（x+1）= ， ∴ 是原方程的解. 【知识点】可化为一元一次方程的分式方程解法 2. （2018 山东潍坊，14，3 分）当 m= 时，解分式方程 会出现增根． 【答案】2 【解析】方程两边同乘以(x－3),得： x－5=－m x=5－m 若方程会产生增根，则增根为 x=3, 所以 5－m=3. 解得 m=2. 【知识点】分式方程 3. （2018 四川省达州市，13，3 分）若关于 x 的分式方程 无解，则 a 的值为___________． 【答案】1． 【解析】去分母将分式方程转化为整式方程，由分式方程无解，得到 x＝3，代入整式方程求出 a 的值即可．注 意：要考虑分母不为 0． 解：去分母得：x－3a=2a（x－3）， ( )( ) 23 1x x x− + = 3 2x = − 3 2x = − 3 3 3 1 3( 1) ( ) 02 2 2 2 4 − × − + = − × − = ≠ 3 2x = − 5 3 3 x m x x − =− − 3 23 3 x a ax x + =− −7 由分式方程无解，得到 x＝3， 把 x＝3 代入整式方程得：3－3a=2a（3－3）， 解得：a=1． 故答案为：1． 【知识点】分式方程的解 1. （2018 四川遂宁，14，5 分）A，B 两市相距 200 千米，甲车从 A 市到 B 市，乙车从 B 市到 A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快 15 千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地，若 设乙车的速度是 x 千米/小时，则根据题意，可列方程 ． 【答案】 【解析】解：根据题意可得甲车的速度为(x+15)千米/小时，根据甲车比乙车早半小时到达目的地， 可列出方程 . 故答案为 . 【知识点】分式方程的应用 2. （2018 湖南省湘潭市，11，3 分）分式方程 =1 的解为_______. 【答案】x=2 【解析】去分母得：3x=x+4，解得 x=2，经检验 x=2 是原分式方程的解，故方程的解为 x=2. 【知识点】分式方程的解法 3. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，14，5）某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支，则该商店第一次 购进的铅笔，每支的进价是 元． 【答案】4． 【解析】设第一次购进的铅笔每支进价为 x 元，则第二次购进的铅笔每支进价为 x 元，根据题意，得 2 1 15 200200 =+− xx 2 1 15 200200 =+− xx 2 1 15 200200 =+− xx 3 4 x x + 5 4 5 48 ，解得 x＝4，并经检验 x＝4 是原方程的解且符合题意，因此答案为 4． 【知识点】分式方程的应用 4. （2018 江苏省宿迁市，15，3）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树 960 棵．由于青 年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树的棵树 是 ． 【答案】120 【解析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树 2x 棵．根据题意列方程为： ＝4．解得 x＝120．故填 120． 【知识点】分式方程 三、解答题 1.（2018 四川泸州，21 题，7 分） 某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格 的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本. (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? (2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的总经 费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书? 【思路分析】（1）根据甲乙图书价格和数量的等量关系可列分式方程；（2）设出乙图书的数量，根据费用的要 求，列出不等式，进一步进行求解 【解题过程】（1）设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格为 2.5x 元，根据题意得 ，解得，x=20，经检验得，x=20 是原分式方程的解，2.5x=50，因此，甲乙两种图书每本价格 分别为 50 元、20 元。 （2）设购买乙图书 y 本，则购买甲图书 本，根据题意得 ，解得 y≤28，因为 y 最 600 600 305 4 x x = + 245.2 800800 =− xx 2 8−y 1060202 850 ≤+−⋅ yy9 大可以取 28，所以图书馆最多可以购买 28 本乙图书。 【知识点】分式方程应用，不等式应用 2. （2018 湖南岳阳，21，8 分） 为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞 庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土 方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 ，结果提 前 11 天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 【思路分析】首先设原计划平均每天施工 x 平方米，根据题意列出分式方程 ，解出分式方 程，然后根据“实际工作效率比原计划每天提高了 ”得出答案. 【解题过程】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则 ，解得 x=500， 经检验，x=500 是原分式方程的解， ∴实际平均每天施工为 500×(1+20％)=600 平方米. 答：实际平均每天施工为 600 平方米. 【知识点】分式方程的应用 3. （2018 四川广安，题号 22，分值：8） 某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减 少 400 元，若卖出的数量相同，销售量总额将比去年减少 20％. （1）求今年 A 型车每辆车的售价. （2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A，B 型车的进货价格分别是 1100 元、1400 元，今年 B 型车的销售价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获 得最大利润，最大利润是多少？ 【思路分析】对于（1），先设今年的售价为 x 元，并表示去年的售价，再根据卖出的数量相同列出分式方程，求 出解即可. 