2018年中考数学试题分类汇编知识点29等腰三角形与等边三角形.doc

1 知识点 29 等腰三角形与等边三角形 一、选择题 1. （2018 四川绵阳，11，3 分） 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：过 A 点作 AF⊥CE 于点 F，设 AB 与 CD 的交点为 M，过 M 点作 MN⊥AC 于点 N，如图所示. ∵△ECD 为等腰直角三角形， ∴∠E=45°. ∵AE= ，AD= ， ∴AF=EF=1,CE=CD= = ， ∴CF= , ∴AC= =2，∠ACF=30° ∴∠ACD=60°. 设 MN=x， ∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， 2 6 2 23− 13 − 33− 2 6 2 DE 31+ 3 22 CFAF +2 ∴AN=MN=x，CN= = x， ∴AC=AN+CN=x+ x=2， 解得 x=3- ， ∴S△ACM= ×AC×MN=3- . 故选 D. 【知识点】等腰直角三角形的性质，含 30°角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算 2. （2018 山东临沂，11，3 分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点 D，E.AD＝3，BE ＝1.则 DE 的长是( ) 第 11 题图 A． B．2 C. D． 3 MN 3 3 3 3 3 2 1 3 E D C B A 3 2 2 2 103 【答案】B 【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠DCA=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA=90 °，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE－CD=3－1=2，故选 B. 【知识点】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性质 3. （2018 山东省淄博市，11，4 分）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为 （A）4 （B） 6 （C）4 （D）8 【答案】B 【思路分析】由已知 MN∥BC 和 CM 平分∠ACB 可证 MN=NC，∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，再由 MN 平分∠AMC 可得 ∠ANM=∠ACB，从而得到∠ANM=2∠AMN，可得∠AMN=30°，再利用直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的 一半求出 MN，进而得到 NC，求得 AC，从而求出 BC. 【解题过程】∵MN∥BC，∴∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，∵CM 平分∠ACB，∴∠MCB=∠MCN= ∠ACB，∴∠NMC=∠NCM， ∴MN=NC，∵MN 平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC= ∠AMC，∴∠AMN= ∠ACB= ∠ANM，∵∠A=90°，∴∠AMN=30°， ∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=3，∵∠B=∠AMN=30°，∴BC=2AC=6，故选 B. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形判定；解直角三角形 4. （2018 浙江湖州，5，3）如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝AC，∠CAD＝20°，则 ∠ ACE 的度数是（ ） A．20° B．35° C．40° D．70° 3 （第11题图） NM B C A 1 2 1 2 1 2 1 24 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，∴AD⊥BC．∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°．∵CE 是∠ABC 的平分线，∴∠ ACE＝35°．故选 B. 【知识点】等腰三角形，角平分线，中线 1. （2018 福建 A 卷，5，4）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠EBC=45°，则∠ ACE 等于( ) A．15° B.30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD 是 BC 的垂直平分线，∴ BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°. 【知识点】等边三角形性质，三线合一 2. （2018 福建 B 卷，5，4）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠EBC=45°，则∠ ACE 等于( ) A．15° B.30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD 是 BC 的垂直平分线，∴ BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°.5 【知识点】等边三角形性质，三线合一 3. （2018 四川雅安，10 题，3 分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=72°，BC= ，以点 B 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 与点 D，则线段 AD 的长为 第 10 题图 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在△ABC 中，AB=AC，∠C=72°，所以∠B=72°，∠A=36°，因为 BC=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36 °，所以 AD=BD=BC= ，故选 C 【知识点】等腰三角形 4. （2018 四川凉山州，4，4 分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 A、B 为圆心，大于 长为 半径作弧，两弧相交于 M、N 两点；②作直线 MN 交 BC 于 D，连结 AD．若 AD＝AC，∠B＝25°，则∠C=（ ） A.70° B.60° C.50° D.40° 【答案】C 5 2 2 2 3 5 6 5 1 2 AB6 【解析】由作图可知 MN 为线段 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25°,∵∠CDA 为△ABD 的一个外角，∴∠ CDA=∠DAB+∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50°.故选择 C. 【知识点】尺规作图——线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质. 5. （2018 广西玉林，9 题，3 分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移动，以 AC 为边在右侧作等边△ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 第 9 题图 【答案】A 【解析】由已知得△AOB 为等边三角形．