2018年中考数学试题分类汇编知识点31平行四边形.doc

1 知识点 31 平行四边形 一、选择题 1. （2018 四川泸州，7 题，3 分） 如图 2， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E 是 AB 中点，且 AE+EO=4，则 ABCD 的周长为（ ） A.20 B. 16 C. 12 　 D.8 第 7 题图 【答案】B 【解析】 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，所以 O 为 AC 的中点，又因为 E 是 AB 中点，所以 EO 是△ABC 的 中位线，AE= AB，EO= BC，因为 AE+EO=4，所以 AB+BC=2(AE+EO)=8， ABCD 中 AD=BC，AB=CD，所以周长为 2(AB+BC)=16 【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线 2. （2018 安徽省，9，4 分） □ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（ ） A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 【答案】B 【思路分析】连接 AC 与 BD 相交于 O，根据平行四边形的对角线互相平分可得 OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相 平分的四边形是平行四边形，只要证明得到 OE=OF 即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解题过程】解：如图，连接 AC 与 BD 相交于 O， 在▱ABCD 中，OA=OC，OB=OD，   E O DA CB  2 1 2 1 2 要使四边形 AECF 为平行四边形，只需证明得到 OE=OF 即可； A、若 BE=DF，则 OB-BE=OD-DF，即 OE=OF，故本选项不符合题意； B、若 AE=CF，则无法判断 OE=OE，故本选项符合题意； C、AF∥CE 能够利用“角角边”证明△AOF 和△COE 全等，从而得到 OE=OF，故本选项不符合题意； D、∠BAE=∠DCF 能够利用“角角边”证明△ABE 和△CDF 全等，从而得到 DF=BE，然后同 A，故本选项不符合题 意； 故选：B． 【知识点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 3.（2018 四川省达州市，8，3 分）△ABC 的周长为 19，点 D、E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M．若 BC＝7，则 MN 的长为（ ） ． A． B．2 C． D．3 第 8 题图 【答案】C， 【解析】∵△ABC 的周长为 19，BC＝7， ∴AB＋AC＝12． ∵∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，∴BA＝BE，N 是 AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 M，∴AC＝DC，M 是 AD 的中点． ∴DE＝AB＋AC－BC＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线， 3 2 5 2 M D N EB A C3 ∴MN＝ DE＝ ． 故选 C. 【知识点】三角形的中位线 4. （2018 四川省南充市，第 8 题，3 分）如图，在 中， ， ， ， ， 分别 为 ， ， 的中点，若 ，则 的长度为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路分析】1.由∠ACB=90°，∠A=30°，BC 的长度，可求得 AB 的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜 边第一半，求得 CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得 EF 的长. 【解题过程】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，，∴AB=4，CD= AB，∴CD= ×4=2，∵E，F 分别为 AC，AD 的中点，∴EF= CD= ×2=1，故选 B. 【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理 5. （2018 四川省宜宾市，5，3 分）在 ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E，则△AED 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B 1 2 5 2 Rt ABC∆ 90ACB∠ =  30A∠ =  D E F AB AC AD 2BC = EF 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 24 【解析】如图， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AE 和 DE 是角平分线， ∴∠EAD= ∠BAD，∠ADE= ∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE= （∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE 是直角三角形，故选择 B． 【知识点】平行四边形的性质 6.（2018 宁波市，7 题，4 分） 如图，在 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 是边 CD 的中点,连结 OE 若∠ABC =60°∠BAC=80°，则∠1 的度数为 A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】B 【解析】解：∵∠ABC =60°∠BAC=80° ∴∠ACB =40° 又∵平行四边形 ABCD ∴AD∥BC；AO=CO ∴∠ACB =∠CAD=40° 又∵E 是边 CD 的中点 ∴OE∥AD 1 2 1 2 1 2 1 E O D CB A5 ∴∠CAD=∠1=40° 【知识点】平行四边形的性质、三角形内角和、中位线 1. （2018 内蒙古呼和浩特，8，3 分）顺次连接平面上 A、B、C、D 四点得到一个四边形，从①AB//CD,②BC=AD,③∠ A =∠C,④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（ ） A.5 种 B.