2018年中考数学试题分类汇编知识点13一元二次方程的代数应用.doc

1 一元二次方程的代数应用 一、选择题 1. （2018 四川绵阳，8，3 分） 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人 数为 A.9 人 B.10 人 C.11 人 D.12 人 【答案】C. 【解析】解：设这次参加酒会的人数为 x 人，根据题意可得 ，解得 x1=11，x2= -10（舍去）.故选 C. 【知识点】一元二次方程的应用 1. （2018 江苏省宿迁市，8，3） 在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线 l．若直线 l 与两坐标轴围成的面 积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路分析】设直线l 的解析式为 y＝kx＋b，∵l 过点（1，2），∴2＝k＋b，b＝2－k．∴y＝kx＋2－k．与 x 轴 的交点为（ ，0），与 y 轴的交点为（0，2－k）．∴与坐标轴围成的面积 S＝ ·丨 2－k 丨＝8．解 得 k1＝－2，k2＝6＋4 ，k3＝6－4 ，故选 C． 【知识点】一次函数，一元二次方程 2. （2018 山东省泰安市，10，3）一元二次方程 根的情况是（ ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于 3 D．有两个正根，且有一根大于 3 【答案】D 【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方 程与二次函数的图象关系进行判断。 552 )1( =−xx k k 2− 2 1 丨丨 丨丨 k k 2− 2 2 ( 1)( 3) 2 5x x x+ − = −2 解法一：整理得： ，解得： ，故选 D. 解法二：设 ，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐 标即为方程的根，故选 D 【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系. 二、填空题 1. （2018 山东省日照市，14，4 分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块 面积为 1 200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米.设绿地宽为 x 米，根据题意，可列方程为 . 【答案】x(x+40)=1 200 【解析】设绿地宽为 x 米，则绿地长为（x+40）米. 根据矩形的面积公式，可列方程为 x(x+40)=1 200. 【知识点】一元二次方程的应用 2. （2018 贵州安顺，T14，F4）若 是关于 x 的完全平方式，则 m=_______. 【答案】7 或-1 【解析】∵ 是关于 x 的完全平方式，∴（m-3）²=16.解得 m=7 或-1. 【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程. 2 4 +2 0x x− = 1 2=2+ 2 2 2x x = −； 1 2( 1)( 3); 2 5y x x y x= + − = − 2 2( 3) 16x m x+ − + 2 2( 3) 16x m x+ − +3 3. （2018 四川自贡，15，4 分）若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，则 的值为 . 【答案】－1 【解析】∵函数 的图象与 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程 有两个相等的实 根，即 ，∴ . 【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系 三、解答题 1. （2018 四川省南充市，第 20 题，8 分）已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：方程有两个不相等的实数根. （2）如果方程的两实数根为 ， ，且 ，求 的值. 【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可. (2) 根据一元二次方程根与系数的关系，用含 m 的式子表示出 x1+x2 和 x1x2 的值，再代入 ，化简整理 即可. 【解题过程】解：(1)根据题意，得： =[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0， -----3 分 ∴方程有两个不相等第实数根. ---------------------------------------------4 分 (2) 由一元二次方程根与系数的关系，得： x1+x2=2m－2，x1x2=m2－2m，------------------------------------------------5 分 ∵ ，∴ . ------------------------------------6 分 ∴(2m－2)2－2(m2－2m)=10.化简，得 m2－2m－3=0，解得：m1=3，m2=－1. ∴m 的值为 3 或－1.-------------------------------------------------------8 分 【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式 2. （2018·重庆 B 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理 2y x 2x m= + − x m mxxy −+= 22 x 022 =−+ mxx 044)(1422 =+=−××−=∆ mm 1−=m x 2 2(2 2) ( 2 ) 0x m x m m− − + − = 1x 2x 2 2 1 2 10x x+ = m 2 2 1 2 10x x+ = ∆ 2 2 1 2 10x x+ = ( )2 1 2 1 22 10x x x x+ − =4 点建设．该县政府计划：2018 年前 5 个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计 50 个，且沼气池的个数不低于垃 圾集中处理点个数的 4 倍． （1）按计划，2018 年前 5 个月至少要修建多少个沼气池？ （2）到 2018 年 5 月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金 78 万元，且修建的沼气池个数恰好是 原计划的最小值．据核算，前 5 个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为 1﹕2．为加大美丽 乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7 个月，在前 5 个月花费资金的基础上增加投入 10a%，全部用于 沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年 6 月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018 年前 5 个月的基础上分别增加 a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在 2018 年前 5 个月的基础上 分别增加 5a%，8a%．求 a 的值． 【思路分析】（1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数解 即可；（2）先求出到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾集中处理点 10 个；再求出前 5 个月 修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用；最后根据题意，列出关于 a 的一元二次方程，解方程即可求出 a 的值． 【解题过程】 23．解：（1）设 2018 年前 5 个月要修建 x 个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50－x)个，根据题意，得 x≥ 4(50－x)，解得 x≥40．