2018年中考数学试题分类汇编知识点18二次函数概念、性质和图象.doc

1 知识点 18 二次函数概念、性质和图象 一、选择题 1.（2018 山东滨州，10，3 分）如图，若二次函数 （a≠0）图象的对称轴为 x＝1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（－1，0）则①二次函数的最大值为 a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b²－4ac＜0；④当 y＞ 0 时，－1＜x＜3．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第 10 题图 【答案】B 【解析】由图像可知，当 x＝1 时，函数值取到最大值，最大值为：a＋b＋c,故①正确；因为抛物线经过点 B（－ 1,0），所以当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＝0,故②错误；因为该函数图象与 x 轴有两个交点 A、B，所以 b²－4ac＞ 0，故③错误；因为点 A 与点 B 关于直线 x＝1 对称，所以 A(3，0)，根据图像可知，当 y＞0 时，－1＜x＜3，故④ 正确；故选 B． 【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质 2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为 9，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 　 D. 【答案】D 【解析】原函数可化为 y=a(x+1)2+3a2-a+3，对称轴为 x=-1，当 时， 随 的增大而增大，所以 a>0，抛物 线开口向上，因为 时， 的最大值为 9，结合对称轴及增减性可得，当 x=1 时，y=9，带入可得， a1=1，a2=-2，又因为 a>0，所以 a=1 【知识点】二次函数，增减性 2y ax bx c= + + 2 22 3 3y ax ax a= + + + x 2x ≥ y x 2 1x− ≤ ≤ y a 1 2− 2− 2 2 1 2x ≥ y x 2 1x− ≤ ≤ y2 3. （2018 甘肃白银，10，3）如图是二次函数 是常数， 图像的一部分，与 轴的 交点 A 在点（2 ，0 ）和（3 ，0 ）之间，对称轴是 =1 ，对于下列说法：① ，② ，③ ，④ ，⑤当 时， ，其中正确的是（ ） A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤ 【答案】A 【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与 轴的交点逐一判断即可。 【解题过程】解：①②∵抛物线的开口向下 ∴ ∵抛物线的对称轴 =1，即 ， ∴ ∴①②正确。 ③∵当 =-1 时， = ，由对称轴为 =1 和抛物线过 轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛 物线与 轴的另一个交点则在-1 到 0 之间，所以当 x= -1 时，抛物线 。所以③错误。 ④∵当 =1 时，抛物线 ,此点为抛物线的顶点，即抛物线的最高点，也是抛物线的最大值。当 时， ， ∴此时有： ，即 ，所以④正确。 ⑤∵抛物线过 轴上的 A 点，A 点在 2 与 3 之间，则抛物线与 轴的另一个交点则在-1 到 0 之间，由图知，当 时，有一部分图像位于 轴下方，说明此时 ，同理，在 时，也有一部分图像位于 轴 下方，说明此时 。所以⑤错误。 故选 A 【知识点】抛物线的图像与抛物线中系数 a,b,c 的关系，抛物线的对称轴与抛物线中系数 a,b,c 的关系，抛物线 与 轴的交点与对称轴的关系，抛物线的几个特殊点即： ， 等。 2 ( , ,y ax bx c a b c= + + 0)a ≠ x x 0ab < 2 0a b+ = 3 0a c+ > ( )(a b m am b m+ ≥ + 为常数） 1 3- x 0a < x 12 bx a = − = 2 0> ,b a= − 2 0a b+ = x y a b c= − + 3a c+ x x x 3 0y a c= + < x y a b c= + + x m= 2 ( )y am bm c m am b c= + + = + + ( )a b c m am b c+ + ≥ + + ( )a b m am b+ ≥ + x x 2 3x< < x 0 3x m 1 mxxx 1 321 =++=ω6 说法错误；B、当t=24 时，h=－576+576+1=1，火箭得升空高度是 1 米，故 B 选项说法错误；C、当t=10 时，h=－ 100+240+1=141，故 C 选项说法错误；D、根据题意，可得：最大高度为： ，故 D 选项说 法正确，故选 D. 【知识点】二次函数的应用；函数值；二次函数的最大值 7. （2018 山东潍坊，9，3 分）已知二次函数 (h 为常数)，当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时，与其 对应的函数值 y 的最大值为－1，则 h 的值为（ ） A．3 或 6 B．1 或 6 C．1 或 3 D．4 或 6 【答案】B 【解析】二次函数 ，当 x=h 时，有最大值 0，而当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时，与其对应的函数 值 y 的最大值为－1，故 h＜2 或 h＞5. 