成都外国语学校高2014级一诊模拟
数 学 （理工类）
命题人：李斌 审题人：刘丹
一、 选择题
1、复数的值是（ ）
A. B. C. D.1
2、已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
3、等比数列的首项为，公比为，已知，则（ ）
A.或 B. C.或 D.或
4、如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）
A． B． C． D．
A
B
D
F
C
E
R
T
5、如图，在平行四边形中，点分别是边的中点，分别与对角线交于，有以下命题：①；②；③；④。其中正确的命题个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
6、要得到函数的图象，应该把函数的图象做如下变换（ ）
A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变
B.沿向左平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的而纵坐标不变
C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿向右平移个单位
D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿向左平移个单位
7、有如下四个命题：（1）“”是“”的必要不充分条件；（2）若都是正实数，则“”是“”的充分条件；（3）若都是正实数，则“”是“”的充分不必要条件；（4）“”是“”的充分不必要条件。其中真命题的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
8、从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在150,160)，160,170)，170,180)，180,190]的人数依次为A1，A2，A3，A4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法中正确的是( )
图1
A．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S的值为18
B．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S的值为16
C．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S的值为18
D．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S的值为16
正视图
侧视图
俯视图
9、一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ）
A. B.
C. D.
10、已知圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11、把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ）
A．2680种 B．4320种 C．4920种 D．5140种
12、定义在上的可导函数，当时，恒成立，，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13、要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，为得到所需A、B、C三种规格的成品，且使所用钢板张数最少，则第一种钢板、第二种钢板分别截___________块，
14、已知 （）的展开式中的系数为11．则当的系数取得最小值时，展开式中的奇次幂项的系数之和为___________．
15、已知等差数列的前n项和为，若，则下列四个命题中真命题的序号为 ．
①； ②公差； ③； ④
A
B
F
M
O
x
y
16、如图，已知双曲线的左焦点为，左准线与轴的交于点，过点的直线与双曲线相交于两点且满足，，则的值为___________
三、 解答题
17、（1）已知的三内角的对边分别为，证明：；
（2）利用（1）的结果解决下面的问题：
500km
A
B
C
D
北
E
如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从A地出发向B地飞行，飞行了后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知，且。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(方位角：由正北方向沿顺时针方向的旋转角。参考数据：)
患有颈椎疾病
没有患颈椎疾病
合计
白领
5
蓝领
10
合计
50
18、为了了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如右的列联表.
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关？说明你的理由；
（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3为工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0．10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
H
G
F
E
D
B
C
A
19、如图所示，平面平面，是等边三角形，是矩形，是的中点，是的中点，是的中点，与平面成角．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若，求三棱锥的体积
20、（本小题满分12分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．（1）求曲线的方程；
（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．
21、已知为实常数，函数.
（1）若在是减函数，求实数的取值范围；
（2）当时函数有两个不同的零点，求证：且
.（注：为自然对数的底数）；
（3）证明
选做题
22、已知曲线的参数方程为为参数），曲线的极方程为．
（1）分别求曲线和曲线的普通方程；
（2）若点，求的最小值．
23、设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
成都外国语学校2017届一诊考前模拟试题
理科数学
命题人：李斌 审题人：刘丹
一、 选择题
1、D
2、A【解析】根据题意，则关于的方程在区间有解，则的取值集合为函数在定义域上的值域，令，，显然值域为A
3、C【解析】要利用等比数列的求和公式必须分和讨论：当显然符合题意；当时，根据已知有，解得
4、C 【解析】矩形面积为，，因此阴影部分的面积为，所以所求概率为．故选C．
A
B
D
F
C
E
R
T
5、A【解析】设，则，因三点共线，且为之中点，则且，又三点共线，
则，由平面向量基本定理则有，所以，同理可得，所以为的两个三等分点，易得四个命题都正确，选A
6、C【解析】先将化为再化为
，最后进行图象变换。若先沿轴方向平移再伸缩：沿向右平移个单位，再把得图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变；若先伸缩再沿轴方向平移：先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的而纵坐标不变，再将所得图象沿向右平移个单位。所以该选C
7、B【解析】（1）显然错误；对于（2）：假设，又是正数，则，于是有与已知矛盾，所以假设不成立，于是（2）正确；对于（3）：由于都是正实数，则
，反过来令，则不成立，于是（3）正确；对于（4）：由，反过来，令，则不成立，于是（4）正确，所以选B
正视图
侧视图
俯视图
8、C解析 由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为170.4，乙班学生身高的平均数为170.7，故乙班学生的平均身高较高．由题意可知，A1＝2，A2＝7，A3＝9，A4＝2，由程序框图易知，最后输出的结果为S＝7＋9＋2＝18.
9、B【解析】根据三视图知，此多面体是由棱长为的正方体截去四个角而得到的棱长为的正四面体，于是选B
10、C【解析】因点在圆上，原点到直线的最大距离为，而，则的最大距离为，则原点到直线才能保证在圆
11、B【解析】个点可组成的三角形有，∵三盆兰花不能放在一条直线上，∴可放入三角形三个角上，有中放法，再放盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余个位置，有种放法，∴不同的摆放方法为种．故选B.