所以∠O=∠OAB=60°． 易证△AOC≌△ABD，得∠ABD=60°．所以∠OAB=∠ABD，所以 BD∥OA． 故选 A. 【知识点】等边三角形的判定；全等三角形的判定；平行线的判定 二、填空题 1. （2018 四川省成都市，11，4）等腰三角形的一个底角为 50° ，则它的顶角的度数为 ． 【答案】80° 【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为 50° ，且两个底角相等，∴顶角为 180°－2×50°＝80°． 【知识点】等腰三角形性质，三角形的内角和 1. （2018 贵州遵义，14 题，4 分）如图，△ABC 中，点 D 在 BC 边上，BD=AD=AC ，E 为 CD 的中点，若 ∠CAE=16°，则∠B 为_______度 第 14 题图 【答案】377 【解析】因为 AD=AC，E 为 CD 的中点，所以∠DAC=2∠CAE=32°，所以∠ADC= (180°-∠DAC)=74°，因为 BD=AD， 所以∠B= ∠ADC=37° 【知识点】等腰三角形三线合一，外角 2. （2018 湖南省湘潭市，12，3 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则∠BAD________. 【答案】30° 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵D 是 BC 中点，∴AD 平分∠BAC，∴∠BAD=30°. 【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质 3. （2018 江苏淮安，13，3） 若一个等腰三角形的顶角等于 50°，则它的底角等于 . 【答案】65° 【解析】分析：本题考查等腰三角形性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得结果. 解：由题意得，等腰三角形的底角＝（180°-顶角）÷2＝（180°-50°）÷2＝65°. 故答案为 65° 【知识点】等腰三角形；等腰三角形性质；三角形内角和定理 4. （2018 湖南张家界，12，3 分）如图，将 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 ，这时点 恰好在同一直线上，则 的度数为______． 1 2 1 2 ABC∆ °150 ADE∆ DCB 、、 B∠8 【答案】15 【解析】解：∵ 绕点 A 逆时针旋转 ，得到 ， ∴∠BAD=150°， ≌ . ∴AB=AD. ∴△BAD 是等腰三角形. ∴∠B=∠ADB= =15°. 【知识点】旋转的性质，等腰三角形的性质. 三、解答题 1. （2018 浙江绍兴，22，12 分）数学课上，张老师举了下面的例题： 例 1 等腰三角形 中， ，求 的度数.（答案： ） 例 2 等腰三角形 中， ，求 的度数.（答案： 或 或 ） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形 中， ，求 的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现， 的度数不同，得到 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 中， 设 ，当 有三个不同的度数时，请你探索 的取值范围. 【思路分析】（1）可分当 为顶角、当 为底角两种情况讨论，当 为顶角时， 只能为底角；当 为底角时， 既可以为顶角，也可以为底角所以 的度数有三种情况。 （2）分两种情况：当 时， 只能为顶角， 的度数只有一个；当 时， 既可以 是顶角，也可以是底角，当 是底角时， 既可以为底角，也可以为顶角，也就是 有三个不同的度数， 但是当 =60°时， 只能等于 60°，所以当 有三个不同的度数时， 的取值范围是 且 。 【解题过程】22.解：（1）当 为顶角，则 ， ABC∆ °150 ADE∆ ABC∆ ADE∆ 1 °-2 BAD（180 ∠ ） ABC 110A∠ =  B∠ 35 ABC 40A∠ =  B∠ 40 70 100 ABC 80A∠ =  B∠ A∠ B∠ ABC A x∠ =  B∠ x A∠ A∠ A∠ B∠ A∠ B∠ B∠ 90 180x≤ < A∠ B∠ 0 90x< < A∠ A∠ B∠ B∠ A∠ B∠ B∠ x 0 90x< < 60x ≠ A∠ 50B∠ = 9 当 为底角，若 为顶角，则 ， 若 为底角，则 ， ∴ 或 或 . （2）分两种情况： ①当 时， 只能为顶角， ∴ 的度数只有一个. ②当 时， 若 为顶角，则 ， 若 为底角，则 或 ， 当 且 且 ，即 时， 有三个不同的度数. 综上①②，当 且 ， 有三个不同的度数. 【知识点】等腰三角形的性质 2.（2018 宁波市，23 题，10 分） 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 AB 边上一点(点 D 与 A，B 不重合, 连结 CD,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F 连接 BE. （1）求证:△ACD≌△BCE; （2）当 AD=BF 时,求∠BEF 的度数. A∠ B∠ 20B∠ =  B∠ 80B∠ =  50B∠ =  20 80 90 180x≤ < A∠ B∠ 0 90x< < A∠ 180 2 xB − ∠ =     A∠ B x∠ =  (180 2 )B x∠ = −  180 180 22 x x − ≠ − 180 2 x x − ≠ 180 2x x− ≠ 60x ≠ B∠ 0 90x< < 60x ≠ B∠10 【思路分析】 【解题过程】解：（1）∵线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE， ∴∠DCE=90°,CD=CE， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCE ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD 和△BCE 中 ∵ ∴△ACD≌△BCE(SAS) （2） ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45° ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45° 又:AD=BF ∠BEF=∠BFE= =67.5° 【知识点】全等三角形的判定、等腰三角形的性质 1. （2018 武汉市，18，8 分）如图，点 E、F 在 BC 上，BE＝ CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF 与 DE 交于点 G，求证：GE＝GF. F E C A BD11 【思路分析】如图，由已知条件证得△ABF≌△DCE，得∠1＝∠2，再根据等腰三角形的判定定理得 GE＝GF. 【解题过程】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE， 在△ABF 和△DCE 中 ， ∴△ABF≌△DCE（SASA）， ∴∠1＝∠2， ∴GE＝GF. 第 18 题答图 【知识点】全等三角形的判定 全等三角形的性质 等腰三角形的判定 AB DC B C BF CE = ∠ = ∠  = G D CFEB A 21