数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知方程有实根，且，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3.下列选项中，说法正确的是（ ）
A．“”的否定是“”.
B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角.
C．若，则 .
D．命题“为真”是命题“为真” 的必要条件.
4.已知函数的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）
A． B． C. D．
5.在中，，，，为边的三等分点，则等于（ ）
A． B． C. D．
6.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）
A． B． C. D．
7.已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
8.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C. D．
9.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）
A． B． C. D．
10.若，则的值是（ ）
A． B． C. D．
11.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C. （1,2） D．（2,3）
12.已知定义在上的函数，满足（1）；（2）（其中是的导函数，是自然对数的底数），则的范围为（ ）
A．（） B．（） C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是 ．
14.已知数列满足，且，则 ．
15.已知，则展开式中的常数项为 ．
16.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知向量，向量，函数
.
（I）求单调递减区间；
（II）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积.
18.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.
（I）求乙得分的分布列和数学期望；
（II）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
19.（本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知定点和直线上的动点，线段
的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.
21.（本小题满分12分）已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（III）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
在平面直角坐标系中，圆的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为.
（I）当时，判断直线与的关系；
（II）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（I）求证：当时，不等式成立；
（II）关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
12题解析：设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即；令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，即，综上，故选.
二、填空题
13. 195 14. 100 15. -160 16.
16题解析：根据线性约束条件画出可行域，对目标函数中的分大于零、小于零、等于零分类讨论即得结论.
三、解答题
17.解：（I） …………………3分
由正弦函数图象可知，当时取得最大值3. ……………………………7分
所以 ……………………………8分
由余弦定理，得
……………………………10分
。 ……………………………12分
18.解：（I）设乙答题所得分数为，则的可能取值为-15,0,15,30 ……………………………1分
； ；
； . ……………………………4分
乙得分的分布列如下：
……………………………5分
. …………………………… 6分
（II）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.
则， …………………………… 8分
. …………………………… 10分
故甲乙两人至少有一人入选的概率
. …………………………… 12分
19.解：（I）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，，且 ……………………………1分
因此两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ……………………………2分
则由已知可得：，
故，
……………………………3分
即 4分
即,
而平面，平面，
平面。……………………………6分
（II）解：设是平面的一个法向量，则
，，，
，
令，可得，
，……………………………2分
由已知可得平面，
是平面的一个法向量，…………………………10分
设二面角的平面角为，则有：，
所求二面角的余弦值是。…………………………12分
解法二（1）证明：由三视图可知，这个多面体为直三棱柱，
其中，
且 ……………………………2分
从而可得
连接由直棱柱的性质可得,
且也是的中点，
中，由中位线定理得,
而
…………………………… 4分
上的射影，
……………………………6分
(2)解：过作
是二面角的平面角。 …………………………… 8分
在，
（法1）在, ……………………………10分
，
即所求的二面角的余弦值为 ……………………………12分
（法2）在 ……………………………10分
即所求的二面角的余弦值为。 ……………………………12分
20.解：（I）由题意可知：，即点到直线和点的距离相等，根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点。 ……………………………3分
设的轨迹方程为：
所以的轨迹方程为：. ……………………………5分
（II）由条件可知，则. ……………………………6分
联立，消去得，
. …………………………… 7分
设，则
…………………………… 9分
因为 …………………………… 10分
…………………………… 11分
所以 三点共线. …………………………… 12分
21.解：（I）由知 ……………………………1分
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， …………………………… 2分
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， ……………………………3分
（II）由，，
故，
， ……………………………5分
在区间上总存在极值，
有两个不等实根且至少有一个在区间内
又是开口向上的二次函数，且，
由，解得， ……………………………6分
由，
在上单调递减，所以，
， ……………………………7分
综上可得，，
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。
（III），令，则， ……………………………9分
当时，由得，从而，
所以，在上不存在使得； 10分
当时，，
在上恒成立，
故在上单调递增。
，
故只要，解得，
综上所述：的取值范围是。 ……………………………12分
22.解：（I）圆的普通方程为：， ……………………………1分
直线的直角坐标方程为：， ……………………………2分
圆心（1,1）到直线的距离为， ……………………………4分
所以直线与相交。 …………………………… 5分
（II）上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为
， ………… 7分
过圆心与平行的直线方程式为：， ……………………………8分
联立方程组解得 ……………………………9分
故所求点为（2,0）和（0,2） ……………………………10分
23.解：（I）证明：由 …………………………… 2分
得函数的最小值为3，从而，所以成立。 ……………………………5分
（II）由绝对值的性质得， ……………………………7分
所以最小值为，从而， …………………………… 8分
解得， …………………………… 9分
因此的最大值为。 ……………………………10分
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