12、A【解析】构造函数，当时，即函数单调递增，
∴，
∴，即，故选A．
二、填空题
13、答案：3、9或4、8
O
x
y
【解析】设所需第一种钢板张，第二种钢板张，共需截这两种钢板张，
根据题意，得约束条件为，则目标函数为
解方程组，得点
把变形为，当直线经过可行域上的点时截距最小，
此时，当时直线经过可行域内的点它们是最优解。
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板数最小的方法有两种：第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张。两种截法都最少要两种钢板12张。
14、【答案】【解析】由题意得：，即：m+3n=11．x2的系数为：
当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=5 ，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2
设f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5
令x=1,则f（1）=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5
令x=-1,则f（-1）=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5
则a1+a3+a5==22,所求系数之和为22
考点：（1）二项式定理指定项或指定项系数；（2）赋值法求奇数项系数和．
15、答案：①②【解析】构造函数，则是单调递增的奇函数，
由已知有：，利用的单调性及奇偶性得：
A
B
F
M
O
x
y
对于①：，则①正确；
对于②：由于是等差数列，又，则公差，则②正确；
对于③：，则③错误；
对于 ④：，
显然，这与矛盾，则④错误
16、答案：或
D’
C
H
E
A
B
F
M
O
x
y
【解析】由双曲线的方程知离心率，分别过点作左准线的垂线，垂足分别为，又过点作轴的垂线，垂足为且交于点。设直线的倾斜角为。由双曲线的第二定义及直角三角形中三角函数的定义知：
同理可得，则平分，
由得，于是
当为锐角时如图，由设，
由双曲线的第二定义知，，在中，
，解之得，
当为钝角时可得
三、 解答题
17、【解析】（1）证明：利用向量证明：
在中，以为基向量，由已知得与的夹角为
又，则，所以
…………………………4分
500km
A
B
C
D
北
E
（2）解：如图，连接，在中由余弦定理，得：
，
则，
则，即是直角三角形，且，又，则，…………6分
在中，由余弦定理，则有：，则……6分
又则是等腰三角形，且，
由已知有，
在中，由余弦定理，有………………9分
又，则。
由飞机出发时的方位角为，则飞机由E地改飞C地的方位角为：
………………………………………………………………………11分
答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，E地离C地。………………12分
患有颈椎疾病
没有患颈椎疾病
合计
白领
5
蓝领
10
合计
50
18、【答案】（1）我们有99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的；（2）
【解析】解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为，
患有颈椎疾病
没有患颈椎疾病
合计
白领
20
5
25
蓝领
10
15
25
合计
30
20
50
可得患颈椎疾病的为30人，故可得列联表如右：
因为，
即，
所以，
又，
所以，我们有99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的．
（Ⅱ）现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查，
记选出工龄在15年以上的人数为，则．
故，，，，
则的分布列为：
0
1
2
3
P
则．
H
G
F
E
D
B
C
A
考点：1.独立性检验；2.分布列.
19、（1）证明：是等边三角形，且是的中点
，
又平面平面，平面平面，平面
I
H
G
F
E
D
B
C
A
平面
（2）证明：取的中点，连，是的中点
是矩形，是的中点
，则是平行四边形
，则平面平面
平面
（3）解：连，由（1）知平面，则是与平面成角，
即，且而是等边三角形，当时，
在中，又，则
又是矩形，且是的中点，则
所以三棱锥的体积为
20、
（2）设，直线，则直线，
由可得：，∴，
∴
由可得：，∴，
∴
．
∴∴和的比值为一个常数，这个常数为．
21、【解析】（1）因，则，又在是减函数
所以在时恒成立，则实数的取值范围为
（2）因当时函数有两个不同的零点，则有，
则有.设 . .
当 时， ；当 时， ；
所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .
由于 ，且 ，所以 ，又，所以.
下面证明：当时， .设 ，
则 .在 上是增函数，
所以当时， .即当时，..
由得 .所以.
所以 ，即，，.
又 ，所以，.
所以 .
而，则有.
由（1）知，则在内单调递增，在内单调递减，
由，得.所以， .
②证法二：
由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数.
所以.故
第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论
下面给出证明：构造函数：
则：
所以函数在区间上为减函数.,则,又
于是. 又由(1)可知
.即
（3）由（1）知当时，在上是减函数，且
所以当时恒有，即
当时，有，即，累加得：
（）
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法.
选做题
22、已知曲线的参数方程为为参数），曲线的极方程为．
（1）分别求曲线和曲线的普通方程；
（2）若点，求的最小值．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题分析：（1）参数方程利用平方法消参得到
；极坐标方程利用两角和的正弦公式展开后利用化为普通方程；（2）圆的圆心，半径为，点到直线的距离为，故的最小值为．
试题解析：
（1）曲线的普通方程为，
由有，
又∴曲线的普通方程为．
（2）圆的圆心，半径为，点到直线的距离为，
故的最小值为．
考点：坐标系与参数方程．
23、设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）分类讨论解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值,恒成立等价为,去掉绝对值,求出的范围．
试题解析：（1）由得：
或或
解得
∴的解集为．
（2）
当且仅当时，取等号．
由不等式对任意实数恒成立，可得，
解得：或．
故实数的取值范围是．
考点：1．绝对值不等式的解法；2．绝对值三角不等式；3．恒成立等价转化．
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