2018-2019学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）第二次月考试卷
一．选择题（共6小题，满分12分）
1．（2分）如图图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=﹣1 D．a=±1
3．（2分）一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
4．（2分）若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（ ）
A．12 B．10 C．2 D．0
5．（2分）已知方程﹣2x2﹣7x+1=0的较小根为α，下面对α的估算正确的是（ ）
A．﹣5＜α＜﹣4 B．﹣4＜α＜﹣3 C．﹣3＜α＜﹣2 D．﹣1＜α＜0
6．（2分）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3π﹣4
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 ．
8．（2分）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，则扇形的弧长为 cm
，扇形的面积为 cm2．
9．（2分）关于x的一元二次方程2x2+2x﹣m=0有实根，则m的取值范围是 ．
10．（2分）某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是 分．
11．（2分）股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是 ．
12．（2分）一元二次方程x2﹣36=0的根是 ．
13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=54°，则∠BAD= ．
14．（2分）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
15．（2分）如图所示，PM切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点E为圆上一点，若BE∥AO，∠EAO=30°，若⊙O的半径为1，则AP的长为 ．
16．（2分）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
三．解答题（共11小题，满分68分）
17．（6分）我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．
如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．
那么如何求解完全平方方程呢？
探究思路：
我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．
如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．
解决问题：
（1）解方程：（3x﹣2）2=25．
解题思路：我们只要把 3x﹣2
看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．
解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或 3x﹣2= ．
分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．
（2）解方程．
18．（6分）（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=12．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为3，求m的值．
20．（8分）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2，求⊙O半径的长．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2+1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求k的值．
22．（8分）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
甜甜：2017年六一，我们共收到484元微信红包．
妹妹：2015年六一，我们共收到400元微信红包，不过我今年收到的钱数是你的2倍多34元．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到多少钱的微信红包？
23．（8分）如图，⊙O半径为1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一点D在直线AB上，若AC=，OB=BD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）
24．（8分）某班为选拔参加2009年学校数学文化节的选手，对部分学生进行了培训．培训期间共进行了10次模拟测试，其中两位同学的成绩如下表所示：
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲
85
95
94
96
94
85
92
95
99
95
乙
80
99
100
99
90
82
81
80
90
99
（1）根据图表中所示的信息填写下表：
中位数
众数
极差
方差
甲
94.5
95
乙
90
20
68.8
（2）这两位同学的成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）？
（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加活动？为什么？
25．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）2（x+2）2﹣8=0．
（2）x（x﹣6）=x．
（3）2x2+4x+1=0．
（4）=x．
26．如图，点O在线段AB上，（不与端点A、B重合），以点O为圆心，OA的长为半径画弧，线段BP与这条弧相切与点P，直线CD垂直平分PB，交PB于点C，交AB于点D，在射线DC上截取DE，使DE=DB．已知AB=6，设OA=r．
（1）求证：OP∥ED；