当 h＜2 时，2≤x≤5 时，y 随 x 的增大而减小，故当 x=2 时，y 有最大值， 此时 ，解得：h1=1，h2=3（舍去），此时 h=1；当 h＞5 时，2≤x≤5 时，y 随 x 的增大而增大，故 当 x=5 时，y 有最大值，此时 ，解得：h1=6，h2=4（舍去），此时 h=6；综上可知 h=1 或 6 故选择 B. 【知识点】二次函数的图象和性质 8. （2018 山东潍坊，12，3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B=60°，动点 P 以 1 厘米/秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止． 若 点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米²，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是 （ ） 【答案】D 【思路分析】分为点 Q 在 BC 段和 CD 段上分别讨论函数的图象结合运动规律即可判断出函数关系的图象. 24 4 576 1454 4 ac b a − − −= =− 2( )y x h= − − 2( )y x h= − − 2(2 ) 1h− − = − 2(5 ) 1h− − = −7 【解题过程】解：当 0≤t≤2 时，点 Q 在 BC 上，此时 BP=4－t，BQ=2t， 是一段开口向下的抛物线的一部分，可排除答案 A 和 C，当 2≤t≤4 时,△BPQ 的高不变，始终为 4sin60°= ，此时 ,面积随底边的减小而减小，最终变为 0，故选择 D. 【知识点】函数的图象，分段函数，菱形的性质 9.（2018 年山东省枣庄市，9，3 分） 如图是二次函数 图像的一部分，且过点 ，二次 函数图像的对称轴是直线 ，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路分析】首先由图像得出 a， c 的符号以及与 x 轴的交点，再由对称轴得到 a，b 的关系，最后根据二次函 数图像的对称性得到点 A 关于对称轴对称的点的坐标得 a-b+c 的关系. 【解题过程】解：由图像的开口向上可知 a＞0，与 x 轴交于负半轴可知 c＜0，∴ac＜0，A 错误；图像与 x 轴有 两 个 交 点 可 知 ， 即 ， B 错 误 ； 由 对 称 轴 是 直 线 得 ， ∴ b=-2a ， 2a-b=2a-(-2a)=-4a＜0, ∴C 错误；由二次函数图像的对称性可得二次函数图像与 x 轴的另一个交点的坐标 为（-1，0），∴ ，D 正确.故选 D. 【知识点】二次函数的图像与性质 10. （2018 四川省成都市，10，3）关于二次函数 y＝ ＋4x－1，下列说法正确的是（ ） A．图像与 y 轴的交点坐标为（0，1） B．图像的对称轴在 y 轴的右侧 C．当 x＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 D．y 的最小值为－3 【答案】D 21 3(4 ) 2 sin 60 2 32 2S t t t t= − ⋅ ° = − + 2 3 1 (4 ) 2 3 3 4 32S t t= − ⋅ = − + cbxaxy ++= 2 )0,3(A 1=x acb 42 < 0>ac 02 =− ba 0=+− cba 2 4 0b ac− > 2 4b ac> 1=x 12 b a − = 0=+− cba 22x8 【解题过程】解：因为当 x＝0 时，y＝－1，所以图像与 y 轴的交点坐标为（0，－1），故 A 错误；图像的对称轴 为 x＝ ＝－1，在 y 轴的左侧，故 B 错误；因为－1＜x＜0 时，在对称轴的右侧，开口向上，y 的值随 x 值的 增大而增大，故 C 错误；y＝ ＋4x－1＝ －3，开口向上，所以有最小值－3，D 正确．故此选择 D． 【知识点】二次函数的性质 11. （2018 四川省达州市，10，3 分）如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A（－1，0），与 y 轴 的交点 B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝2． 下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0; ③若点 M（ ，y1）、N（ ，y2）是函数图象上的两点，则 y1＜y2； ④－ ＜a＜－ . 其中正确结论有（ ）． A．1 个 B． 2 个 C．3 个 D． 4 个 第 10 题图 【答案】D 【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵－ ＞0，∴b＞0．∵抛物线交 y 轴于正半轴，∴c＞0． ∴abc＜0，① 正确； 当 x＝3 时， y＝9a＋3b＋c＞0，②正确; ∵对称轴为直线 x＝2，点 M（ ，y1）与对称轴的距离大于点 N（ ，y2）与对称轴的距离，∴y1＜y2，③正确； 2 b a − 22x ( )22 1x + 1 2 5 2 3 5 2 5 x y x=2 A –1 1 2 3 B O 2 b a 1 2 5 29 ∵抛物线与 x 轴的交点坐标分别为 A（－1，0），（5，0）， ∴二次函数的解析式为 y＝a（x＋1）（x－5） ＝a（x2－4x－5）＝ax2－4ax－5a． ∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∴2＜－5a＜3．∴－ ＜a＜－ ，④正确. 故选 D. 