湛江一中2016-2017学年度第一学期高二级第二次考试
理科数学试题
时间：120分钟 总分：150分 命题人：WHY
班级 姓名 试室号 座位号
一．选择题（每小题5分，共12小题）
1.下列命题是真命题的为( )
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
2．已知向量=（1，2，-y），=（x，1，2），若() (2-)，则（ ）
A. B C. D.
3．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．若满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．1 B． C．4 D．2
5.设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6.已知是实数，则“且”是“且”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（ ）
A．127 B．255 C．511 D．1023
8．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9.下列各组向量互相垂直的是（ ）
A. =（1，2，-2）， =（-2，-4，1）
B.=（2，4，5）， =（0，0，0）
C. =（1，2，）， =（，，1）
D. =（2，4，5）， =（-2，-4，-5）
10．点分别是椭圆的左顶点和右焦点, 点在椭圆上, 且,则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，共4小题）
13．命题：“或”的否定是________．
14．不等式的解集为 ．
15．已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，则△F2MN的周长为 ．
16．在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 。
三．解答题
17．（本小题满分10分）
设命题p：关于的一元二次不等式 的解集为R,
命题q：方程表示焦点在轴上的双曲线.
（1）如果p是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）解关于的不等式.
19. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为,且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线：＝＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
如图，是边长为3的正方形，，且.
（1）试在线段上确定一点的位置，使得；
（2）求二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知抛物线，直线与交于两点，且，其中为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点的坐标为，记直线的斜率分别为，证明为定值．
2016-2017学年度第一学期第二次考试高二理科数学答案
一．选择题（每小题5分）
1. A 2.B 3.C 4 .A 5.C 6. C 7.B 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B
二．填空题（每小题5分）
13. ，且 14. 15.8 16.
三．解答题
17.解：（1）若命题p为真命题，则恒成立
.........5分
（2）若命题q为真命题,则，.......7分
p真q假时，；p假q真，则，
综上.........10分
18.解：（1）当时不等式等价于，所以
解集为；.........5分
（2）不等式可化为则，
当时，解集为；当时，解集为；
当时，则不等式的解集为 .........12分
19.解：试题解析：（1），则，
即，，所以数列的通项公式为．.........6分
（2），
.........12分
20解：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题设得
解得故所求C的方程为＋x2＝1. .........5分
(2)存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.理由如下：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线的方程y＝kx＋代入＋x2＝1并整理得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0. (*)
则x1＋x2＝－，x1x2＝－........8分
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以＝0，即x1x2＋y1y2＝0. ......9分
又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3，
即y1y2＝－－＋3＝，
于是有－＋＝0，.......11分
解得k＝±.经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，符合题意，
即(*)的判别式Δ＞0恒成立．
所以当k＝±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
.........12分
21
解：（1）
取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，
∴，∴，且，所以四边形为平行四边形，可知，∵，
∴为的一个三等分点（靠近点）；.........6分
（2）如图建立空间直角坐标系：
则，
，
设平面的法向量为，
由，可得．
平面的法向量为，
由可得，因为二面角为钝二面角，可得，
所以二面角的余弦值为．.........12分
22解：（1）解：设，，联立方程组，消元得，所以，．……2分
又，………………4分
所以，从而．………………5分
（2）因为，，
所以，．………………6分
因此
………………8分
．
又，，………………9分
所以．
即为定值．………………12分
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