（2）当∠ABP=30°时，求扇形AOP的面积，并证明四边形PDBE是菱形；
（3）过点O作OF⊥DE于点F，如图所示，线段EF的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出EF的值；若变化，直接写出EF与r的关系．
27．如图，在⊙O中，将沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．
（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC= °；
（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．D．
2．C．
3．B．
4．A．
5．B．
6．A．
7．4．
8．4π；12π
9．m≥﹣．
10．89.3．
11．（1﹣10%）（1+x）2=1．
12．±6
13．36°．
14．2，﹣1．
15．．
16．360°．
17．解：（1）3x﹣2=﹣5，
（2）根据乘方运算，
得或
解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．
故答案为：﹣5
18．解：方程变形为x2+5x+1=0，
∵a=1，b=5，c=1，
∴b2﹣4ac=21，
∴x=，
∴x1=，x2=．
19．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，
∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，
解得：m1=3，m2=1．]
∴m的值为3或1．
20．解：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AD2，
即：R2=（R﹣2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
21．解：设方程的两根为x1，x2，
根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解得k≤﹣，
x1+x2=﹣（2k﹣1）=1﹣2k，x1x2=k2+1，
∵方程的两根之和等于两根之积，
∴1﹣2k=k2+1
∴k2+2k=0，
∴k1=0，k2=﹣2，
而k≤﹣，
∴k=﹣2．
22解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
23．（1）证明：连接OC，CB，则∠COD=2∠CAD，
∵⊙O半径为1，AC=，
∴AB=2，BC=1，
∴∠CAD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OB=BD，
∴BC=BD=OB=1，
∴∠CBO=60°，
∴∠DCB=∠BDC=30°，
∴∠OCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中，OC=1，OD=2，由勾股定理可求得CD=，
所以S△OCD=OC•CD=×1×=，
因为∠COD=60°，
所以S扇形COB=，
所以S阴影=S△OCD﹣S扇形COB=﹣．
24．解：（1）甲的方差是18.8，乙的众数是99，极差是20．
（2）本题答案不唯一，如：甲考试成绩较稳定，因为方差，极差较小（或甲的平均数比乙的平均数高）；乙有潜力，因为乙的最好成绩比甲的最好成绩高等．
（3）本题答案不唯一，选择甲或乙都是可以的，如：10次测验，甲有8次不少于92分，而乙仅有4次，若想获奖可能性较大，可选甲参赛；或：若想拿到更好的名次可选乙；因为乙有4次在99分以上．
25．解：（1）2（x+2）2=8，
（x+2）2=4，
x+2=±2，
∴x1=0，x2=﹣4；
（2）x（x﹣6）=x，
x（x﹣6）﹣x=0，
x（x﹣7）=0，
∴x1=0，x2=7；
（3）2x2+4x+1=0，
a=2，b=4，c=1，
b2﹣4ac=16﹣8=8，
∴，
∴，；
（4）两边平方得x+6=x2，
x2﹣x﹣6=0，
（x+2）（x﹣3）=0，
∴x1=﹣2，x2=3，
经检验，x=﹣2不是原方程的解，
∴原方程的解为x=3．
26．解：（1）∵BP为⊙O的切线，
∴OP⊥BP，
∵CD⊥BP，
∴∠OPB=∠DCB=90°，
∴OP∥ED；
（2）在Rt△OBP中，∠OPB=90°，∠ABP=30°，
∴∠POB=60°，
∴∠AOP=120°．
在Rt△OBP中，OP=OB，
即r=（6﹣r），
解得：r=2，
S扇形AOP=．
∵CD⊥PB，∠ABP=30°，
∴∠EDB=60°，
∵DE=BD，
∴△EDB是等边三角形，
∴BD=BE．
又∵CD⊥PB，
∴CD=CE．
∴DE与PB互相垂直平分，
∴四边形PDBE是菱形．
（3）EF的长度不随r的变化而变化，且EF=3，
∵AO=r、AB=6，
∴BO=AB﹣AO=6﹣r，
∵BP为⊙O的切线，
∴∠BPO=90°，
∵直线CD垂直平分PB，
∴∠DCB=∠OPB=90°，且BC=PC，
∵∠DBC=∠OBP，
∴△DBC∽△OBP，
∴=，
则CD=OP=r、BD=OB=（6﹣r）=3﹣，
∵DB=DE=3﹣，
∴CE=DE﹣CD=3﹣r，
∵OF⊥EF，
∴∠OFC=∠FCP=∠CPO=90°，
∴四边形OFCP为矩形，
∴CF=OP=r，
则EF=CF+CE=r+3﹣r=3，
即EF的长度为定值，EF=3．
27．
解：（1）∵由折叠可知：∠OBC=∠CBD，
∵点D恰好与点O重合，
∴∠COD=60°，
∴∠ABC=∠OBC=；
故答案为：30；
（2）∠ABM=2∠ABC，理由如下：
作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，
∵对称，
∴∠DBC=∠D'BC，DC=D'C，
连接CO，D'O，AC，
∴∠AOC=2∠ABC，∠D'OC=2∠D'BC，]
∴∠AOC=∠D'OC，
∴AC=D'C，
∵DC=D'C，
∴AC=DC，
∴∠CAD=∠CDA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
设∠ABC=α，则∠CAD=∠CDA=90°﹣α，
∴∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=2α，
即∠ACD=2∠ABC，
∵∠ABM=∠ACD，
∴∠ABM=2∠ABC．
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