【知识点】二次函数的图象与性质 12. （2018 四川广安，题号 7，分值：3）抛物线 y=(x-2)2-1 可以由抛物线 y=x2 平移而得到，下列平移正确的是 （ ） A.先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B.先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 C.先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D.先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 【答案】D. 【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线 y=x 2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到 y=(x-2)2-1. 【知识点】二次函数图像的平移 13. （2018 浙江绍兴，9，3 分） 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛 物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛 物线过点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3 5 2 5 2y x ax b= + + x 1x = ( 3, 6)− − ( 3,0)− ( 3, 5)− − ( 3, 1)− −10 【 解 析 】 由 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 ， ， 可 求 得 抛 物 线 ， ， 抛 物 线 与 轴两个交点间的距离为 2，可知 ，即抛物线 解析式为 ， 由将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，可得平移后的抛物线为： ，当 时， ，也即是抛物线过 ，故选 B 【知识点】二次函数的图像和性质、二次函数的平移、二次函数的解析式 14. （2018 湖南衡阳，12，3 分）如图，抛物线 与 轴交于点 A（-1，0），顶点坐标（1，n）， 与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ① ；② ；③对于任意实数 ， 总成立；④关于 的方程 有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C. 【思路分析】根据抛物线的开口方向向下，可得 a＜0，由顶点坐标（1，n），得对称轴为直线 x=1， 即- =1，所以 b=-2a，故 3a+b=a，据此可判断结论①的正误；根据抛物线与 y 轴的交点位置可知，2≤c≤3， 由抛物线经过点 A（-1，0），可得 a-b+c=0，代入 b=-2a，得 c=-3a，即 2≤-3a≤3，据此可判断②的正误；由抛 物线顶点坐标为（1，n），可知当 x=1 时，函数有最大值 n，且 a+b+c=n，因此 a+b+c≥am2+bm+c，化简即可判断 故③的正误；结合图象可知，直线 y=n-1 与抛物线有两个交点，即一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的 1x = 12 b a − = 2y x ax b= + + 2a = − 2y x ax b= + + x 0b = 2y x ax b= + + ( )21 1y x= − − ( )21 4y x= + − 3x = − 0y = ( 3,0)− 2y ax bx c= + + x 3 0a b+ < 21 3a− ≤ ≤ − m 2a b am bm+ ≥ + x 2 1ax bx c n+ + = − 2 b a11 实数根，故可得出④的正误，进而可得出答案. 【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴- =1，∴b=-2a， ∴3a+b=3a+（-2a）=a＜0，故①正确； ∵抛物线与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3. ∵抛物线与 x 轴交于点 A（-1，0），∴a-b+c=0， ∴a-（-2a）+c=0，∴c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤- ，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴当 x=1 时，函数有最大值 n， 即 a+b+c=n，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，n），抛物线开口向下， ∴直线 y=n-1 与抛物线有两个交点，即一元二次方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根，故④正确. 综上所述，结论正确的是①②③④共 4 个． 故选 D． 【知识点】二次函数的图象与性质、 抛物线与一元二次方程的关系、数形结合思想 15. （2018 湖南长沙，12 题，3 分）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax-2a 总不经过点 P（x0-3,x02-16）， 则符合条件的点 P（ ） A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无穷多个 【答案】B 【解析】由题意得 y=a(x+2)(x-1) ，总不经过点 P （x0-3,x02-16 ），将点 P 坐标带入抛物线的解析式，得 a(x0-1)(x0-4)≠(x0-+4)(x0-4)恒成立。