2018年中考数学试题分类汇编知识点20二次函数几何方面的应用.doc

1 知识点 20 二次函数几何方面的应用 1. （2018 贵州遵义，17 题，4 分）如图，抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛 物线对称轴上任意一点，若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE、DF，则 DE+DF 的最小值为______ 第 17 题图 【答案】 【解析】点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，所以 DE、DF 是△PBC 的中位线，DE= PC，DF= PB，所以 DE+DF= (PC+PB)，即求 PC+PB 的最小值，因为 B、C 为定点，P 为对称轴上一动点，点 A、B 关于对称轴对称，所以连 接 AC，与对称轴的交点就是点 P 的位置，PC+PB 的最小值等于 AC 长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)， C(0,-3)，AC= ，DE+DF= (PC+PB)= 【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题 2. ．（2018 江苏淮安，14，3） 将二次函数 y=x2 -1 的图像向上平移 3 个单位长度，得到的图像所对应的函数表 达式是 . 【答案】y=x2+2 【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式. 解：. 由平移规律，直线 y=x2 -1 向上平移 3 个单位长度，则平移后直线为 y=x2 -1+3 即 y=x2 +2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 22 故答案为 y=x2 +2． 【知识点】二次函数图象与几何变换 3. （2018 山东省泰安市，17，3）如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的 动点（不与点 重合），过 作 ，垂足为 ，点 是 的中点，连接 ，设 ， 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ． 【答案】 【解析】，由 可以知道线段DE、EC 的数量关系， ，则由勾股定理，可以将 DE、EC 用含 x 的 代数式来表示，由点 是 的中点，则 ,从而列出 与 之间关系式. 解：∵ ∴设 ，由勾股定理得： . ∵ ，∴ ∴ ∵点 是 的中点 ∴ 故答案是： 【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数. 4. 5. ABC∆ 6AC = 10BC = 3tan 4C = D AC C D DE BC⊥ E F BD EF CD x= DEF∆ S S x 23 3 25 2S x x= − + 3tan 4C = CD x= F BD 1= 2DEF BDES S∆ ∆ S x 3tan 4C = 3 , 4 .DE k EC k= = 5DC k= CD x= 3 4, .5 5DE k EC k= = 410 .5BE k= − F BD 21 1 1 3 4 3 3= = = (10 )2 2 2 5 5 25 2DEF BDES S S x x x x∆ ∆ × × − = − + 23 3 25 2S x x= − +3 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.4 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答题 1. （2018 湖北鄂州，23，12 分） 如图，已知直线 与抛物线 相交于 A(-1，0)，B（4，m）两点，抛物线 交 y 轴于点 C（0， ），交 x 轴正半轴于 D 点，抛物线的顶点为 M． （1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标； （2）设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求此时△PAB 的面积及点 P 的坐标； （3）点 Q 为 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点 Q 与点 M 对应），求 Q 点的坐标． 【思路分析】（1）将B（4，m）一次函数的关系式即可解得点 B 的坐标，再将 A、B、C 三点的坐标代入二次函数 关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点 M 的坐标；（2）过点 P 作 PE⊥x 轴，交 AB 于点 E，交 1 1 2 2 y x= + 2y ax bx c= + + 2y ax bx c= + + 3 2 −5 x 轴与点 G，过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F，则 S △CDE ＝ PE·AF，求出直线 AB 的关系式，设点 P 的坐标为（m， ），则点 E 的坐标为（m， ），即可得到 S△CDE 的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大 值；（3）由勾股定理的逆定理可证得△MAD 是等腰直角三角形，则 QMN 也是等腰直角三角形，从而得到点 Q 的 坐标． 【解析】 解：（1）将 B（4，m）代入 得， ，∴B（4， ），将 A(-1，0)，B（4， ），C （ 0 ， ） 代 入 得 ， 解 得 ， ∴ 抛 物 线 的 解 析 式 为 ， ，故顶点 M 的坐标为（1，－2）； （2）如下图（1），过点 P 作 PE⊥x 轴，交 AB 于点 E，交 x 轴与点 G，过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F，∵A(-1，0)，B （4， ），∴AF＝4―（―1）＝5，设直线 AB 的关系式为 y＝kx＋b，设点 P 的坐标为（m， ）， 则点 E 的坐标为（m ， ），∵点 P 为直线 AB 下方，∴PE ＝（ ）－（ ）＝ ，∴S△CDE＝S△APE ＋S△BPE＝ PE·AG＋ PE·FG ＝ PE·（AG＋FG）＝ PE·AF＝ ×5 （ ）＝ ，∴当 时，△PAB 的面积最大，且最大面积为 ，当 时， ，故此时点 P 的坐标为（ ， ）； （3）∵抛物线的解析式为 ， ，∴抛物线的对称轴为：直线 x＝1，又∵A(-1， 0)，∴点 D 的坐标为（3，0），又∵M 的坐标为（1，－2），∴AD＝3―（―1）＝4，AD2＝42＝16，AM2＝（― 1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且 AM＝DM， ∴△MAD 是等腰直角三角形，∠AMD＝90°，又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN 也是等腰直角三角形且 QM＝QN，∠MQN ＝90°，∠QMN＝45°，又∵∠AMD＝90°，∴∠AMQ＝∠QMD＝45°，此时点 D（或点 A）与点 N 重合，（如下 图（2））此时 MQ⊥x 轴，故点 Q 的坐标为（1,0）． 1 2 1 32 2 2 m m− − 1 1 2 2 m + 1 1 2 2 y x= + 1 1 54 2 2 2 m = × + = 5 2 5 2 3 2 − 2y ax bx c= + + 0 516 4 2 3 2 a b c a b c c − + = + + = = −       1 2 1 3 2 a b c = = − = −        1 32 2 2 y x x= − − ( ) ( ) ( )1 3 1 1 3 12 22 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 y x x x x= − − = − − − = − − 5 2 1 32 2 2 m m− − 1 1 2 2 m + 1 1 2 2 m + 1 32 2 2 m m− − 1 32 2 2 2 m m− + + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 32 2 2 2 m m− + + 25 3 125 4 2 16 x− − +    3 2 m = 125 16 3 2 m = 21 3 1 3 3 3 152 2 2 2 2 2 2 8 m m− − = × − − = −    3 2 15 8 − 1 32 2 2 y x x= − − ( )1 21 2 2 y x= − −6 【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理 的逆定理；三角形面积公式 2. （2018 湖北黄冈，24 题，14 分）如图，在直角坐标系 XOY 中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上，点 B，C 在第一象限，∠C=120°，边长 OA=8.