2018年中考数学试题分类汇编知识点30直角三角形、勾股定理.doc

1 知识点 30 直角三角形、勾股定理 一、选择题 1. （2018 山东滨州，1，3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为： ＝5． 【知识点】勾股定理 2. （2018 四川泸州，8 题，3 分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲. 如图 3 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较 长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若 ab=8，大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为（ ） A. 9 B.6 C. 4 　 D.3 第 8 题图 【答案】D 【解析】因为 ab=8，所以三角形的面积为 ab=4，则小正方形的面积为 25-4×4=9，边长为 3 【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根 3. （2018 年山东省枣庄市，12，3 分）如图，在 中， ， ，垂足为 ， 平 分 ，交 于点 ，交 于点 .若 ，则 的长为（ ） 2 23 +4 2 1 ABCRt∆ 090=∠ACB ABCD ⊥ D AF CAB∠ CD E CB F 5,3 == ABAC CE2 A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】在 中， ， 平分 ，可知 CE=CF，过 F 作 FH 垂直于 AB，FH=CF，在 Rt△FBH 中设 CF=x，利用勾股定理列方程求出 CF 的长，从而得到 CE 的长. 【解题过程】解：在 中， ，∴∠ACD=∠B，∵ 平分 ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CEF= ∠CFE，CE=CF，如图，过点 F 作 FG⊥AB，∵ 平分 ，∴CF=FG，AG=AC=3，BG=2，设 CF=FG=x， ∵ ，∴BC=4，则 BF=4-x，在 Rt△FBG 中， ，解得 ，即 CE=CF= ，故 选 A. 【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形 4. （2018 湖南长沙，11 题，3 分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问 有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角 形沙田，三边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ） A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米 【答案】A 【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为 2.5 千米,6 千米,6.5 千米,因为 2.52+62=6.52，所以这 2 3 3 4 3 5 5 8 ABCRt∆ ABCD ⊥ AF CAB∠ ABCRt∆ ABCD ⊥ AF CAB∠ AF CAB∠ 5,3 == ABAC 2 2 22 (4 )x x+ = − 2 3=x 2 3 E C A BD F G3 个三角形为直角三角形,直角边长为 2.5 千米和 6 千米，所以 S= ×6×2.5=7.5(平方千米)，故选 A 【知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积 5. (2018 山东青岛中考，6，3 分)如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点 E 为 AB 中点．沿过点 E 的直 线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 F．已知 ，则 BC 的长是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=45°．由折叠的性质可得∠BEF=90°，∴∠BFE=45°，∴BE=EF= ． ∵点 E 为 AB 中点，∴AB=AC=3．在 Rt△ABC 中，BC= = = ．故选 B． 【知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理； 6.（2018 山东省淄博市，12，4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A、B、C 的距离分别 为 3、4、5，则△ABC 的面积为 （A）9+ （B）9+ （C）18+ （D）18+ 1 2 3 2EF = 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2AB AC+ 2 23 3+ 3 2 25 3 4 25 3 2 25 3 25 3 24 【答案】A 【思路分析】将△APB 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AHC，作 AI⊥CH 交 CH 延长线于点 I，则△APH 为等边三角形， 利用已知线段证明△PHC 为直角三角形，从而得到∠AHC=150°，∠AHI=30°，求得 AI、IH，进而求得 IC，利用 勾股定理求出 AC，再利用正三角形面积公式求出三角形 ABC 的面积. 【解题过程】将△APB 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AHC，作 AI⊥CH 交 CH 延长线于点 I，则△APH 为等边三角形， HA=HP=PA=3，HC=PB=4，∵PC=5，∴PC2=PH2+CH2，∴∠PHC=90°，∴∠AHI=30°，∴AI= ，HI= ，∴CI= +4，∴AC2=（ ）2+（ +4）2=25+12 ，∴S△ABC= AC2= （25+12 ）=9+ . 【知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理 1. （2018 湖北黄冈，5 题，3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线， AD=2，CE=5，则 CD=（ ） A.2 B.3 C.4 D. （第12题图） A B C P （第12题答案图） A B C P H I 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 4 3 4 3 25 3 4 2 35 第 5 题图 【答案】C 【解析】在 Rt△ABC 中，CE 为 AB 边上的中线，所以 CE= AB=AE，因为 CE=5，AD=2，所以 DE=3，因为 CD 为 AB 边上的高，所以在 Rt△CDE 中， =4，故选 C 【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理 2. （2018 四川凉山州，3，4 分）如图，数轴上点 A 对应的数为 2，AB⊥OA 于 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长 为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 长为（ ） A.