答：按计划，2018 年前 5 个月至少要修建 40 个沼气池． （2）由题意可知，到 2018 年 5 月底前，该县修建的沼气池 40 个，修建垃圾集中处理点 10 个，若令修建的 沼气池每个 y 元，则修建的垃圾集中处理点的每个 2y 元，从而由题意得 40y＋10×2y＝78，解得 y＝1.3，即到 2018 年 5 月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为 1.3 万元和 2.6 万元． 根据题意，得 40•(1＋5a%)•1.3(1＋a%)＋10•(1＋8a%)•2.6(1＋5a%)＝78•(1＋10a%)． 令 a%＝t，则 52(1＋5t)(1＋t)＋26(1＋8t)(1＋5t)＝78(1＋10t)，整理，得 10t2－t＝0，解得 t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而 a%＝0.1，a＝10． 答：a 的值为 10． 【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的应用 3. （2018 江苏省盐城市，23，10 分） 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大 销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价 每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件． （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为___________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？5 【思路分析】（1）由题意得，20+2×3＝26，所以若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件； （2）本题中的相等关系：每天每件的盈利×每天的销量＝每天销售利润 【解题过程】解：（1）26； （2）设当每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元． 由题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200． 整理，得 x 2－30 x＋200＝0． （x－10）（x－20）＝0． x1＝10，x2＝20． 又每件盈利不少于 25 元，∴x＝20．不合题意舍去 答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元． 【知识点】一元二次方程的应用 4. （2018 四川省宜宾市，6，3 分）某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该市 2017 年 “竹文化”旅游收入约为 2 亿元。预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ） A.2% B.4.4% C.20% D.44% 【答案】C 【解析】设该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），故选择 C. 【知识点】一元二次方程的实际应用 1.（2018·重庆 A 卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造． （1）原计划今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的里程数至少是道 路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化的里程数至少是多少千米？ （2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的 最小值．2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路硬化和 道路拓宽的经费之比为 1﹕2，且里程数之比为 2﹕1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今 年 6 月起至年底，如果政府经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每6 千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加增加 a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程 数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值． 【思路分析】（1）根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍”列不等式，并求不等式的最小整数 解即可；（2）先求出 2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费，最后根据题意，列出关于 a 的一元 二次方程，解方程即可求出 a 的值． 【解析】 23．解：（1）设今年 1 至 5 月道路硬化的里程为x 千米，则道路拓宽的里程为(50－x)千米，根据题意，得 x ≥4(50－x)，解得 x≥40．答：今年 1 至 5 月道路硬化的里程为 40 千米． （2）∵2017 年道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，且里程数之比为 2﹕1， ∴道路硬化为 30 千米，道路拓宽为 15 千米． 设 2017 年道路硬化每千米的经费为 y 万元，则道路拓宽每千米的经费为 2y 万元，根据题意，得 30y＋ 15×2y＝780，解得 y＝13．从而 2017 年道路硬化每千米的经费为 13 万元，道路拓宽每千米的经费为 26 万元． 根据题意，得 13•(1＋a%)•40(1＋5a%)＋26•(1＋5a%)•10(1＋8a%)＝780•(1＋10a%)． 令 a%＝t，则 520 (1＋5t)(1＋t)＋260 (1＋8t)(1＋5t)＝780 (1＋10t)，整理，得 10t2－t＝0，解得 t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而 a%＝0.1，a＝10． 答：a 的值为 10． 【知识点】一元一次不等式的应用 一元二次方程的应用 2. （2018 湖北宜昌，22，10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和 沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”( 下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案) 进行治理，若江水污染指数记为 ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的 每家工厂一年降低的 值都以平均值 计算，第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 值降低了 12. 经过 三年治理，境内长江水质明显改善. (1)求的 值； (2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 ,三年来用乙方案治理的工厂 数量共 190 家，求 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； Q Q n Q n m m7 (3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 值比上一年都增加一个相同的数值 . 在(2) 的 情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 值与当年因甲方案治理降低的 值相等.第三年，用 甲方案使 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 值及 的值. 