2018年湖南省常德市澧县中考数学模拟试卷（5月份）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．若|a|=2，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．±2
2．下列式子成立的是（ ）
A．2x﹣5=﹣（5﹣2x） B．7a+3=7（a+3）
C．﹣a﹣b=﹣（a﹣b） D．2x﹣5=﹣（2x﹣5）
3．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
4．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
6．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ABC=30°，AC的延长线与过点B的⊙O的切线相交于点D，若⊙O的半径OC=1，BD∥OC，则CD的长为（ ）
A．1+ B． C． D．
7．如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是（ ）米．
A．300+300 B．300+300 C．150+150 D．150+150
8．按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．已知（x﹣1）3=64，则x的值为 ．
10．分解因式：x2y﹣y= ．
11．函数y=的定义域为 ．
12．分式方程﹣x=3的解是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC边上的高，则BD的长为 cm．
14．如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为 ．
15．小青在八年级上学期的数学成绩如下表所示．
平时测验
期中考试
期末考试
成绩
86
90
81
如果学期总评成绩根据如图所示的权重计算，小青该学期的总评成绩是 分．
16．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 点．
三．解答题（共2小题，满分10分，每小题5分）
17．（5分）计算：﹣12018﹣|1﹣|+（）﹣1+（3.14﹣π）0+．
18．（5分）解方程：（x+1）（x﹣3）=6．
四．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）
19．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，
其中x满足x2﹣2x﹣2=0．
20．（6分）现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有数字﹣1，2，3，﹣5，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）从中随机抽取一张卡片，正面的数字是奇数的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张卡片，把卡片上的数字作为被减数，不放回，再随机抽取一张卡片，把卡片上的数字作为减数，然后计算这两个数的差．请用列表法或树状图的方法，求差大于2的概率．
五．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）
21．（7分）“中国梦，点军梦”，2017年9月1日点军区某校新校区一期工程通过工程竣工验收全面投入使用．该校区一期工程自2015年年初开始投资建设，工程分别由搬迁安置、工程建设、辅助配套三项工程组成，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．
2015年年初共投资9亿元，其中对工程建设、辅助配套的投资分别是搬迁安置投资的3倍、5倍．随后两年，搬迁安置投资每年都增加相同的数额，辅助配套投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减；2016年年初工程投资数额正好是搬迁安置投资每年增加数额的2倍，2017年年初工程投资数额较前一年的增长率正好是2016年初辅助配套投资遂年递减百分率的2.5倍．工程结束后经核算，这三年的搬迁安置总投资达6亿元，且三年的搬迁安置与辅助配套总投资之和比工程建设总投资还多10.2亿元．
求：（1）2015年年初工程建设投资是多少亿元？
（2）市政府三年建设总投资是多少亿元？
22．（7分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
六．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
23．（8分）2017年3月27日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100分） 进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．
（1）a= ，n= ；
（2）补全频数直方图；
（3）该校共有2000名学生．若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
24．（8分）如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连接ED并延长交AC于点F．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE的数量关系．
七．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
25．（10分）△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．
（1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；
（2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；
（3）若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．
26．（10分）如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；
（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
参考答案