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】∵AB⊥OA 于 A，∴∠OAB=90°.在 Rt△OAB 中，由勾股定理得 OB= .∴ OC=OB= .故选择 D. 【知识点】直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图. 二、填空题 1 2 2 2CD CE DE= + 2 3 5 2 2 2 2 52 1OA AB+ = + = 56 1. （2018 年山东省枣庄市，15，4 分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了 著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.即：如果一个三角形的三边长分别为 ，则该三角形的面积为 ，已知 的三边长分别为 ，则 的面积为 . 【答案】1 【解析】方法一：把 代入三角形的面积得 ，故填 1. 方法二：由 的三边长分别为 ，根据勾股定理的逆定理得 是直角三角形，其面积为 ， 故填 1. 【知识点】二次根式；勾股定理的逆定理 2. （2018 四川省成都市，14，4）如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和 C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交 CD 于点 E，若 DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线 AC 的长为 ． 【答案】 【思路分析】因为由作图可知MN 为线段 AC 的垂直平分线，则有 AE＝CE＝3，在 Rt△ADE 中，由勾股定理可以求 出 AD 的长，然后再在 Rt△ADC 中用勾股定理求出 AC 即可． 【解析】解：连接 AE，由作图可知 MN 为线段 AC 的垂直平分线，∴AE＝CE＝3，在 Rt△ADE 中， ＝ ＋ ，∴AD＝ ＝ ，在 Rt△ADC 中， ＝ ＋ ，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝ ＝ cba ,, 2 2 2 2 2 21 ( )4 2 a b cs a b  + −= −   ABC∆ 1,2,5 ABC∆ 1,2,5 [ ]21 5 4 1 15 4 ( ) 20 16 14 2 4s + − = × − = − =   ABC∆ 1,2,5 ABC∆ 1 2 1 12 × × = 1 2 30 2AE 2AD 2DE 2 2AE DE− 5 2AC 2AD 2CD ( )2 25 5+7 ． 【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理 3. （2018 天津市，18，3）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上. （1）∠ACB 的大小为 （度）； （2）在如图所示的网格中，P 是 BC 边上任意一点.A 为中心，取旋转角等于∠BAC，把点 P 逆时针旋转，点 P 的 对应点为 P′.当 CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点 P′，并简要说明点 P′的位置是如何找到的（不 要求证明） ． 【答案】90°; 如图，取格点 D，E，连接 DE 交 AB 于点 T；取格点 M，N，连接 MN 交 BC 延长线于点 G；取格点 F，连接 FG 交 TC 延长线于点 P′，则点 P′即为所求. 308 【解析】分析：本题考查了勾股定理及其逆定理．解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点． 解：(1)在网格中由勾股定理得： ∴△ABC 为直角三角形， ∴∠ACB=90° (2) 如图，取格点 ， ，连接 交 于点 ；取格点 ， ，连接 交 延长线于点 ；取格点 ，连接 交 延长线于点 ，则点 即为所求. 【知识点】勾股定理定理及逆定理；格点作图 4. （2018 浙江湖州，16，4）在每个小正方形的边为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点．以顶点都是 格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且 四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的 边长为 ，此时正方形 EFGH 的面积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能值是 （不包括 5）． 【答案】9，13 和 49 【解析】设图中直角三角形的长直角边为 a，短直角边为 b，则 a2+b2＝65．小正方形的面积为（a－b）2．∴只 要能把长为 a 和 b 的线段在网格中画出来，并且 a 和 b 的端点都在格点上即可．∵65 可以写作 64+1 或 49+16， 所以 a，b 的值分别为 8，1 或 7，4．此时小正方形的面积为 49 或 9． 另外，∵长为 13 和 5 的线段也可以在网格中画出，所以 65 还可以写成 52+13 或 45+20，此时 a，b 的值分 别为 2 ， 和 3 ，2 ．此时小正方形的面积为 13 和 5． 小正方形的面积为 9，13 和 49 对应的图形分别为下图的①②③．故填 9，13 和 49. 222 222222 50 5055AB,3244BC,1833=AC ABBCAC ==+∴ =+==+==+ D E DE AB T M N MN BC G F FG TC 'P 'P 65 65 13 13 5 5 图 19 【知识点】勾股定理 1. （2018 湖北黄冈，13 题，3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为______cm（杯壁厚度不计） 第 13 题图 【答案】20 【解析】如图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点 B 做 BC⊥AE 于点 C，则 Rt△EBC 中，BC=32÷2=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以 第 13 题解图 【知识点】轴对称，勾股定理 2. （2018·重庆 A 卷，16，4）如图，把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE、FG， 得到∠AGE＝30°，若 AE＝EG＝ 厘米，则△ABC 的边 BC 的长为 厘米． 【答案】4 ＋6． 【解析】如下图，过点 E 作 EM⊥AG 于点 M，则由 AE＝EG，得 AG＝2MG． ∵∠AGE＝30°，EG＝ 厘米， 2 2 20EB EC BC cm= + = 2 3 3 2 310 ∴EM＝ EG＝ （cm）． 