点 M 从原点 O 出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位长的速度作匀速运动，点 N 从 A 出发沿边 AB-BC-CO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动.过点 M 作直线 MP 垂直于 x 轴并交折线 OCB 与 P， 交对角线 OB 与 Q，点 M 和点 N 同时出发，分别沿各自路线运动，点 N 运动到原点 O 时，M 和 N 两点同时停止运动. （1）当 t=2 时，求线段 PQ 的长； （2）求 t 为何值时，点 P 与 N 重合； （3）设△APN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围. 第 24 题图 【思路分析】（1）由题可知 Rt△POM 中，∠POM＝60°，Rt△QOM 中，∠QOM＝30°，当 t＝2 时，OM＝2，可得 PM 和 QM 的长度，进而求得 PQ；（2）根据点 P 和点 N 的运动速度，可知点 P 和点 N 在边 BC 上相遇，因为 BC=8， 用含有 t 的代数式表示出 PC 和 NB 的长度，二者之和为 8，解方程可得 t 的值；（3）根据（2）中的分析，可以7 将运动的过程分为 4 个阶段：0≤t≤4，4≤t≤ ， ＜t≤8，8＜t≤12，前 3 个阶段，边 PN 都与 x 轴平行， 求出 PN 长度和点 P 到 x 轴距离即可求出△APN 的面积，第 4 个阶段，△APN 的三边与坐标轴都不平行，因此， 由 ，其中菱形面积易求，三个三角形都有一边与 x 轴平行，可以逐个求出 面积，从而得到△APN 的面积。 【解析】（1）菱形 OABC 中，∠AOC＝60°，所以 Rt△POM 中，∠POM＝60°，Rt△QOM 中，∠QOM＝30°，当 t＝2 时，OM＝2，可得 PM＝ ，QM＝ ，所以 PQ＝ ； （2）当 t≤4 时，AN=PO=2OM=2t， 当 t=4 时，P 到达 C 点，N 到达 B 点，由此可推断，点 P、N 在 BC 上相遇， 设 t 秒时，点 P 与 N 重合，则 PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t= ，即 t= 时，点 P 与 N 重合； （3）①当 0≤t≤4 时，PN=OA=8，且 PN∥OA，PM= t， ② 当 4 ＜ t ≤ 时 ， P 、 N 在 边 BC 上 ， 所 以 PN ∥ OA ， PN=8-3(t-4)=20-3t ， ③ 当 ＜ t ≤ 8 时 ， P 、 N 相 遇 后 还 在 BC 边 上 运 动 ， 所 以 PN ∥ OA ， PN=3(t-4)-8=3t-20 ， ④ 当 8 ＜ t ≤ 12 时 ， 如 图 所 示 ， ON=24-2t ， N 到 OM 距 离 为 ， N 到 CP 距 离 为 ，CP=t-4，BP=12-t， 综上所述，S 与 t 的函数关系式为： 20 3 20 3 APN AON CPN APB=S S S S S− − −△ △ △ △菱形 2 3 2 3 3 4 3 3 20 3 20 3 3 1 1 8 3 4 32 2APNS PN PM t t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =△ 20 3 ( )1 1 20 3 4 3 40 3 6 32 2APNS PN PM t t= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = −△ 20 3 ( )1 1 3 20 4 3 6 3 40 32 2APNS PN PM t t= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = −△ 12 3 3t− ( )4 3 12 3 3 3 8 3t t− − = − ( ) ( )( ) ( ) APN AON CPN APB 2 = 1 1 1=32 3 8 12 3 3 4 3 8 3 12 4 32 2 2 3 12 3 56 32 S S S S S t t t t t t − − − − × × − − − − − − × = − + − △ △ △ △菱形8 第 24 题解图 【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数 3. （2018 湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线 与 轴交于 A（-1，0），B（3，0）两点， 与 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 . （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为 ，与 轴的交点为 D，在直线 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形？若 存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 BC，PB，PC，设△PBC 的面积为 S，①求 S 关于 的函数表达式；②求 P 点到直线 BC 的距离 的最大值，并求出此时点 P 的坐标. 2 4 3 ,(0 t 4) 2040 3 6 3 ,(4 t )3 206 3 40 3,( t 8)3 3 12 3 56 3,(8 t 12)2 t t S t t t  ≤ ≤   − ≤=  − ≤  − + − ≤ ＜ ＜ ＜ 2y x bx c= − + + x y t l x l t9 【解析】解：（1）∵ 与 轴交于 A（-1，0），B（3，0）， ∴ ，解得： ，∴抛物线的表达式为： ； （2）∵抛物线的表达式为： ，∴抛物线的对称轴为 ，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1 ，0 ），∵点 P 的横坐标为 ，且点 P 在抛物线 上，∴P 点的坐标为（ ， ），设 M 点的坐标为（1， ），分两种情况讨论： ①M 点在 轴的上方，当四边形 CDPM 是平行四边形，且 C、P 和 D、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形 的对角线的交点为 N，根据平行四边形对角线互相平分，则 N 点的坐标可表示为（ ， ）或 （1， ），∴ =1， = ，解得： =2， =6, ∴M 点的坐标为（1，6）； ②M 点在 轴的下方，当四边形 CDMP 是平行四边形，且 C、M 和 D、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形 的对角线的交点为 N′，根据平行四边形对角线互相平分，则 N′点的坐标可表示为（ ， ）或（ ， ），∴ = ， = ，解得： =0， =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时 M 点和 D 点 重合，且 P 点不在第一象限，C、D、M、P 四点不能形成平行四边形，故不存在； 2y x bx c= − + + x 0 1 0 9 3 b c b c = − − +  = − + + 2 3 b c =  = 2 2 3y x x= − + + 2 2 3y x x= − + + 12 bx a = − = t 2 2 3y x x= − + + t 2 2 3t t− + + a x 0 2 t + 23 2 3 2 t t− + + 0 2 a + 0 2 t + 23 2 3 2 t t− + + 0 2 a + t a x 1 2 3 2 a + 1 2 t + 2 2 3 2 t t− + + 1 2 1 2 t + 3 2 a + 2 2 3 2 t t− + + t a10 综上，点 M 的坐标为（1，6）； （3）①∵B（3，0），C（0，3），∴OB=3，OC=3，设 P 点的坐标为（ ， ），过点 P 分别作 PE⊥ 轴，PF ⊥ 轴，垂足分别为 E、F，∴PE= ，PF= ，连结 OP，则： ∴S 关于 的函数表达式为 S= ； ②∵B（3，0），C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC= ，设 P 点到直线 BC 的距离为 ，则△PBC 的面积 S= ， ∵S= ，∴ = ， ， ∴当 = 时， 有最大值为 ，此时 P 点的坐标为（ ， ）. 