2018年湖北省襄阳市南漳县中考数学模拟试卷（6月份）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．|1﹣|=（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣
2．工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.21×103 B．12.1×103 C．1.21×104 D．0.121×105
3．下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3•a4=2a7
4．在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
6．如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
8．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
9．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y= B．y= C．y=3x+2 D．y=x2﹣3
10．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若x=2是方程8﹣2x=ax的解，则a= ．
12．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为 ．
13．函数y=的自变量x的取值范围为 ．
14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC= cm
15．如图， AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交与点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为 ．
16．矩形纸片ABCD， AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）如果（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
求的值．
18．（6分）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？
19．（6分）在今年“五•一”小长假期间，某学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小明想了解他所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元），并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共调查了 个家庭的收入，a= ，b= ；
（2）补全频数分布直方图，样本的中位数落在第 个小组；
（3）请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？
（4）在第1组和第5组的家庭中，随机抽取2户家庭，求这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率．
20．（6分）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
21．（7分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（1，n）．
（1）求一次函数y=kx+2与反比例函数y=的表达式；
（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．
22．（7分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE．
（1）求证：直线PD是⊙A的切线；
（2）若PC=2，sin∠P=，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．
23．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
24．（11分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
25．（13分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．B．
2．C．
3．D．
4．C．
5．B．
6．A．
7．D．
8．B．
9．B．
10．C．
二．填空题
11．2．
12．4．
13．x≤3．
14．．
15．﹣．
16．6或2．
三．解答题
17．解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
∴==1．
18．解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）3×65+4×75=495（元）
答：利润为495元．
19．解：（1）2÷5%=40（个），所以这次共调查了40个家庭；]
a=6÷40=15%，
第三组的家庭个数=40×45%=18（个），
b=（40﹣2﹣6﹣18﹣9﹣2）÷40=7.5%，
（2）第20个数和第21个数都落在第三组，所以样本的中位数落在第三个小组，
如图，
故答案为40，15%，7.5%；三；
（3）500×（5%+15%）=100（户），
所以估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有100户；
（4）设第1组的2户用A、B表示，第5组的3户用a、b、c表示，
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中这两户家庭人均月收入差距不超过200元的结果数为8，
所以这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率==．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN===13．
21．解：（1）把A（﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，
∴一次函数解析式为y=2x+2；
把C（1，n）代入y=2x+2得n=4，
∴C（1，4），
把C（1，4）代入y=得m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）∵PD∥y轴，
而D（a，0），
∴P（a，2a+2），Q（a，），
∵PQ=2QD，
∴2a+2﹣=2×，
整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），
∴D（2，0）．
22．解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，
∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，
又∵PD=BC，
∴AD=PD，
∴△ADH≌△DPC，
∴AH=CD．
∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，
∴AH=AB，即AH是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．
（2）如图，在Rt△PDC中，sin∠P==，PC=2，
令CD=2x，PD=3x，由勾股定理得：（3x）2﹣（2x）2=（2）2．
解得：x=2，
∴CD=4，PD=6，
∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，
∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为×4×2=4，
扇形ABE的面积为π×42=4π．
∴图中阴影部份的面积为24﹣4﹣4π=20﹣4π．
23．解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，
∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，
∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，
答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
24．
解：（1）如图1，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
故答案为：CH=AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．
如图2，连接BE，，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（3）如图3，，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，
∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，
∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，
∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3，
∴CK=AC+AK=AC+AB=，
即线段CK长的最大值是．
25．解：（1）∵OA=1，OB=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
代入y=﹣x2+bx+c，得
解得 b=2，c=3．
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．
∴PE⊥CD，PE=PA．
由y=﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
∴DF=CF，
∴△DCF为等腰直角三角形．
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
∴△DEP为等腰三角形．
设P（1，m），
∴EP2=（4﹣m）2．
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2
∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．
整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2．
∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．
如图，连结CQ、CB、CM，
∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴∠CBQ=45°，BC=3．
由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，
∴∠CBQ=∠CDM．
∴△DCM∽△BQC分两种情况．
当=时，
∴=，解得 DM=．
∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．
∴M1（1，）．
当时，
∴=，解得 DM=3．
∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．
∴M2（1，1）．
综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．
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