2018-2019学年宁夏固原市西吉九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（每小题3分，共8小题，满分24分）
1．若（m﹣2）x|m|+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2
2．一元二次方程x（x﹣2）=x的根是（ ）
A．0 B．2 C．3或0 D．0或﹣3
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴及顶点坐标是（ ）
A．直线x=﹣3，顶点坐标为（﹣2，﹣3）
B．直线x=3，顶点坐标为（2，3）
C．直线x=2，顶点坐标为（2，3）
D．直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，3）
4．下列图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．若二次函数y=ax2﹣2ax﹣1，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
7．点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜3 B．3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜3 D．3＜y2＜y1
8．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．把一元二次方程3x2+2=5x化成一般形式是 ．
10．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO= 度．
11．抛物线y=﹣x2﹣2x+1，其图象的开口 ，当x= 时，y有最 值是 ．
12．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图示，下列结论：
（1）b＜0；（2）c＞0；（3）b2﹣4ac＞0； （4）a﹣b+c＜0，
（5）2a+b＜0； （6）abc＞0；其中正确的是 ；（填写序号）
13．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．
14．如图，正三角形ABC要绕中心点O旋转到图中所在的位置，则应旋转 度．
15．某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：
16．在直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点中心对称的点的坐标是 ．
三．解答题（共10小题，满分62分）
17．（6分）解方程：
（1）（x+1）2﹣9=0．
（2）x2﹣4x+1=0（用配方法）
18．（6分）解方程：
（1）因式分解5x（x+1）=2（x+1）；
（2）公式法x2﹣3x﹣1=0．
19．（6分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
20．（6分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
21．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠EBC=30°，求∠EFD的度数．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC各顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）
（1）画出△ABC关于x轴的对称的图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C，请在网格中画出△A2B2C，并直接写出线段A2C1的长．
23．（8分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
24．（8分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
25．（8分）如图，已知矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=4，另外两个顶点C，D落在抛物线y=﹣x2+2x上，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结直线OC交抛物线的对称轴于点F．
（1）求抛物线的对称轴和直线OC的函数表达式．
（2）将△OEF绕点O旋转得到△OE′F′，当点F′恰好落在直线AD上时，求点E′的坐标．
26．许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：
旋钮角度（度）
20
50
70
80
90
所用燃气量（升）
73
67
83
97
115
（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．C．
3．C．
4．D．
5．B．
6．A．
7．A．
8．B．
二．填空题
9．3x2﹣5x+2=0
10．25．
11．向下，﹣1，大，2．
12．（2）（3）（4）（5）．
13．y=（x+2）2﹣3．
14．120．
15．100（1+x）2=179．
16．（2，﹣3）．
三．解答题
17．解：（1）（x+1）2﹣9=0
x+1=±3，
解得：x1=2，x2=﹣4；
（2）x2﹣4x+1=0（用配方法）
x2﹣4x+4=﹣1+4
（x﹣2）2=3，
则x﹣2=±，
解得：x1=2﹣，x2=2+；
18．解：（1）5x（x+1）﹣2（x+1）=0，
（x+1）（5x﹣2）=0
x+1=0或5x﹣2=0，
所以x1=﹣1，x2=；
（2）△=（﹣3）2﹣4×（﹣1）=13，
x=，
所以x1=，x2=．
19．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．
则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元），
答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
20．解：（1）a≠0，
△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，
∵a2＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．
21．解：∵△DCF是△BCE旋转得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=90°﹣30°=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE，
∴∠CFE=∠FEC=45°．
∴∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
22．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C为所作，线段A2C1的长==．
23．解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=﹣1和x=3两点，
∴方程的解为x1=﹣1，x2=3，
故答案为：﹣1或3；
（2）设抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）2+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1；
（4）若直线y=k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值，即y＞4．
24．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
25．解：（1）根据题意得：
抛物线的对称轴为：x=﹣=4，
∴OE=4
∵AB=4，
∴AE=BE=2
∴点C和点B的横坐标为6，
把x=6代入y=﹣x2+2x得：
y=﹣×62+2×6=3，
即点C的坐标为（6，3），
设直线OC的函数表达式为：y=kx，
把点C（6，3）代入得：
6k=3，
解得：k=，
故直线OC的函数表达式为：y=，
即抛物线的对称轴为：x=4，直线OC的函数表达式为：y=，
（2）①如图1中，当点F′在射线AD上时．作E′N⊥AD于N，设OE′交AD于P．
∵OF=OF′，EF=OA=2，
∴Rt△OFE≌Rt△F′AO，
∴AF′=OE=4，∠OF′A=∠FOE=∠F′OE′，
∴OP=PF′，设OP=PF′=m，
在Rt△PE′F′中，∵PF′2=E′F′2+PE′2，
∴m2=22+（4﹣m）2，
∴m=，
∴E′N==，
∴NF′==，
∴AN=AF′﹣F′N=4﹣=，
∴E′（，），
②如图2中，当点F′在DA的延长线上时，易知点E′在y轴上，E′（0，﹣4）
综上所述，点E的坐标为（，）或（0，﹣4）．
26．解：（1）若设y=kx+b（k≠0），
由，
解得，
所以y=﹣x+77，把x=70代入得y=63≠83，所以不符合；
若设y=（k≠0），由73=，解得k=1460，
所以y=，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；
若设y=ax2+bx+c，
则由，
解得，
所以y=x2﹣x+97（18≤x≤90），
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．
所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；
（2）由（1）得：y=x2﹣x+97=（x﹣40）2+65，
所以当x=40时，y取得最小值65．
即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115﹣65=50（升）
设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：
a=10，
解得a=23．
即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．
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