在 Rt△EMG 中，由勾股定理，得 MG＝ ＝3（cm），从而 AG＝6cm． 由折叠可知，BE＝AE＝ （cm），GC＝AG＝6cm． ∴BC＝BE＋EG＋GC＝ ＋ ＋6＝4 ＋6（cm）． 【知识点】翻折；轴对称；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形 3. （2018 江苏淮安，15，3） 如图，在份 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3, BC=5,分别以 A、B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q,过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 . (第 15 题） 【答案】1.6 【解析】本题考查勾股定理和基本作图，连结 AD,由线段的垂直平分线的性质可知 AD=BD,再由勾股定理可求得 CD. 解：连结 AD 由作法可知 AD=BD, 在 Rt△ACD 中设 CD=x,则 AD=BD=5-x,AC=3. 1 2 3 2 2(2 3) ( 3)− 2 3 2 3 2 3 3 2 111 由勾股定理得，CD2+AC2=AD2 即 x2+32=(5-x)2 解得 x=1.6 故答案为 1.6 【知识点】勾股定理；轴对称；线段的垂直平分线；基本作图 4. （2018 山东德州，15，4 分）如图, 为 的平分线， ， ， ，则点 到射 线 的距离为 ． 【答案】3 【解析】因为 ， ， ，所以 CM=3，过点 C 作 CM⊥OA 于 N，又因为 为 的平 分线，所以 CN= CM=3，即点 到射线 的距离为 3． 【知识点】勾股定理，角平分线的性质 5. （2018 福建 A 卷，13，4）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 为 AB 的中点，则 CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值. 【解析】解：在△ABC 中，以∠ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，∵CD 是 AB 边上的中线，∴CD= AB=3. 【知识点】直角三角形 OC AOB∠ CM OB⊥ 5OC = 4OM = C OA CM OB⊥ 5OC = 4OM = OC AOB∠ C OA 1 212 6.（2018 福建 A 卷，15，4）把两个相同大小的含 45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与 另一个的直角顶点重合于点 A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB= ，则 CD=_______． 【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AF⊥BC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的 性质易求得 AF=CF，在直角三角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决. 【 解 析 】 解 ： 过 点 A 作 AF ⊥ BC ， 垂 足 为 点 F ， ∵ AB=AC ， ∴ CF= ， ∵ AB=AC= ， ∴ AD= ， ∴ CF=1 ， ∵ ∠ C=45 ° ， ∴ AF=CF=1 ， ∴ ， ∴ . 【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理 7. （2018 福建 B 卷，13，4）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 为 AB 的中点，则 CD= _______． 【答案】3 【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值. 【解题过程】解：在△ABC 中，以∠ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，∵CD 是 AB 边上的中线，∴CD= AB=3. 2 3 1- 1 2 BC 2 2 2 2BC AB AC= + = 2 2 3DF AD AF= - = 3 1CD DF CF= - = - 1 213 【知识点】直角三角形 8. （2018 福建 B 卷，15，4）把两个相同大小的含 45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点 与另一个的直角顶点重合于点 A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB= ，则 CD=_______． 【答案】 【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AF⊥BC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的 性质易求得 AF=CF，在直角三角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决. 【 解 析 】 解 ： 过 点 A 作 AF ⊥ BC ， 垂 足 为 点 F ， ∵ AB=AC ， ∴ CF= ， ∵ AB=AC= ， ∴ AD= ， ∴ CF=1 ， ∵ ∠ C=45 ° ， ∴ AF=CF=1 ， ∴ ， ∴ . 【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理 9.（2018 湖北省襄阳市，15，3 分）已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ，AD=1，AB=2AC，则 BC 的长为= ▲ . 【答案】 【解析】解：分两种情况讨论： 2 3 1- 1 2 BC 2 2 2 2BC AB AC= + = 2 2 3DF AD AF= - = 3 1CD DF CF= - = - 3 7232 或14 ①当 CD 在△ABC 内部时，如图 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC= =2. ∴AB=2AC=4， ∴BD=AB-AD=3. 在 Rt△BCD 中，由勾股定理得，BC= = . ②当 CD 在△ABC 外部时，如图 此时，AB=4，BD=BA+AD=5, 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得，BC= = . 综上所述，BC 的长为 . 故答案为 . 【知识点】勾股定理，分类讨论思想 10. （2018 广西玉林，17 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则 AD 的取值范 围是_______ 22 CDAD + 22 CBCD + 32 22 CBCD + 72 7232 或 7232 或15 第 17 题图 【答案】2