【知识点】 二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值 26．（2018 湖南郴州，26，12）在矩形 ABCD 中，AD＞AB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点），过点 P 作 PF∥BC，交对角线 BD 于点 F. （1）如图 1，将△PDE 沿对角线 BD 翻折得到△QDF，QF 交 AD 于点 E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2 ）如图 2 ，将△PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接 P ′C ，F ′B ，设旋转角为 . ①若 ∠BDC，即 DF′在∠BDC 内部时，求证：△DP′C～△DF′B； t 2 2 3t t− + + x y 2 2 3t t− + + t POC POB BOCS S S S∆ ∆ ∆= + − ( )21 1 13 3 2 3 3 32 2 2t t t= × ⋅ + × ⋅ − + + − × × ( )21 3 2 3 32 t t t= × ⋅ − + + − ( )2 23 3 932 2 2t t t t= − + = − + t 23 9 2 2t t− + 3 2 h 1 3 23 22 2h h´ = 23 9 2 2t t− + 3 2 2 h 23 9 2 2t t− + ( )22 32h t t= - - 2 22 9 9 2 3 9 232 4 4 2 2 8t t tæ ö æ öç ÷ ç ÷= - - + - = - - +ç ÷ ç ÷è ø è ø t 3 2 h 9 2 8 3 2 15 4 a ( )0 180a° < < ° 0 a° < 13 【思路分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系结合射影定理即可求出n 的值；（2）分为 PQ 与 BC 平行用 及 PQ 与 BC 相交两种情况讨论；PQ∥BC 又可分为点 P 在点 Q 左侧和点 P 在点 Q 右侧两种情况；（3）过点 D 作 DF⊥ x 轴，垂足为 F，构造△ADF∽△BCO，利用三角形相似，结合点 A 和点 D 在抛物线上列方程组求解． 【解析】解：（1）若△ABC 为直角三角形，则 OC2=OA·OB 由抛物线 ，可得 OC=n，OA·OB=2n ∴n2=2n，解得：n1=2，n2=0（舍去） ∴n=2． （2）由（1）可知抛物线的对称轴为 ，抛物线解析式为 令 y=0，得 x1=－1，x2=4 ∴A（－1，0），B（4，0） 设点 P（m， ） ①当直线 PQ∥BC 时，当点 P 在点 Q 的左侧时（如图所示）， 当△BOC 平移到△QNP 的位置时，四边形 PQBC 为平行四边形， 此时 NQ=OB，即 ， ． ，此时点 P 坐标为（ ， ） 21 3 ( 0)2 2y x x n n= − − > 3 2x = 21 3 22 2y x x= − − 21 3 22 2m m− − 3 42 m− = 5 2m = − 21 3 3922 2 8m m− − = 5 2 − 39 814 当点 P 在点 Q 的右侧时（如图所示） 同理可得： ， ． ，此时点 P 的坐标为（ ， ） ②当直线 PQ 与直线 BC 相交时，如图所示： 此时点 P 到 y 轴的距离等于点 B 到对称轴的距离． 即 ． ，此时点 P 的坐标为（ ， ）． 3 42m − = 11 2m = 21 3 3922 2 8m m− − = 11 2 39 8 3 54 2 2m = − = 21 3 2122 2 8m m− − = − 5 2 21 8 −15 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ ， ），（ ， ）， （ ， ）． （3）过点 D 作 DF⊥x 轴，垂足为 F． 则 AO︰OF＝ AE︰ED＝1︰4 设 A（a，0），B（b，0） 则 AO＝－a，OF=－4a 5 2 − 39 8 11 2 39 8 5 2 21 8 −16 ∵AD∥BC， ∴∠DAO=∠OBC ∵∠AFD=∠BOC=90° ∴△BOC∽△AFD ∴ 即 ∴ 由题意: ab=－2n，∴ ∴ ∵点 A、D 在抛物线上， ∴ 解得： ， ∴n 的值为 ． 【知识点】二次函数综合，相似三角形的判定和性质，平行四边形，分类讨论思想 5. (2018 山东菏泽，24，10 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，交 轴于 点 和点 ，过点 作 AD∥x 轴交抛物线于点 D. OC BO DF AF = 4 n b DF a a = − − 4 n b DF a a = − − 2 n a b = − 255 5 ( )2 2 n aDF a a ab = − ⋅ = − ⋅ − = 2 2 2 1 3 02 2 1 3 516 ( 4 )2 2 2 a a n a a n a  − − =  × − × − − = 3 2a = − 27 8n = 27 8 2 5y ax bx= + − y A x ( 5,0)B − (1,0)C A17 （1）求此抛物线的表达式； （2）点 是抛物线上一点，且点 关于 轴的对称点在直线 上，求 的面积； （3）若点 是直线 下方的抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时， 的面积最大，求出此时点 的坐标和 的最大面积． 【思路分析】（1）方法 1：代入 和 ，得出关于 a，b 的方程组，解方程即可得出抛物线的解析式； 方法 2：设抛物线的表达式为 y=a(x+5)(x－1)，代入 A(0，－5)，得出 a 的值，从而得出抛物线的表达式；（2） 由轴对称的性质得出点 E 到 AD 的距离，把 y=－5 代入抛物线的表达式，得出 AD 的长，利用三角形面积公式求出 △EAD 的面积；（3）作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于点 Q，先求出直线 AB 的表达式，设点 P 的横坐标为 m，则 P(m，m2+4m－ 5)，Q(m，－m－5)，然后表示出 PQ 的长；再设 的面积为 S，求出 S 关于 m 的二次函数，利用配方法求出 S 的最大值及点 P 的坐标． 【解析】解：（1）方法 1：把 和 代入 ，得 解得 ∴抛物线的表达式为 y=x2+4x－5． 方法 2：∵抛物线与 x 轴交于 和 ， ∴设抛物线的表达式为 y=a(x+5)(x－1)， 又∵抛物线与 y 轴交于 A 点，∴A(0，－5)， 把 A(0，－5)代入 y=a(x+5)(x－1)，得 －5=－5a， ∴a=1， E E x AD EAD∆ P AB P ABP∆ P ABP∆ ( 5,0)B − (1,0)C ABP∆ ( 5,0)B − (1,0)C 2 5y ax bx= + − 0 25 5 5 0 5 a b a b = − −  = + − ， ， 1 4. a b =  = ， ( 5,0)B − (1,0)C18 ∴抛物线的表达式为 y=(x+5)(x－1)=x2+4x－5． （2）∵A(0，－5)，AD∥x 轴，点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上， ∴点 E 的纵坐标为 5，∴点 E 到直线 AD 的距离为 10． 把 y=－5 代入 y=x2+4x－5，得 －5=x2+4x－5， 解得 x1=－4，x2=0， ∴D(－4，－5)，AD=5． ∴S△EAD= ×4×10=20． （3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b， 把 和 A(0，－5)代入，得 解得 ∴直线 AB 的表达式为 y=－x－5． 设点 P 的坐标为(m，m2+4m－5)， 作 PQ∥y 轴，交直线 AB 于点 Q，∴Q(m，－m－5)． ∵点 是直线 下方的抛物线上一动点， ∴PQ=－m－5－(m2+4m－5)=－m2－5m． 