2018年中考数学试题分类汇编知识点21二次函数在实际生活中应用.doc

1 知识点 21 二次函数在实际生活中应用 一、选择题 1. （2018·北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的 一部分，运动员起跳后的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系 y＝ax2＋bx＋c （a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的 x 和 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起 跳 后 飞 行 到 最 高 点 时 ， 水 平 距 离 为 （ ） A．10m B．15m C．20m D．22.5m 【答案】B． 【 解 析 】 解 法 一 ： 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 由 题 意 得 ， 解 得 ，从而对称轴为直线 x＝－ ＝－ ＝15，故选 B． 解法二：将图上三个点(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于 直线 x＝20 的左侧，非常靠近直线 x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线 x＝15，故选 B． 【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想 二、填空题 1. （2018 四川绵阳，16，3 分） 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽 54 400 20 57.9 1600 40 46.2 c a b c a b c =  + + =  + + = 0.0195 0.585 54 a b c = −  =  = 2 b a 0.585 2 ( 0.0195)× −2 度增加 m. 【答案】4 -4 【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0， 2）， 通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（-2，0）， 到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y=-2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2 ，故水面此时的宽度为 4 ，比原先增加了 4 -4. 故答案为 4 -4. 【知识点】二次函数的应用 三、解答题 2 2 2 2 23 1. （2018 山东滨州，23，12 分） 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物 线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y＝－5x² ＋20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行的时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 第 23 题图 【思路分析】本题主要考查了二次函数的函数值及最值在实际问题中的应用，解答关键是将实际问题中的相关条 件转化为二次函数中的相应数值再根据二次函数的性质求解． （1）小球飞行高度为 15m，即 y＝－5x²＋20x 中 y 的值为 15，解方程求出 x 的值，即为飞行时间； （2）小球飞出时和落地时的高度为 0，据此可以得出 0＝－5x²＋20x，求出 x 的值，再求差即可； （3）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求 x 为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？ 【解题过程】（1）当 y＝15 时有－5x²＋20x ＝15，化简得 x²－4x＋3＝0 因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故 x ＝1 或 3，即飞行时间是 1 秒或者 3 秒 （2）飞出和落地的瞬间，高度都为 0，故 y＝0．所以有 0＝－5x²＋20x，解得 x＝0 或 4，所以从飞出到落地所 用时间是 4－0＝4 秒 （3）当 x＝ ＝ ＝2 时，小球的飞行高度最大，最大高度为 20 米. 【知识点】二次函数图像与 x 轴交点及最值 2. （2018 浙江衢州，第 23 题，10 分）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头， 喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装 饰物处汇合，如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。 2 b a − 20 2 ( 5) − −4 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水 池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩 大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水 柱的最大高度。 【思路分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括建立直角坐标系待定系数法求解析式，正确把握抛物线图像 和性质是解题的关键。 （1）利用待定系数法，已知顶点、与 x 轴交点为（8,0）。根据抛物线的对称性也得另一交点（-2，0），从而列 方程组解得即可。 （2）根据上题中解得的解析式，令 y 的值为 1.8，求得 x 的值，再根据对称性确定范围。（3）因形状不变，故 抛物线的 a 值不变，又因装饰物高度不变，故与 y 轴的交点也不变，且与 x 轴的交点为（16,0），利用待定系数 法可求得。 【解题过程】（1）∵抛物线的顶点为（3，5），∴设 y=a (x-3)2+5， 将（8，0）代入的 a= ， ∴y= (x-3)2+5，或者 y= （00,BC≤18 m m ABCD AB x m= 2y m y x x 2160 m x 2m24 ∴9≤x