www.ks5u.com
江苏省扬州中学高二年级12月质量检测
2016.12
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．命题“”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一）．
2．双曲线的两条渐近线的方程为 ．
3．“”是“直线和直线垂直的” 条件．(填“充要条件”、“ 充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“既不充分也不必要条件”之一)
4．已知函数，则= ．
5．若抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合，则的值为 ．
6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
7． 若函数在处取得极大值，则正数的取值范围是 ．
8． 若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线，离心率为，且过点，则曲线的方程为 ．
9．在平面直角坐标系中，记曲线在处的切线为直线.若直线在两坐标轴上的截距之和为，则的值为 ．
10．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为 ．
12．双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为 .
13．已知函数（为自然对数的底数）．．若存在实数，使得．且，则实数的取值范围是 ．
14．设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知命题：函数在上有极值，命题：双曲线的离心率．若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
设函数，．
（1）求的单调区间和极值；
（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
y
x
O
B
A
C
（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，与轴平行的直线与椭圆交于、两点，过、两点且分别与直线、垂直的直线相交于点．已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明点在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
（3）求面积的最大值．
19．（本小题满分16分）
如图所示，有一块矩形空地，km，=km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区，筝形的顶点为商业区的四个入口，其中入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，且满足点恰好关于直线对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区.
（1）请确定入口的选址范围；
（2）设商业区的面积为，绿化区的面积为，商业区的环境舒适度指数为，则入口如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？
20．（本小题满分16分）
设函数.
（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；
（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；
（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.
参考答案：
1.假 2. 3. 充分不必要 4. 5. 1
6. 7. （0，2） 8． 9. -3或-4 10． 11．1－，＋∞) 12. 13. 12，3]．
14.解：当x≥2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a，此时为增函数，
当x＜2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a，此时为减函数，
即当x=2a时，函数取得最小值0，
设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），
由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，
即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，
∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1•（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，
则ex1+x2=1，即x1+x2=0，
∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，
∴2a＜1，解得a＜，
综上﹣＜a＜，
故答案为：（﹣，）．
15.解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，
∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，
∴f′（x）=0有两个不等实数根，
∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，
解得a＞4或a＜﹣1；
命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，
则∈（1，2），解得0＜a＜15．
∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假，
则或，
解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．
16.
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.
因为存在零点，所以，从而.
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点.
当时，在区间上单调递减，且，，
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.
17.．
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即， ………………………………10分
因为，……………………………………12分
所以圆与圆相交，
所以点的个数为．…………………………………………………………14分
18. 解：（1）由题意得，，
解得，所以，所以椭圆的标准方程为．………4分
（2）设，显然直线的斜率都存在，设为
，则，，
所以直线的方程为：，
消去得，化简得，
故点在定直线上运动． ……10分
（3）由（2）得点的纵坐标为，
又，
所以，则，
所以点到直线的距离为，
将代入得，
所以面积
，当且仅当，即时等号成立，故时，面积的最大值为． ……16分
19．解：（1）以A为原点，AB所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，
设（），则AF的中点为，斜率为，
而，故的斜率为，
则的方程为，
令，得； ………2分
令，得； … …4分
由，得，
，
即入口的选址需满足的长度范围是（单位：km）.……6分
（2）因为，
故该商业区的环境舒适度指数， ……9分
所以要使最大，只需最小.
设 ……10分
则
令，得或（舍）， ………12分
的情况如下表：
1
0
减
极小
增
故当，即入口满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大16分
20．解：（1），,
设切点横坐标为，则 …………2分
消去，得，故，得 ………4分
（2）
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
则，得,舍去; ……………5分
②当时，在上恒成立，在上单调递减，
则，得,舍去; ………6分
③当时，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，得, ……8分
设,则
当时，,单调递减，
当时,单调递增，
故,的解为.
综上①②③，. ……………10分
（3）方程可化为
，
令，故原方程可化为，………12分
由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，
即方程（※）在上有且仅有唯一实数根， ……………13分
①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意；
②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，记为不妨设
Ⅰ）若代入方程（※）得，得或，
当时方程（※）的两根为，符合题意；
当时方程（※）的两根为，不合题意，舍去；
Ⅱ）若设，则，得；
综合①②，实数的取值范围为或. …………16分
微信/支付宝扫码支付