设 的面积为 S， ∴S=S△APQ+S△BPQ= ×(－m2－5m)×(－m)+ ×(－m2－5m)×(m+5)=－ (m+ )2+ ， ∴当 m=－ 时，S 最大， 即当点 P(－ ，－ )时， 面积最大，最大面积为 ． 1 2 ( 5,0)B − 5 0 5 k b b − + =  = − ， ， 1 5 k b = −  = − ， . P AB ABP∆ 1 2 1 2 5 2 5 2 125 8 5 2 5 2 35 4 ABP∆ 125 819 【知识点】二次函数的综合题；动点问题；轴对称； 6.（2018 四川遂宁，25，12 分）如图，已知抛物线 的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧），与 y 轴交于 C 点。 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标 （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大， 若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由 （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐标 【思路分析】（1）首先根据抛物线的对称轴可得出 a 的值，进而得出抛物线的解析式，然后令 y=0，得出 A,B 的 坐标即可； （2）首先由抛物线解析式得出 C 点的坐标，进而得出直线 BC 的解析式，然后连接 PB，PC，过 P 点作 PD∥y 轴， 可得 S△PBC= PD·OB= ，最后利用二次函数的性质得出结果； 42 32 ++= xaxy 2 1 16)4( 2 +−x-20 （3）首先根据平行于 y 轴的直线上两点的距离公式以及 MN=3 得出 ，然后根据绝对值的意义分 别求解方程 和 即可. 【解析】 解：（1）∵抛物线 的对称轴是直线 x=3， ∴ ，解得 a=- ， ∴抛物线解析式为 ， 又抛物线与 x 轴交于点 A，B 两点，且 B 点在 A 点右侧， 令 y=0，得 ，解得 x1=-2，x2=8， ∴A(-2,0)，B（8,0） （2）∵抛物线与 y 轴交与点 C， 令 x=0，得 =4， ∴C(0，4). 设直线 BC 的解析式：yBC=kx+b(k≠0)， 把 B，C 两点坐标代入，可得 ，解得 ， ∴ , 假设存在，设 P（x，y）（0＜x＜8） 连接 PB，PC，过点 P 作 PD∥y 轴交直线 BC 于点 D， 324 1 2 =+− mm 324 1 2 =+− mm 324 1 2 -mm =+− 42 32 ++= xaxy 32 2 3 = a- 4 1 42 3 4 1 2 ++= xx-y 42 3 4 10 2 ++= xx- 402 304 1 2 +×+×= -y    =+× =+ 40 08 bk bk    = −= 4 2 1 b k 42 1 +−= xyBC21 ∴PD=yP-yD=（ ）-（ ）= = 又∵S△PBC= PD·OB= ×8×[ ]= ∴当 x=4 时，△PBC 的面积最大，最大面积是 16， 又∵0＜x＜8， ∴存在点 P 使△PBC 的面积最大，最大面积是 16. （3）∵M 是抛物线上任意一点， 设 M 点的横坐标为 m， ∴M 点的纵坐标为 yM= ， ∵MN∥y 轴，N 是直线 MN 与直线 BC 交点， ∴N 点的纵坐标 yN= ， ∵MN=3， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，解得 m1=2，m2=6； 当 时，解得 m3=4+2 ,m4=4-2 ∴M 的坐标为（2,6）或（6,4）或（4+2 ，-1- ）或（4-2 ，-1+ ）. 42 3 4 1 2 ++ xx- 42 1 +x- xx- 24 1 2 + 4)4(4 1 2 +−x- 2 1 2 1 4)4(4 1 2 +−x- 16)4( 2 +−x- 42 3 4 1 2 ++ mm- 42 1 +m- 3=− NM yy 3)42 1()42 3 4 1( 2 =+−−++− mmm 324 1 2 =+− mm 324 1 2 =+− mm 324 1 2 -mm =+− 7 7 7 7 7 722 【知识点】二次函数图象与系数的关系，函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函 数的解析式，平行于坐标轴的直线上的两点的距离，解一元二次方程 7. （2018 甘肃天水，T25，F12）如图所示，在正方形 ABCD 和△EFG 中，AB=EF=EG=5cm，FG=8cm，点 B、C、F、 G 在同一条直线 l 上.当点 C，F 重合时，△EFG 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向左开始运动，t 秒后正方形 ABCD 与△ EFG 重合，部分的面积为 Scm2.请解答下列问题： （1）当 t=3 秒时，求 S 的值； （2）当 t=5 秒时，求 S 的值； （3）当 5 秒＜t≤8 秒时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值. 第 25 题图 【思路分析】对于（1），首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积； 对于（2），确定重叠部分的面积是四边形，再根据△EFG 的面积-△CHG 的面积计算即可； 对于（3），先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据 S=S△EFG- S△BFH- S△CGP，列出关于 S，t 的关系式，再根据二次函数的性质讨论极值即可.23 【解析】过点 E 作 EM⊥l，于点 M. ∵EF=EG=5cm，FG=8cm， ∴FM=MG=4cm. 在 Rt△EFM 中，EM=3cm. 由△EFG 以 1cm/s 的速度运动，可知 CF=tcm………………………………………………1 分 （1） 当 t=3 秒时，CF=3cm＜CM，知重叠部分为△CFH，如图所示………………….2 分 ∵∠FCH=∠FME，∠HFC=∠EFM， ∴△FCH∽△FME， ∴ . ∵CF=3cm，FM=4cm，EM=3cm， ∴CH= . 则 S= CF·CH= （cm2）……………………………………………………………………….4 分 （2） 如图所示.当 t=5 秒时，点 F 与点 B 重合，△CHG 的面积= cm2…………………5 分 S= FG·EM-S△CHG=12- = （cm2）……………………………………………………………7 分24 （3） 当 5 秒＜t≤8 秒时，重叠部分是五边形………………………………………….8 分 BF=(t-5)cm，CG=(8-t)cm， ∵∠FBH=∠FME，∠HFB=∠EFM， ∴△FBH △FME， ∴ ， ∵BF=(t-5)cm，FM=4cm，EM=3cm， 则 BH= (t-5). ∴S△BFH= BF·BH= (t-5) (t-5)= (t-5)2= t2- t+ ………………………………………….9 分 同理 CP= (8-t)， ∴S△CGP= CG·CP= (8-t) (8-t)= (8-t)2= t2-6t+24…………………………………………..10 分 ∴S=S△EFG- S△BFH- S△CGP=12-( t2- t+ )-( t2-6t+24)=- (t- )2+ . ∵- ＜0，25 ∴函数图象有最高点， 当 t= 时，S 的最大值为 …………………………………………………………………12 分 【知识点】动点问题，二次函数的应用，相似三角形的性质和判定 8. （2018 甘肃天水，T26，F12）已知：抛物线 y=ax2+4ax+m（a＞0）与 x 轴的一个交点为 A（-1，0）. （1）求抛物线以 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上的一个点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛 物线的解析式； （3）点 E 是第二象限内到 x 轴，y 轴的距离比为 5:2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且点 E 与点 A 在此 抛物线对称轴的同侧.问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△APE 的周长最小.