一．选择题
1．D．
2．A．
3．B．
4．C．
5．B．
6．B．
7．A．
8．A．
二．填空题
9．5．
10．y（x+1）（x﹣1）．
11．x＞﹣3．
12．x=6．
13．．
14．4．
15．84.2．
16．B．
三．解答题
17．解：原式=﹣1﹣（﹣1）+2+1+2
=﹣1﹣+1+2+1+2
=3+．
18．解：方程整理得：x2﹣2x﹣9=0，
这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，
∵△=4+36=40＞0，
∴x==1±，
则x1=1+，x2=1﹣．
四．解答题
19．解：原式=[﹣]÷
=•
=，
∵x2﹣2x﹣2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
则原式==．
20．解：（1）四张卡片中计算为﹣1，3，﹣5共三张，
则P=；
故答案为：；
（2）列表如下：
﹣1
2
3
﹣5
﹣1
﹣﹣﹣
（2，﹣1）
（3，﹣1）
（﹣5，﹣1）
2
（﹣1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（﹣5，2）
3
（﹣1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（﹣5，3）
﹣5
（﹣1，﹣5）
（2，﹣5）
（3，﹣5）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中差大于2的结果有5种，分别为（2，﹣1）；（3，﹣1）；（﹣1，﹣5）；（2，﹣5）；（3，﹣5），
则P=．
五．解答题
21．解：（1）设2015年年初搬迁安置投资为x亿元，
则x+3x+5x=9，
x=1，
3x=3，
答：2015年年初工程建设投资是3亿元．
（2）设搬迁安置投资每年增加相同的数额为a亿元，辅助配套投资从2016年初开始遂年递减的百分数为b，则1+（1+a）+（1+2a）=6 …（1分）
6+[5+5（1﹣b）+5（1﹣b）2]=[3+2a+2a（1+2.5b）]+10.2 …
解得：a=1
b=0.2 b=（舍去） …（2分）
所以，市政府三年建设总投资为：
6+[5+5（1﹣b）+5（1﹣b）2]+[3+2a+2a（1+2.5b）]=26.2亿元
或者2（3+2a+2a（1+2.5b））+10.2=26.2亿元 …（2分）
22．（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
六．解答题
23．解：（1）∵本次调查的总人数为30÷10%=300（人），
∴a=300×25%=75，D组所占百分比为×100%=30%，
所以E组的百分比为1﹣10%﹣20%﹣25%﹣30%=15%，
则n=360°×15%=54°，
故答案为：75、54；
（2）B组人数为300×20%=60（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）2000×（10%+20%）=600，
答：该校安全意识不强的学生约有600人．
24．（1）证明：由已知，得，
∴△AED≌△CED，（2分）
∴∠AED=∠CED，
又∵△AEC为等边三角形，
∴EF⊥AC；（4分）
（2）解法一：
过G作GM⊥EF，垂足为M，（5分）
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM（6分）
设GM=x，则DG=
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，（7分）
∴EM=（8分）
∴ED=+x=（）x（9分）
∴
即DE=DG（或）（10分）
解法二：
过E作EM⊥AD，垂足为M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
设EM=DM=x，
则DE=x（6分）
在Rt△AEF中，cot30°=，
∴DF=AF=（7分）
∴AD=
=（8分）
∵△CDG∽△AME，
∴
即
∴DG=（9分）
∴
即（或）．（10分）
七．解答题
25．解：（1）线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC，AD=EC；（2分）
理由：连接AD、CE；
∵△ABC、△BED都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE，∠DAB=∠BCE；
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠DAE=90°，即AD⊥CE；
故线段AD与线段EC的关系是AD⊥EC，AD=EC．
（2）如图2，连接AD、EC并延长，设交点为点F；
∵△ABC∽△DBE，
∴，
∴．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∴△ABD∽△CBE．（4分）
∴．
在Rt△ACB中，，∵，
∴．（5分）
又∵∠DBE=90°，∠DEB=30°，
∴∠4=60°，
∴∠5+∠6=120°．
∵△ABD∽△CBE，
∴∠5=∠CEB=30°+∠7，
∴∠7=∠5﹣30°，∠6=120°﹣∠5，
∴∠7+∠6=90°，
∴∠DFE=90°
即AD⊥CE．（6分）
（3）在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，且∠AFE=（180﹣α﹣β）度．（8分）
26．解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则﹣x2+x+4=0，
解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）如图，
AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵AC∥MN，
∴MN⊥AB．
设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，
∵MN∥AC，
△BMN∽△BAC
∴=，
∴=，
BM==，
MN==，
AM=AB﹣BM=2﹣=
∵S△AMN=AM•MN
=××
=﹣（n﹣3）2+5，
当n=3时，△AMN面积最大是5，
∴N点坐标为（3，0）．
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．
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