①当 x0=1 时，得 0≠-15，恒成立，带入解析式可得 P1（-2,-15）；②x0=4 时，左边＝右边=0，不符合题意；③当 x0=-4 时，得 40a≠0，因为 a≠0，所以不等式恒成立，带入解析式可得 P2 （-7,0 ）；④ 当 x0≠1 且 x0≠4 且 x0≠-4 时，a≠ 不恒成立。综上所述，存在两个点 P1 （-2,-15），P2（-7,0） 2 b a 2 3 0 0 0 4 511 1 x x x + = +− −12 【知识点】二次函数 16.(2018 山东青岛中考，8，3 分)已知一次函数 的图象如图，则二次函数 在平面直角 坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由一次函数 的图象可知 ＜0，c＞0．∵ ＜0，∴－ ＞0，∴二次函数 的 图象的对称轴在 y 轴右侧，∵c＞0，∴二次函数 的图象与 y 轴交于 y 轴正半轴，观察可知选项 A 中图象符合描述．故选 A． 【知识点】一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质； 17. （2018 山东威海，9，3 分） 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象如图所示，下列结论错误的是( ) A．abc＜0 B．a＋c＜b C．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞0 by x ca = + 2y ax bx c= + + by x ca = + b a b a 2 b a 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + +13 【答案】D 【解析】由函数图象的开口向下，判断 a＜0；由函数图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴上，判断 c＞0；由对称轴 在 y 轴的右侧，判断 ＞0，所以 b＜0，所以 abc＜0，A 结论正确；当 x＝－1 时，函数值为负，故 a－b＋c＜ 0，所以 a＋c＜b，B 结论正确；若 C 正确，则有 b2＞4ac－8a，b2＞4a（c－2）， ＜c－2，根据图象可知，c＞ 2，则 c－2＞0，故此时 ＞0 不成立，则 C 结论错误； ＜1，所以－b＞2a，即 2a＋b＜0，故 D 结论错误； 故选 D． 【知识点】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与系数 a、b、c 的关系 18. （2018 山东烟台，11，3 分）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于点 A（－1，0），B（3， 0）．下列结论：① ② ③当 时，y0．∴反比例函数 位于一、三象限， ∵抛物线的对称轴 y 轴左侧，∴ ∴ b>0． ∴直线 位于一、二、三象限，故选 C. 【知识点】二次函数的图像及性质；一次函数的图像及性质；反比函数的图像及性质. 22. （2018 陕西，10，3 分）对于抛物线 ，当 x=1 时，y＞0，则这条抛物线的顶点一 定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ay x = 02 b a − < y ax b= + 2 (2 1) 3y ax a x a= + − + −33 【答案】C 【思路分析】根据题目给出的条件求出 a 的取值范围，把抛物线的顶点坐标用含字母 a 的代数式表示出来，得出 顶点横纵坐标的符号，即可判断所在象限． 【解题过程】∵抛物线 ，当 x=1 时，y＞0， ∴ ． 解得：a＞1． ∵ ， 抛物线顶点坐标为：（ ， ） ∵a＞1， ∴ ， ． ∴该抛物线的顶点一定在第三象限．故选择 C． 【知识点】二次函数的图象和性质 二、填空题 1. （2018 年山东省枣庄市，17，4 分）如图 1，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 .图 2 是点 运动时，线段 长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则 的 面积是 . 【答案】12 2 (2 1) 3y ax a x a= + − + − 2 1 3 0a a a+ − + − > 2 1 2 2 b a a a −− = − 2 24 4 ( 3) (2 1) 8 1 4 4 4 ac b a a a a a a a − − − − − −= = 2 1 2 a a −− 8 1 4 a a − − 2 1 02 a a −− < 8 1 04 a a − − < P ABC∆ B ACB →→ A P BP y x M ABC∆34 【思路分析】将动点 P 的运动过程划分为 BC、CA、AB 共 3 个阶段，分别进行分析，最后得出结论． 【解题过程】动点 P 运动过程中：①当动点 P 在 BC 上时，BP 由 0 到 5 逐渐增加，所以可得 BC=5；②当动点 P 在 AC 上时，BP 先变小后变大且当 BP 垂直 AC 时，BP 最小为 4；③当动点 P 在 AB 上时，BP 由 5 到 0 逐渐减小， 所以可得 AC=5，由题意可得△ABC 等腰三角形，AB=BC=5，且底边上高为 4， BP 垂直 AC 时，勾股定理可得 AP=CP=3,所以△ABC 面积= ． 