若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由. 【思路分析】 【解析】（1）抛物线 y=ax2+4ax+m 的对称轴为 x=-2， ∵该抛物线与 x 轴的一个交点为 A（-1，0）， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 B（-3，0）………………………………………………….2 分 （2）设点 D 的坐标为（0，m）， 根据抛物线的对称性，可知点 C 的坐标为（-4，m）……………………………………….3 分 S 梯形 ABCD= (AB+CD)×OD= ×(2+4)m=9， 解得 m=3………………………………………………………………………………………4 分26 设抛物线的关系式为 y=a(x+3)(x+1)， ∵点 D（0，3）在图像上， ∴3=3a， 解得 a=1， 则抛物线的解析式为 y=x2+4x+3………………………………………………………………7 分 （3）由点 E 是第二象限内到 x 轴，y 轴的距离比为 5:2 的点， 设点 E 的坐标为（-2c，5c）， ∵点 E 在抛物线 y=x2+4x+3 的图像上， ∴5c=4c2-8c+3， 解得 c= 或 c=3， 当 c= 时，点 E（- ， ）； 当 c=3 时，点 E（-6，15）（不符合题意，舍去）. …………………………………………9 分 点 A 关于对称轴 x=-2 对称的点为点 B，△PAE 的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE，AE 的长 为定值，要求△PAE 的周长最小，即要求 PB+PE 最小，根据两点之间线段最短，可知连接 BE 与对称轴的交点即为点 P…………………………………………………………………10 分27 设过点 B（-3，0）和点 E（- ， ）的直线为 y=kx+b， 得 解得 ∴直线 BE 的关系式为 y= x+ ，………………………………………………………………11 分 当 x=-2 时，y= ， ∴点 P 的坐标为（-2， ）……………………………………………………………………12 分 【知识点】二次函数的应用，根据轴对称求线段和最小，待定系数法求一次函数解析式 9.（2018 广东广州，24，14 分）已知抛物线 y=x2+mx-2m-4(m>0)． （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B(点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C， A，B，C 三点都在⊙P 上． ①试判断：不论 m 取任何正数，⊙P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明 理由；28 ②若点 C 关于直线 的对称点为点 E，点 D(0，1)，连接 BE，BD，DE，△BDE 的周长记为 l， ⊙P 的 半径记为 r，求 的值． 【思路分析】（1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式来判断抛物线与x 轴交点 个数；（2）分别求出（或用 m 表示）点 A、B、C 的坐标，画出示意图，利用“同弧所对的圆周角相等”证明两 三角形有两角对应相等，然后利用相似求出定点坐标．（3）先由对称性求出点 E 的坐标，再根据 E（－m，－2m－ 4），B（－m－2，0），D（0，1）用 m 分别表示 BE2，BD2，DE2．用勾股定理逆定理证明∠DBE＝90°，然后求出直 角三角形三边比例，求 的值． 【解析】（1）令y＝0，则 x2＋mx－2m－4＝0．∵△＝m2－m(－2m－4)＝m2＋8m＋16＝(m＋4) 2，又 m＞4，∴(m＋ 4) 2＞0．∴此方程总有两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）①设⊙P 经过 轴上的另一个交点 F． 令 y＝0，则 x2＋mx－2m－4＝0．(x－2)(x＋m＋2)＝0．x1＝2，x2＝－m－2．又 m＞4，点 A 在点 的右侧．∴A （2，0），B（－m－2，0）．∵当 x＝0 时，y＝－2m－4，∴C（0，－2m－4）．则 AO＝0，BO＝m＋2，CO＝2m＋ 4．∵∠BCO＝∠BAF，∠CBO＝∠AFO，∴△BCO≌△FAO．∴ ， ．∴FO＝1，点 F（1， 0）． ②∵点 C（0，－2m－4）关于直线 x＝ 的对称点为点 E，∴E（－m，－2m－4），又 B（－m－2，0），D（0， 2 mx = − l r l r y B =FO AO BO CO 2=2 2 4 FO m m+ + x y AB C O F 2 m−29 1）．∴BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25, BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴ BD2 ＋BE2＝ DE2．∴∠DBE＝90°．∴DE 是⊙P 直径．∵BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2 ＋16m＋20．∴ ．∴ ．设 BD＝a，BE＝2a，则 DE＝ ．∴ ＝ ＝ ． 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图像与坐标轴的交点问题；勾股定理；轴对称的性质；圆 周角定理；相似三角形的判定与性质 10. （2018 贵州遵义，27 题，14 分）在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过点 C(0,2)和 点 D(4,-2)，点 E 是直线 与二次函数图像在第一象限内的交点。 （1）求二次函数的解析式及点 E 的坐标； （2）如图①，若点 M 是二次函数图像上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC，OE，ME，求四边形 COEM 面积的最 大值及此时点 M 的坐标； （3）如图②，经过 A、B、C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标。 2 2 1= 4 BD BE 1= 2 BD BE 5a l r 3 5 5 2 a a a + 10 6 5 5 + x y E AB C O D 2 5 3y ax x c= + + 1 23y x= − +30 第 27 题图 【思路分析】（1）由待定系数法可得 a 和 c 的值，进而得到二次函数解析式，联立两个函数解析式可得交点 E 的坐标；（2）分析四边形 COEM 是由△COE 和△CME 组成的，而△COE 面积已经确定，△CME 中 CE 确定，点 M 位 置不确定，因此以 CE 为底，M 到 CE 的距离则为高，因为 M 在抛物线上运动，作一条与 CE 平行的直线，当它与 抛物线相切时，两直线距离最远，即三角形的高最大，切点即为 M 点，设出直线的解析式，与抛物线联立得到 一元二次方程，令△=0，可得直线解析式，进而求出点 M 坐标，求得四边形面积；（3）连接 BF、AC，可得∠ACO= ∠ABF，则△AOC∽△FOB，通过边的比例关系得到 OF，进而得到 F 坐标。 【 解 析 】 （ 1 ） 因 为 二 次 函 数 的 图 像 经 过 点 C(0,2) 和 点 D(4,-2) ， 由 此 可 得 ，解得 ，二次函数解析式为 ，与 联立，得 x1=0 （舍去），x2=3，此时，y=1，故 E(3,1)。 （2）S四边形 COEM=S△COE+S△CME，S△COE= ，因为 C(0,2)，E(3,1)，所以 S△COE=3，S△CME= ，其中 h 为点 M 到 CE 的距离，因为 M 在抛物线上运动，因此当平行于 CE 的直线与抛物线相切于点 M 时，h 最大，从而 面 积 最 大 ， 设 l’: ， 与 联 立 ， 得 ， △ =36+8(6-3b)=0，b= ，此时点 M 坐标为( ,3)，过 M 作 MN∥y 轴，交 CE 与点 N，在 中，令 x= ， 得 y= ，N( , )，所以 S△CME= = ，所以 S 四边形 COEM=S△COE+S△CME= 第 27 题解图 （3）在 中，令 y=0，得 ， ，连接 2 5 3y ax x c= + + 2= 516 4 23 c a c  + × + = − 2 3 2 a c  = −  = 22 5 23 3y x x= − + + 1 23y x= − + 1 2 ECO x⋅ ⋅ 1 2 CE h⋅ ⋅ 1 3y x b= − + 22 5 23 3y x x= − + + 21 2 5 23 3 3x b x x− + = − + + 7 2 3 2 1 23y x= − + 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 C EMN x x⋅ ⋅ − 9 4 21 4 22 5 23 3y x x= − + + 1 2 5 73 5 73,4 4x x + −= = 73 5 5 73,4 4OA OB − += =31 BF，AC，因为∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，所以△AOC∽△FOB，则 ，所以 ，得，OF= ，所以 F(0,- ) 【知识点】二次函数解析式，交点坐标，三角形面积，最值，相似三角形 11. （2018 河北省，25，10）如图，点 A 在数轴上对应的数为 26，一原点 O 为圆心，OA 长为半径作优弧 ，使 点 B 在 O 右下方，且 tan∠AOB＝ ．在优弧 上任取一点 P，且能过 P 作直线 l∥OB 交数轴与点 Q，设 Q 在数轴上对应的数为 x，连接 OP． （1）若优弧 上一段 的长为 13π，求∠AOP 的度数及 x 的值； （2）求 x 的最小值，并指出此时直线 l 与 所在圆的位置关系； （3）若线段 PQ 的长为 12.5，直接写出这时 x 的值． 【思路分析】（1）利用弧长公式求∠AOP 的值．（2）向左平移直线 l 至能达到的最左端位置，再根据图形求出 x 的最小值．（3）由（2）可知在平移过程中有点 P 在直线 OA 上方和下方两种情况，所以要分情况讨论． 【解析】（1）设∠AOP 的度数为 n，则 ＝13π．解得 n＝90． ∴OP⊥OA． 1 分 ∵l∥OB，∴∠PQO＝∠AOB． OA OC OF OB = 73 5 24 5 73 4 OF − = + 3 2 3 2 3 4 180 26·πn32 ∴tan∠PQO＝tan∠AOB＝ ＝ ． ∵OP＝26，∴OQ＝ ． ∴∠AOP 的度数为 90°，x 的值为 ． 2 分 （2）如图（1），将 l 向左平移，当 l 与⊙O 相切时，x 取得最小值．由（1）可知 tan∠PQO＝ ． ∴sin∠PQO＝ ． ∵OP＝26， ∴OQ＝ ． ∴x 的最小值为－ ， 2 分 此时 l 与 所在圆相切． 1 分 （3）如图（2）当点 P 在数轴上方时，过点 O 作 OC⊥l，垂足为 C．连接 OP． 设 QC 的长度为 a，则 PC＝12.5＋a，OC＝ a． 在 Rt△OPC 中有（12.5＋a）2＋（ a）2＝262． 解得 a1＝9.9，a2＝－18.9（舍）． 1 分 ∴OQ＝ a＝ ×9.9＝16.5． ∴此时 x 的值为－16.5． 1 分 当点 P 在数轴的下方时，同理可得 x 的值为－31.5． 1 分 另外，当点 Q 在点 O 右侧时，同理可得 x 的值为 31.5． 1 分 综上，x 的值为－16.5 或－31.5 或 31.5． OQ PO 3 4 2 39 2 39 3 4 5 4 2 65 2 65 3 4 3 4 3 5 3 533 【知识点】圆，扇形的弧长，直线与圆的位置关系 12. （2018 湖北宜昌，24，12 分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 的坐标分别为 , .过点 的双曲线 与矩形 的边 交于点 . (1)填空： _____, _____,点 的坐标为__________； (2)当 时，经过点 与点 的直线 轴于点 ，点 是过 两点的抛物线 的顶点. ①当点 在双曲线 上时，求证：直线 与双曲线 没有公共点； ②当抛物线 与矩形 有且只有三个公共点，求 的值； ③当点 和点 随着 的变化同时向上运动时，求 的取值范围，并求在运动过程中直线 在四边形 中 扫过的面积. (第 24 题图) 【思路分析】(1)将点 C 的坐标代入双曲线，求出 k 值，再将 x=4 代入双曲线，进而求出 E 点坐标； (2)①设直线 ，由题建立方程组，解得 ，得出直线表达式，∵抛物线 过点 ，再建立方程组解得 得出抛物线的表达式，得到抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入双曲线，求 OADB ,A B ( 6,0)A − (0, 4)B ( 6,1)C − ( 0)ky k x = ≠ OADB BD E OA = k = E 1 6t≤ ≤ 21 3( 1, 5 ) 2 2 M t t t− − + − 21 7( 3, 3 ) 2 2 N t t t− − − + − y F P ,M N 21 2 y x bx c= − + + P ky x = MN ky x = 21 2 y x bx c= − + + OADB t F P t t MN OAEB 1 1,MN y k x b= + 1 1k b与 21 2y x bx c= − + + ,M N .b c与34 出 t 的值.得出直线 将直线与双曲线联立方程组，据根的判别式，判断出直线与双曲线是否有公共 点. ②当抛物线过 点，此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点，建立方程，求出 t 值; 当顶点 在线段 上，此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点，建立方程，求出 t 值; ③由点 的坐标， 当 时， 随着 的增大而增大，此时，点 在直线 上向上 运动.又由点 的坐标， 当 时， 随着 的增大而增大，点 在 轴上向上运动. 当 时，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，当 时，直线 过点 ， 当 时，直线 在四边形 中扫过的面积为 【解析】解：(1)填空： ，点 的坐标为 ； (2)①设直线 由题意得 解得 ∴直线 ∵抛物线 过点 MN的表达式， B OADB P DB OADB P ry得到 的表达式， 1 6t≤ ≤ py t P 1x = − F Fy得到 的表达式， 1 4t≤ ≤ Fy t F y 1 4t∴ ≤ ≤ 1t = : 3MN y x= + x ( 3,0)G − y ( )0,3H 4 3t = − MN A 1 4t≤ ≤ MN AEBO GHOAEBOS S S∆= −四边形 6, 6OA k= = − E 3 ,42  −   1 1,MN y k x b= + 2 1 1 2 1 1 1 35 ( 1)2 2 1 73 ( 3)2 2 t t k t b t t k t b  − + − = − + − + − = − − + 2 1 1 1 11, 42 2k b t t= = − + − 21 1: 42 2MN y x t t= − + − 21 2y x bx c= − + + ,M N35 解得 ∴抛物线 顶点 ∵顶点 在双曲线 上 此时直线 联立 ，得 ∴直线 与双曲线 没有公共点 ②当抛物线过 点，此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点， 则 当顶点 在线段 上，此时抛物线与矩形 有且只有三个公共点， 2 2 2 2 1 3 15 ( 1) ( 1)2 2 2 1 7 13 ( 3) ( 3)2 2 2 t t t b t c t t t b t c  − + − = − − + − +∴ − + − = − − − + − − + 1, 5 2b c t= − = − 21 5 22y x x t= − − + − ∴ 3( 1,5 )2P t− − 3( 1,5 )2P t− − 6y x −= 3(5 ) ( 1) 62t∴ − × − = − 3 2t∴ = 35: 8MN y x= + 35 8 6 y x y x  = +  = − 35 6 8x x −+ = 28 35 48 0x x∴ + + = 235 4 8 48 1225 1536 0∴∆ = − × × = − < MN 6y x = − B OADB 64 5 2, 5t t= − = P DB OADB36 则 ， 或 ③ 点 的坐标为 ， 当 时， 随着 的增大而增大， 此时，当 时，随着 的增大，点 在直线 上向上运动. 又 点 的坐标为 当 时， 随着 的增大而增大， 此时当 时，随着 的增大而增大，点 在 轴上向上运动. 