对于（2），设购进 A 型车 m 辆，可表示 B 型车(45-m)辆，再根据 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍列出 不等式，求出 m 的取值范围，再列出利润 y 与 m 的关系式，并根据一次函数的性质讨论极值即可. 【解题过程】（1）设今年的售价为 x 元，则去年的的售价为(x+400)元，根据题意，得 20% 1121 3300033000 =− x.x 20% 1121 3300033000 =− x.x10 …………………………………………………………………………..2 分 解得 x=1600， 经检验，x=1600 是原方程的解………………………………………………………………3 分 所以今年 A 型车每辆的售价为 1600 元. （2）设购进 A 型车的数量为 m 辆，则购进 B 型车(45-m)辆，最大利润为 y，根据题意可知 45-m≤2m， 解得 m≥15. 则 15≤m≤45………………………………………………………………………………….4 分 y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000…………………………………………6 分 ∵-100＜0， ∴y 随 m 的增大而减小，……………………………………………………………………..7 分 即当 m=15 时，y 最大=25500 元. 所以，应购进 A 型车 15 辆，B 型车 30 辆，最大利润为 25500 元………………………..8 分 【知识点】分式方程的应用，一次函数的应用 4. （2018 四川省南充市，第 23 题，10 分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用 10000 元采购 型 丝绸的件数与用 8000 元采购 型丝绸的件数相等，一件 型丝绸进价比一件 型丝绸进价多 100 元. （1）求一件 型、 型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进 型、 型丝绸共 50 件，其中 型的件数不大于 型的件数，且不少于 16 件，设购进 型丝绸 件. ①求 的取值范围. ②已知 型的售价是 800 元/件，销售成本为 元/件； 型的售价为 600 元/件，销售成本为 元/件.如果 ，求销售这批丝绸的最大利润 （元）与 （元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价- 销售成本）. 【思路分析】(1)利用一件 A 型丝绸进价比一件 B 型丝绸进价多 100 元，设出未知数，再利用用 10 000 元采购 A 型丝绸的件数与用 8 000 元采购 B 型丝绸的件数相等，列出方程即可. A B A B A B A B A B A m m A 2n B n 50 150n≤ ≤ w n11 (2) ①根据 A 型的件数不大于 B 型的件数，且不少于 16 件，求出 m 的取值范围；②先根据 A 型的售价是 800 元/ 件，销售成本为 2n 元/件；B 型的售价为 600 元/件，销售成本为n 元/件表示出利润，再根据 50≤n≤150，求出 最大利润. 【解题过程】解：(1)设 A 型丝绸进价为 x 元，则 B 型丝绸进价为(x－100)元， 根据题意，得： . -------------------------------------------2 分 解得：x=500. ------------------------------------------------------------3 分 经检验，x=500 是原方程的解.∴B 型丝绸进价为 400 元. 答：A、B 两型丝绸的进价分别为 500 元、400 元. -----------------------------4 分 (2) ①∵ 解得：16≤m≤25. -------------------------------------6 分 ②w=(800－500－2n)m+(600－400－n)(50－m)=(100－n)m+(10000－50n). --------8 分 当 50≤n≤150 时，100－n＞0，w 随 m 的增大而增大. 故 m=25 时，w 最大=12500－75n. ---------------------------------------------9 分 当 n=100 时，w 最大=5000. 当 100＜n≤150 时，100－n＜0，w 随 m 的增大而减小 故 m=16 时，. w 最大=11600－66n. 综上所述，w 最大= ------------------------------10 分 【知识点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用 5. （2018 江苏泰州，21，10 分） 为了改善生态环境，某乡村计划植树 4000 棵，由于志愿者的支援，实际工作效率提高了 ，结果比原计划提 前 3 天完成，并且多植树 80 棵，原计划植树多少天？ 【思路分析】先找出相等关系为：①原计划植树 4000 棵天数=实际植树 4080 棵天数－3，②实际工作效率=原计 划工作效率 ，再设出未知数，将其中一个相等关系变成代数式，根据所剩相等关系得方程. 【解题过程】设原计划植树 x 天，则实际植树(x－3)天， 10000 8000 100x x = − 16, 50 . m m m ≥  ≤ − 12500 75 , 50 100, 5000, 100, 11600 66 , 100 150. n n n n n − ≤ W x 40x = W (120 ) 40 19000 23800 40a a− × + = − W (23800 40 )a− 27000 30000 100x x = +20 元在文美书店可购买甲种图书的本数比用 1400 元购买乙种图书的本数少 10 本来列方程。在第（2）中，根据利 润=甲种图书单件利润 数量+乙种图书单件利润 数量来列一次函数；根据书店决定用不多于 20000 元购进甲乙 两种图书来列不等式确定函数自变量的取值范围，根据函数的增减性质，在取值范围内确定最值. 【解题过程】解：（1）设乙种图书售价每本 元，则甲种图书售价为每本 元. 由题意得： ， 2 分 解得： .经检验， 是原方程的解. 4 分 所以，甲种图书售价为每本 元， 答：甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元. 5 分 （2）设甲种图书进货 本，总利润 元，则 . 6 分 又∵ ， 解得 ， 8 分 ∵ 随 的增大而增大， ∴当 最大时 最大， ∴当 本时 最大， 此时，乙种图书进货本数为 （本）. 答：甲种图书进货 533 本，乙种图书进货 667 本时利润最大. 9 分 【知识点】分式方程的应用；一次函数的应用；一元一次不等式的应用. × × x 1.4x 1400 1600 101.4x x − = 20x = 20x = 1.4 20 28× = a w (28 20 3) (20 14 2)(1200 )w a a= − − + − − − 4800a= + 20 14 (1200 ) 20000a a+ × − ≤ 1600 3a ≤ w a a w 533a = w 1200 533 667− =