【知识点】函数的图像；分类讨论思想；数形结合思想 2. （2018 四川广安，题号 15，分值：3）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线 x=1，则下 列结论正确的有____. ①abc＞0 ②方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=3 ③2a+b=0 ④当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 第 15 题图 【答案】①②③. 【解析】∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图像开口向下， ∴a＜0. ∵二次函数图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴， ∴c＞0. ∵x=- ＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0. 则①正确； 由二次函数图像与 x 轴的交点横坐标为 3，对称轴 x=1， 1 6 4 122 1 2 AC BP* = ´ ´ =35 则另一个点的横坐标为 2×1-3=-1， ∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1，x2=3. ∴②正确； ∵对称轴为 x=- =1， 则 2a+b=0. ∴③正确； ∵二次函数图像的开口向下，对称轴为 x=1， ∴当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小. ∴④错误. 故正确的有①②③. 【知识点】二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程 3. （2018 四川省南充市，第 16 题，3 分）如图，抛物线 （ ， ， 是常数， ）与 轴 交于 ， 两点，顶点 .给出下列结论：① ；②若 ， ， 在 抛物线上，则 ；③关于 的方程 有实数解，则 ；④当 时， 为等腰直角三角形，其中正确结论是 （填写序号）． 【答案】②④ 2y ax bx c= + + a b c 0a ≠ x A B ( , )P m n 2 0a c+ < 1 3 ,2 y −   2 1 ,2 y −   3 1 ,2 y     1 2 3y y y> > x 2 0ax bx k+ + = k c n> − 1n a = − ABP∆36 【思路分析】①根据抛物线的对称轴＜ ，得到 a，b 之间的关系，再根据当 x=－1 时的函数值大于 0，得到关 于 a，b，c 的关系式，两式相加即可；②结合图象，根据抛物线的增减性，直接判断即可；③根据题意，易得抛 物线 y= 的顶点坐标，从而可得 0，利用抛物线的顶点坐标，用含 m 的式子表示 n，然 后将其代入 0 即可；④利用顶点坐标公式，表示出 n 的值，又根据 ，可得 = ，整理得到 ，利用根与系数的关系，求出 AB 的长度，在利用等腰直角三角形的判定证明 即可. 【解题过程】解：①∵抛物线 的开口向上，∴ >0，∵ < ，∴ >0，由函数图像知 （－1， ）在抛物线 上，∴ >0，∴（ ）+（ ）>0 即 >0，∴①错 误；②∵ >0， < ，y 随 x 增到而减小， < ，∴ > ，从图象可以看出 x= 到对称轴的距离小于 x= 到对称轴的距离，∴ > ，∴ > > ，∴②正确；③∵若关于 的方程 有实数解， ∴抛物线 与 轴有交点，抛物线 是抛物线 向上或向下平移得 到 的 . ∴ 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 ， ∴ 0 ， ∵ 抛 物 线 的 顶 点 为 ， ∴ ， ∵ ＝ ＝ 0 ，∴ ，∴ ，∴③错误；④∵抛物线 的对称轴为 ，∴顶点的纵坐标为 ，∵抛物线 的顶点为 ， ，∴ = 整理得： ，设抛物线 与 轴交于 A、B 两点， ， ,对称 轴 = 与 轴交于 D 点，如下图： 1 2 2ax bx k+ + kbmam ++2 ≤ kbmam ++2 ≤ an 1−= a 1− a bac 4 4 2− 442 =− acb 2y ax bx c= + + a a b 2 − 2 1 ba + cba +− 2y ax bx c= + + cba +− ba + cba +− ca +2 a x 2 1 2 3− 2 1− 1y 2y 2 1 2 1− 2y 3y 1y 2y 3y x 02 =++ kbxax =y kbxax ++2 x =y kbxax ++2 2y ax bx c= + + =y kbxax ++2 ( )kbmamm ++2， kbmam ++2 ≤ 2y ax bx c= + + ( )nmP , cbmamn ++= 2 ( )k c n− − ( )2k c am bm c − − + +  kbmam ++2 ≤ 0)( ≤−− nck nck −≤ 2y ax bx c= + + a bx 2 −= a bac 4 4 2− 2y ax bx c= + + ( )nmP , an 1−= a 1− a bac 4 4 2− 442 =− acb 2y ax bx c= + + x ( )01，xA ( )02，xB x a b 2 − x37 ∴ ， 是一元二次方程 两根， + = ， = ，∵AB= ，∴AB= = ，∵对称轴 PD= = 与 轴交于 D 点，∴BD= AB= ，∵AD= = ，∴BD= AD，∵PD⊥AB，∴∠PBD=45°，∵PA=PB，∴∠PBA=90°，∴△ABP 为等腰直 角三角形，∴④正确.综上所述：正确的结论②④. 