当 时，直线 与 轴交于 ，与 轴交于 当 时，直线 过点 ， 当 时，直线 在四边形 中扫过的面积为 【知识点】二次函数综合，点的坐标，双曲线，抛物线，根的判别式，四边形的面积 13. （2018 湖南省湘潭市，26，10 分）如图，点 P 为抛物线 y= x2 上一动点． （1）若抛物线 y= x2 是由抛物线 y= （x+2）2-1 通过图象平移得到的，请写出平移的过程； 10 3 42 t − = 11 10t = 6 5t∴ = 11 10t =  P 3( 1,5 )2t− − 35 2ry t∴ = − 1 6t≤ ≤ py t 1 6t≤ ≤ t P 1x = −  F 21 1(0, 4 )2 2t t− + − 21 15( 4)2 2Fy t∴ = − − + ∴ 1 4t≤ ≤ Fy t 1 4t≤ ≤ t F y 1 4t∴ ≤ ≤ 1t = : 3MN y x= + x ( 3,0)G − y ( )0,3H 4 3t = − MN A 1 4t≤ ≤ MN AEBO 1 3 1 216 4 3 32 2 2 2GHOAEBOS S S∆  = − = × + × − × × =  四边形 1 4 1 4 1 437 （2）若直线 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0，-1），过点 P 作 PM⊥l 于 M． ①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立？若存在，求出点 F 的坐标：若不存在， 请说明理由． ②问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为（1，5），求 QP+PF 的最小值． 【思路分析】（1）直接根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答；（2）①过点 P 作 PB⊥y 轴于点 B 构造 Rt△PFB，从而利用勾股定理求出 BF 的长，最后根据线段的和差关系求出 OF 的长，从而确定出点 F 的坐标；② 根据①中的结论，得到 PM=PF，所以 QP+PF 的最小值为 QP+QM 的最小值，即当 Q、P、M 三点共线时，从而求出结 果. 【解析】解：（1）∵抛物线 y= （x+2）2-1 的顶点为（-2，-1）， ∴抛物线 y= （x+2）2-1 的图象向上平移 1 个单位，再向右 2 个单位得到抛物线 y= x2 的图象． （2）①存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立． 如图一，过点 P 作 PB⊥y 轴于点 B， 设点 P 坐标为（a， a2），∴PM=PF= a2+1，∵PB=a，∴点 B 的坐标为（0， a2）， ∴Rt△PBF 中，BF= = = a2-1， ∵ BO= a2， ∴OF=OB-BF=1， 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 2PF PB− 2 2 21 14 a a + −   1 4 1 438 ∴点 F 坐标为（0，1） ②由①，PM=PF， ∴QP+PF 的最小值为 QP+QM 的最小值，即当 Q、P、M 三点共线时，QP+QM 有最小值为点 Q 纵坐标 5． ∴QP+PF 的最小值为 5． 【知识点】二次函数的平移规律；勾股定理；点到直线的距离 14. （2018 江苏淮安，27，12）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与 x 轴和 y 轴分 别相交于 A、B 两点。动点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达 点 O 停止运动。点 A 关于点 P 的对称点为点 Q,以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN。设运动时间为 x 秒。 (1) 当 秒时，点 Q 的坐标是 ； (2) 在运动过程中，设正方形 PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数表达式； (3) 若正方形 PQMN 对角线的交点为 T，请直接写出运动过程中 OT+PT 的最小值。 【思路分析】本题综合考查动点问题，（1）由动点的特征，代入数据直接计算即可； （2）由题意分类讨论，由动点的特征，分别代入数据直接计算即可 【解析】 (1)当 秒时，可得 AP=1，则点 P 坐标为（5,0），因点 A 坐标为（6,0），则点 Q 坐 43 2 +−= xy 3 1=t 3 1=t39 标为（4,0）. (2)由题意可知：重叠部分面积为正方形面积减去△CDN 的面积，因运动时间为 t，且点 A 关 于点 P 的对称点为点 Q，即 AP=PQ=3t，则可设点 P 坐标为（6-3t，0），则点 C 坐标为（6-3t，2t），则 CN=t, 则当 0≤ t≤1 时， 则当 时， 则当 时， t2 3=DN 22 4 33 2 3 2 1-9t=S ttt =×× 3 4≤t≤1 tttt 184 39 2 3 2 1-3t)-(63t=S 2 +−=××× 2≤t≤3 4 123)36()42(2 1=S 2 +−=−×+× ttt40 综上： （3） 【知识点】正方形的性质；勾股定理；分类讨论思想；转化思想；待定系数法；数形结合法；条件探索型问题； 动点问题；坐标系中点的坐标特征 15. （2018 山东德州，25，14 分）如图 1,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于 两点，其中 , .该抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 . (1)求 的值及该抛物线的解析式; (2)如图 2.若点 为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边,在直线 的同侧作等 腰直角△ 和等腰直角△ ,连接 ,试确定△ 面积最大时 点的坐标. (3)如图 3.连接 、 ,在线段 上是否存在点 ,使得以 为顶点的三角形与△ 相似,若 存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路分析】(1)易求 的值，再用待定系数法求抛物线的解析式； (2)求出 的长后，设 ，用 m 的代数式表示出 PM、PN 的长，得出△ 面积关于 m 的函数关系式，再结合增减性得最大值；(3)通过计算发 现 AB∥CD，得∠BAD=∠CDO=45°，以后分两种情况讨论，得夹这对对应角的两边成比例，求出 DQ 长，结合∠QDO=45° 得点 Q 坐标. 【解析】解：（1）把点 、点 代入 得 ，          ≤≤+− ≤≤+− ≤≤ )23 4(123 )3 41(184 39 )10(4 33 =S 2 2 2 tt ttt tt 3 2 1y x= − 2y x bx c= − + + A B、 ( ),0A m ( )4,B n y C x D m n、 P AD A D、 AP DP AD APM DPN MN MPN P BD CD CD Q A D Q、 、 ABD Q m n、 AD AP m= MPN ,0A m（ ） 4,B n（ ） 1y x− = 2, 3m n= =41 ∴ ， ∵ ，过点 、点 ， ∴ ，解得： ， ∴ ； (2）如图 2，∵△ 和△ 为等直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴△ 为直角三角形. 令 ，解得： ， ∴ ， . 设 ，则 ， ， ， ∴ = = ∴当 ，即 时， 最大，此时 ，所以 ； （3）存在点 坐标为 或 . 答案来源：由 A（1，0），B（4，3），C（0，－5），D（5，0），求得 AB= ，AD=4， ，所以∠BAD=∠ CDO=45°，所以下面分两种情况讨论：①当△ADQ∽△DAB 时， ，所以 DQ=AB= ，过 Q 点作 x 轴的 垂线，垂足为 E，则 DQ=EQ= ，因为 D（5，0），所以 坐标为 ；②当△QDA∽△DAB 时， ，所以 ，所以 DQ= ，同上得 坐标为 ，综上所述存在点 坐标为 或 ( ) ( )1,0 4,3A B 2y x bx c= − + + A B 1 0 16 4 3 b c b c − + + = − + + = 6 5 b c =  = − 2 6 5y x x= − + − APM DPN = 45APM DPN∠ ∠ = 90MPN∠ =  MPN 2 6 5 0x x− + − = 1 21, 5x x= = ( )5,0D 4AD = AP m= 4DP m= − 2 2PM m= ( )2 42PN m= − ( )1 1 2 2 42 2 2 2MPNS PM PN m m∆ = = × −  21 4 m m− − ( )21 2 14 m− − + 2m = 2AP = MPNS∆ 3OP = ( )3,0P Q 2 -3（ ，） 7 8-3 3     ， 3 2 5CDy x= − AD DA DQ AB = 3 2 2 32 AB = Q 2 -3（ ，） DQ DA AD AB = 4 4 3 2 DQ = 8 2 3 Q 7 8-3 3     ， Q 2 -3（ ，）42 . 