湛江一中2016-2017学年度第一学期“第二次大考”
高一级数学科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：景晓芳
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.集合，，若，则实数的值为（ ）
A.3或-1 B.3 C.3或-3 D.-1
2.已知两条不同的直线和平面，下列说法正确的是（ ）．
A.如果是不在任何同一个平面内的直线，那么
B.如果是不在任何同一个平面内的直线，那么与相交
C.如果共面，那么
D.如果共面，那么
3.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数的图象的是（ ）．
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
7.已知函数为定义在R上的奇函数，当
时，(为常数)，则的值为( )
A．－3 B．－1 C． D．3
8.若，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
9.对实数和，定义运算：，设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积为 ( )．
A． B． C. D．1
11. 函数在[0,2]上为减函数，则的取值范围是（ ）
12.设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
一、 填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域是 .
14.设是定义在上的偶函数，则的值域是_______.
15.正方体中，和分别是和的中点，那么直线与直线所成角的大小是 .
16.已知函数，若存在常数，对任意存在唯一的，使得，则称常数是函数在上的 “湖中平均数”．若已知函数
，则在上的“湖中平均数”是 ．
一、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本题满分10分）
求值：（1）
（2）
18. （本题满分12分）
已知函数（为非零实数）
（1） 判断的奇偶性，并加以证明；
（2） 当时，用定义证明在上单调递减，在上单调递增；
写出在的单调区间（不用加以证明）
19. （本题满分12分）
如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，， 是线段的中点．
（1）求证：平面；111.KS5U
（2）求三棱锥的体积．
20. （本题满分12分）
我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量的关系近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，为正常数），当时，市场供应量曲线如图所示：
（1） 根据图象求的值.
（2） 若市场需求量为，它近似满足，当时的价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率的最小值.
17. （本题满分12分）
若函数在区间上的最小值为，求的表达式并写出的最小值.
18. （本题满分12分）
已知函数．
(1) 当时，求满足的的取值；
(2) 若函数是定义在上的奇函数
存在，不等式有解，求的取值范围；
若函数满足,若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值
（注：在单调递减，在单调递增）
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第二次大考”
高一级数学科试卷参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
A
D
A
C
B
C
B
D
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）原式=（5分）
（2）原式=………………（5分）18.（1）函数是奇函数……………………………………………………(1分)
的定义域为，关于原点对称………………………(2分)
且……………………………………………(3分)
是奇函数…………………………………………………………………………（4分）
（2） 任取且，
则
………………（6分）
当时，
，即.在上单调递减；……（8分）
当时，
，即.在上单调递增；……（10分）
是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；…………………………（12分）
19.（Ⅰ）连接，如图，……………（1分）
∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，
∴，…………………………（3分）
∵平面，平面，
∴平面；……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由等积法可知…………………………………………………(7分)
∵是边长为2的正方形，∴，……………………………（8分）
又∵是长方体，∴是三棱锥的高，……………（9分）
又……………（12分）
20.解：（1）由图可知时，有解得……………………（4分）
（2） 当时，得……………………………………………（6分）
解得………………………………（8分）
令，在中，对称轴为直线，且图象开口向下。……………………………………………（10分）
时，取得最小值此时所以税率的最小值为…………（12分）
21.解：函数，对称轴为，顶点为，图象开口向上…（1分）
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。……………………………………（4分）
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。………………………………（6分）
图3
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 ………………………（9分）
图1 图2 图3
综上所述，……………………………………………（10分）
从而的最小值为1………………………（12分）
22. (1)由题意,,化简得
解得(舍)或………………………………………………（3分）
(2)因为是奇函数，所以，所以
化简并变形得：
要使上式对任意的成立，则且
解得：或，因为的定义域是，所以（舍去）
所以， 所以 ………………………………………（5分）
①
对任意有：
∵∴，∴∴在上递减．……（6分）
∵，∴，即在时有解，
∴，解得：，所以的取值范围为 …………………8分
②因为，所以
即
不等式恒成立,即
即恒成立……………………………………………………（10分）
令,则在时恒成立
令在上单调递减,在上单调递增
∴实数的最大值为6……………………………（12分）
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