【知识点】二次函数图像性质与二次函数系数的正负关系，二次函数的在区间内的单调性，二次函数图像的平移， 二次函数与一元二次方程的思想，二次函数最值 4. （2018 山东省淄博市，16，4 分）已知抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条 抛物线向右平移 m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧）.若 B、C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为_____________________________. 【答案】2 或 8 【思路分析】求出点 A、B 的坐标，利用三等分点得到的线段相等求解. 【解题过程】易求点 A（-3,0），B（1,0），若平移中 C 在 AB 之间且 B、C 是线段 AD 的三等分点，则 AC=CB，此时 C （-1,0），m=2；若平移中 C 在 B 点右侧且 B、C 是线段 AD 的三等分点，则 AB=BC，此时 C（5,0），m=8. 【知识点】二次函数的特征点 5. （2018 四川省德阳市，题号 17，分值：3）已知函数 y= 使 y=a 成立的 x 的值恰好只有 3 个 时，a 的值为____. 【答案】2. 【解析】画出函数解析式的图像，要使 y=a 成立的 x 的值恰好只有 3 个，即函数图像与 y=2 这条直线有 3 个交点， 即 a=2. 1x 2x 02 =++ cbxax 1x 2x a b− 1x 2x a c 21 xx − ( ) ( ) a acbxxxxxxxx 44 2 21 2 21 2 2121 −=−+=−=− a 2 x a b 2 − x 2 1 a 1 a 1− a 138 第 17 题答图 【知识点】二次函数的应用 1. （2018 武汉市，15，3 分）飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 ．在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是___________m 【答案】24 【思路分析】由 ＝ 知在飞机着陆滑行 20s 时滑行的距离最大 600m，然后再求出 飞机滑行 16s 时滑行的距离，即可求出飞机最后 4 s 滑行的距离. 【解题过程】∵ ＝ ， ∴当 t=20 时，滑行到最大距离 600m 时停止；当 t=16 时，y=576，所以最后 4s 滑行 24m. 【知识点】求二次函数顶点坐标 已知自变量的值求函数值 2. 3. 4. 5. 6. 2 2 360 tty −= 2 2 360 tty −= 23 ( 20) 6002 t− − + 2 2 360 tty −= 23 ( 20) 6002 t− − +39 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.40 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答题 1. （2018 浙江杭州，22，12 分）设二次函数 （ 是常数， ） （1）判断该二次函数图象与 x 轴交点的个数，说明理由. （2）若该二次函数的图象经过 A（-1,4），B（0，-1），C（1,1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达 式； （3）若 ，点 P（2，m）(m>0)在该二次函数图象上，求证： . 【思路分析】（1）比较根的判别式与 0 的大小关系；（2）根据函数关系式特点可判断出一定过（1,0）且不经过 （1,1），故代入另两点求出 ；（3）将 P 点代入结合 ，运用等式或不等式的性质整体转换 【解题过程】 【知识点】二次函数图像与 x 轴的交点与一元二次方程解的关系；二次函数的解析式；点与函数图象的关系 2. （2018 浙江湖州，19，6）已知抛物线 y＝ax2+bx—3（a≠0）经过点（－1，0），（3，0），求 a，b 的值． 【思路分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可． )(2 babxaxy +−+= ba, 0≠a 0a ,a b 0    二次函数与 轴有 个或 个交点 （ ）由（）可得，图像过（ ），则不经过（ ），即只可经过A，B两点，代入A，B得： 在二次函数图象上， 又 2 0, 0a a∴ > >即41 【解题过程】解 把点（—1，0），（3，0）的坐标分别代入 y＝ax2+bx－3， 得， ............................................2 分 解得 ....................................................4 分 即 a 的值为 1，b 的值为－2． 【知识点】抛物线的解析式，点的坐标 3. （2018 宁波市，22 题，10 分） 已知抛物线 经过点（1,0），（0， ）. （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数 表达式. 【思路分析】 【解题过程】解（1）把（1,0）和（ ）代入 ,得 解得 ∴抛物线的函数表达式为 （2）∵ ∴顶点坐标为(-1,2) ∴将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平42 移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度(答案不唯一) 平移后的函数表达式为 【知识点】待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移