【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个 数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数; (2)∵从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 ,三年来用乙方案治理的工 厂数量共 190 家，∴可得方程 ，计算出增长率 m； (3)设第一年用甲方案整理降低的 值为 ，据题建立二元一次方程组 ，解出方程组，写出答案. 【解析】解：(1) (2) 解得： （舍去） ∴第二年用乙方案治理的工厂数量为 （家） (3)设第一年用甲方案整理降低的 值为 ， 第二年 值因乙方案治理降低了 ， 由题得： ， ∴Q 值为 20.5， 的值为 9.5. 【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题. Q a Q Q Q Q a m 240 40(1 ) 40(1 ) 190m m+ + + + = Q x 30 2 39.5 x a x a + =  + = 40 12n = 0.3n∴ = 240 40(1 ) 40(1 ) 190m m+ + + + = 1 2 1 7,2 2m m= = − 40(1 ) 40 (1 50%) 60m+ = × + = Q x Q 100 100 0.3 30n = × = 30 2 39.5 x a x a + =  + = 20.5x∴ = 9.5a = a8 3. （2018 山东德州，23，12 分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型 高科技设备，每台设备成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台售价为 40 万元时,年销售量为 600 台;每台售价 为 45 万元时,年销售量为 550 台.假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系. (1)求年销售量 与销售单价 的函数关系式; (2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10000 万元的年利润.则该设备的销售 单价应是多少万元? 【思路分析】(1)将有序实数对（40，600）、（45，550）代入 求解即可； (2)根据相等关系“年总利润=每台利润×年销售量”列方程计算即可. 【解析】解：（1）∵此设备的年销售量 （单位：台）和销售单价 （单位：万元）成一次函数关系. ∴可设 ，将数据代入可得： 解得： ， ∴一次函数关系式是 ； （2）此设备的销售单价是 万元，成本价是 30 方元， ∴该设备的单件利润为 万元， 由题意得： ， 解得： ， ∵销售单价不得高于 70 万元，即 ， ∴ 不合题意，故舍去，∴ ． 答：该公可若想获得 10000 万元的年利润，此设备的销售单价应是 50 万元． 【知识点】待定系数法，一元二次方程的应用 4. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，17，8）先化简，再求值： ，其中 x 是方程 x2＋3x＝ 0 的根． 【思路分析】（1）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简；（2）解一元二次方程x2＋3x x y x ( )0y kx b k= + ≠ y x ( )0y kx b k= + ≠ 40 600 45 550 k b k b + =  + = 10 1000 k b = −  = 10 1000y x= − − x ( )30x − ( )( )30 10 1000 10000x x− − + = 1 2=80, =50x x 70x ≤ 1 80x＝ 50x＝ 2 1( 1)1 1 x x x + ÷− −9 ＝0；（3）将方程的根代入化简后的式子进行计算，注意要使分式有意义． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝x＋1， ∵x 是方程 x2＋3x＝0 的根， ∴x1＝0，x2＝－3． ∴当 x＝0 时，原式无意义；当 x＝－3 时，原式＝－3＋1＝－2． 【知识点】分式的运算；一元二次方程的解法；分式有意义的条件 5. （2018 贵州安顺，T23，F12）某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划 投入资金 逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1600 万元. （1）从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先 搬迁租房奖励，规定前 1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励 8 元，1000 户以后每户每天 奖励 5 元，按租房 400 天计算，求 2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励. 【思路分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据 2015 年投入的资金×（1+平均增长率）² =2017 年投入的资金，列出方程求解即可; (2)设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据前 1000 户活的的奖励总数+1000 户以后获得的奖励总 和≥5000000，列出不等式求解即可. 【解题过程】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x， 根据题意得 1280（1+x）²=1280+1600， 解得 x=0.5 或 x=-2.5（舍）. 答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%. （2）设 2017 年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励， ∵8×1000×400=3200000＜5000000， ∴a＞1000. 根据题意得 1000×8×400+（a-1000）×5×400≥5000000， 解得 a≥1900. 答：2017 年该地至少有 1900 户享受到优先搬迁租房奖励. 【知识点】一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用. 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x + − + −⋅− ( 1)( 1) 1 x x x x x + −⋅−10 6.（2018 湖北省孝感市，21，9 分）已知关于 的一元二次方程 . （1）试证明：无论 取何值此方程总有两个实数根； （2）若原方程的两根 ， 满足 ，求 的值. 【思路分析】（1）将原方程化成一般形式，利用判别式 ≥0 即可证明无论 取何值此方程总有两个实数根. （ 2 ） 根 据 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 可 得 出 ， ， 再 结 合 即可求出 p 的值. 【解题过程】（1）证明：∵ ， ∴ . ∴ = ≥0. ∴无论 取何值此方程总有两个实数根. （2）解：由（1）知：原方程可化为 ， ∴ ， . 又∵ ， ∴ . ∴ ， . ∴ ，∴ . 【知识点】一元二次方程的应用；判别式法；一元二次方程根与系数的关系. x ( 3)( 2) ( 1)x x p p− − = + p 1x 2x 2 2 2 1 2 1 2 3 1x x x x p+ − = + p ∆ p 1 2 5x x+ = 2 1 2 6x x p p= − − 2 2 2 1 2 1 2 3 1x x x x p+ − = + ( 3)( 2) ( 1)x x p p− − = + 2 25 6 0x x p p− + − − = 2 2( 5) 4(6 )p p∆ = − − − − 2 225 24 4 4 4 4 1p p p p= − + + = + + 2（2 1）p+ p 2 25 6 0x x p p− + − − = 1 2 5x x+ = 2 1 2 6x x p p= − − 2 2 2 1 2 1 2 3 1x x x x p+ − = + 2 2 1 2 1 2( ) 3 3 1x x x x p+ − = + 2 2 25 3(6 ) 3 1p p p− − − = + 2 225 18 3 3 3 1p p p− + + = + 3 6p = − 2p = −1