【知识点】待定系数法，二次函数的最值，相似三角形 16.（2018 山东省日照市，21，13 分）如图，已知点 A（－1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线 y=ax2+bx+c 上. （1）求抛物线解析式； （2）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使△PBC 面积为 1； （3）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在， 说明理由. 【思路分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式； （2）作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，将△PBC 转化为 S△PDC+S△PDB 列方程求解； （3）由∠BQC=∠BAC 推出点 Q 在△ABC 外接圆上，外接圆圆心是弦 AC 与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐 标及半径长，进而求得点 Q 坐标. 7 8-3 3     ，43 【解析】（（1）把点 A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入 y=ax2+bx+c，得 ， 解得 ，所以抛物线的解析式为 y=－ x2+ x+1. （2）∵B（3，0），C（0，1）, ∴直线BC 的解析式为 y=－ x+1，过点 P 作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，设 P(x, － x2+ x+1)易得 D(x, - x+1). ∴PD=－ x2+ x+1－(－ x+1)= － x2+x. ∴S△PBC=S△PDC+S△PDB= PD(xB－xC)= (－ x2+x)(3－0)=－ x2+ x. 又∵S△PBC=1，∴－ x2+ x=1，∴x2-3x+2=0，解得 x1=1,x2=2. ∴P1（1， ），P2（2，1）. （3）答：存在. 理由：如图 ，∵A（－1，0），C（0，1）， ∴OC=OA=1，∴∠BAC=45°. ∵∠BAC=∠BQC，∴∠BQC=45°. 0 9 3 0 1 a b c a b c c − + =  + + =  = 1 3 2 3 1 a a c  = −  =  =  1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 3 2 4 344 ∴点 Q 为△ABC 外接圆与抛物线对称轴在 x 轴下方的交点. 设△ABC 外接圆圆心为 M，∵线段 AC 的垂直平分线为直线：y=－x，线段 AB 的垂直平分线为：x=1. ∴点 M 为直线 y=－x 与直线 x=1 的交点，即 M（1，－1）， ∴∠BMC=2∠BQC=90°，又∵MQ=MB=R= ， ∴yQ=－（1+ ）=－1－ ， ∵Q 在直线 x=1 上， ∴xQ=1， ∴Q（1，－1－ ）. 【知识点】待定系数法 三角形外接圆 线垂直平分线 三角形面积 17. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，23，13）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2－ x－4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C． （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点 Q 从 B 点出发，在线 段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动．设 运动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时，△PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积； （3）在（2）的条件下，当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M，使△BMC 的面积是△ PBQ 的面积的 1.6 倍？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 5 5 5 5 2 3 2 345 【思路分析】（1）令二次函数中的自变量及函数值分别等于 0，解相应的方程，即可得到A、B、C 的坐标；（2） 过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D，则 AP＝2t，BQ＝t，BO＝3，AB＝5，OC＝4，BC＝ ＝5，从而 PB＝5－2t．然后 利用相似三角形的判定与性质，得到 DQ＝ t，然后利用三角形的面积公式，得到 S△PBQ＝ AB•DQ＝ × t× (5－2t)，再利用配方法化抛物线为顶点式即可求出运动时间 t 为多少秒时，△PBQ 的面积 S 最大及最大值； （3）过 M 用 ME⊥AB 交 BC 于点 N，先求直线 BC 的解析式，设 M(m， m2－ m－4)，从而得到 N 点的坐标为 N(m， m－4)，于是 S△MBC＝S△CMN＋S△BMN＝ MN•OB＝－m2＋3m，再通过△BMC 的面积是△PBQ 的面积的 1.6 倍， 得到关于 m 的一元二次方程，解之并检验就得到符合题的点 M 的坐标了． 【解析】解：（1）令y＝ x2－ x－4 中的 y＝0，得 x2－ x－4＝0，解得 x1＝－2，x2＝3；令 x＝0，得 y＝－ 4，故 A(－2，0)，B(3，0)，C(0，－4) ． （2）如下图，过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D，则 AP＝2t，BQ＝t，BO＝3，AB＝5，OC＝4，BC＝ ＝5， 从而 PB＝5－2t． ∵DQ∥CP， ∴△BDQ∽△BOC． ∴ ，即 ． ∴DQ＝ t． ∴S△PBQ＝ AB•DQ＝ × t×(5－2t)＝－ t2＋2t＝－ (t－ )2＋ ． ∴当 t＝ 时，S△PBQ 取最大值为 ． 2 23 4+ 4 5 1 2 1 2 4 5 2 3 2 3 4 3 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 23 4+ DQ BQ OC BC = 4 5 DQ t= 4 5 1 2 1 2 4 5 4 5 4 5 5 4 5 4 5 4 5 446 （3）假设存在符合条件的点 M(m， m2－ m－4)，设直线 BC 的解析式为 y＝kx－4，则 3k－4＝0，解 得 k＝ ，从而 BC：y＝ x－4．过 M 用 ME⊥AB 交 BC 于点 N，如下图，则 N(m， m－4)，从而 MN ＝ m－4－( m2－ m－4)＝－ m2＋2m． 故 S△MBC＝S△CMN＋S△BMN＝ MN•OB＝－m2＋3m． ∵△BMC 的面积是△PBQ 的面积的 1.6 倍， ∴－m2＋3m＝1.6× ，整理，得 m2－3m＋2＝0，解得 m1＝1，m2＝2． ∵点 M 在 BC 下方的抛物线上， ∴0＜m＜3． ∴m1＝1，m2＝2，皆符合题意，此时 P(1，－4)或 P(2，－ )． 【知识点】二次函数；一次函数；一元二次方程的解法；勾股定理；相似三角形的性质与判定；一次函数的解析 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 3 1 2 5 4 8 347 式的求法；配方法；探究性质问题；最值问题；动态问题；压轴题 18. （2018 福建 A 卷，25，14）已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A (0，2) ． (1)若图象过点( ，0)，求 a 与 b 满足的关系式； (2) 抛物线上任意两点 M(x1 ，y1) 、N(x2 ，y2) 都满足 x1< x2