四种 C.3 种 D.1 种 【答案】C 【解析】共有 6 种组合：①②，①③，①④，②③，②④，③④。选①②时一组对边平行，另一组对边相等不能 证明四边形的平行四边形；选①③一组对边平行，一组对角相等的可以证明两组对边分别平行；①④同①③一样 可以判定；②③连接四边形的一条对角线，得到两个三角形满足两边分别相等，且其中一边的对角相等，不能判 定两个三角形全等，从而不能得到四边形是平行四边形；②④与②③道理相同；③④两组对角分别相等可以判定 四边形是平行四边形。 【知识点】平行四边形的判定方法 2. （2018 河南，9，3 分）如图,已知 AOBC 的顶点 O（0，0）,A（ 1，2）,点 B 在 x 轴正半轴上,按以下步骤 作图：①以点 O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边 OA,OB 于点 D,E；②分别以点 D,E 为圆心,大于 DE 的 长为半径作弧,两弧在 内交于点 F；③作射线 OF,交边 AC 于点 G．则点 G 的坐标为 （A）( ,2)　 （B）( ,2)　 （C）( ,2) （D）( ,2) 【答案】A 【思路分析】本题求点 G 的坐标，关键是求 AG 的长度.“尺规作图”作出了∠AOB 的角平分线，即∠AOF=∠BOF, 再由平行四边形的性质“平行四边形对边平行”即 OB//AC 和平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即 ∠AGO=∠GOE，可得到∠AGO=∠AOG,故 ΔAOG 是等腰三角形，则 AO=AG，从而求得 AG 的长度。 【解题过程】解：如图，作 AM⊥x 轴于点 M，GN⊥x 轴于点 N.  − 1 2 AOB∠ 5 1− 5 3 5− 5 2−6 由题意知 OF 平分∠AOB,即∠AOF=∠BOF ∵四边形 AOBC 是平行四边形 ∴AC//OB ∴AM=GN，∠AGO=∠GOE ∴∠AGO=∠AOG ∴AO=AG ∵A（ 1，2） ∴AM=2，AH=MO=1，AO= ∴AG=AO= ,GN=AM=2, HF=AF-AH= -1 ∴G（ 1，2） 故答案为 A. 【知识点】尺规作图，角平分线，平行四边形，内错角，等腰三角形，勾股定理 3. （2018 广西玉林，8 题，3 分）在四边形 ABCD 中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC 从以上选择两个条件使 四边形 ABCD 为平行四边形的选法共有 A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 【答案】B 【解析】平行四边形判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形：①②；平行四边形判定二：两组对边分 别相等的四边形是平行四边形：③④；平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：①③或② ④；共有 4 种选法，故选 B 【知识点】平行四边形的判定 二、填空题 1. （2018 湖南衡阳，17，3 分）如图，▱ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD≠CD，过点 O 作 OM⊥AC，交 AD 于点 − 5 5 5 5 −7 M.如果△CDM 的周长为 8，那么 的周长是 ． 【答案】16 【解析】解：在▱ABCD 中，AD=BC，AB=CD， ∵点 O 为 AC 的中点，OM⊥AC， ∴MO 为 AC 的垂直平分线， ∴MC=MA， ∴△CDM 的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长=2（AD+CD）=16． 【知识点】 2. （2018 江苏泰州，13，3 分）如图，□ABCD 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为 . 【答案】14 【解析】在□ABCD 中， ， ， ，∴ ，∴△ BOC 的周长为 14. 【知识点】平行四边形的性质 3. （2018 江苏泰州，14，3 分）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F 分别为 AC、BD 的中点，∠D=α，则∠BEF 的度数为 .（用含 α 的式子表示） 【答案】 【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90°－α，∵E、F 分别为 AC、BD 的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠ ABCD AC BD O 6AD = 16AC BD+ = BOC△ 1 2OC AC= 1 2OB BD= 6BC AD= = 1 ( ) 82OC OB AC BD+ = + = 270 3° α−8 CAD=90°－α，∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E 为 AC 的中点，∴AE=BE，∴∠EBA= ∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α. 【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质 4. （2018 山东临沂，17，3 分）如图，在□ABCD 中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.则 BD＝ ． 第 17 题图 【答案】4 【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，∵□ABCD，∴AD=BC=6，∵AC⊥BC，∴AC= =8=DE，∵BE=BC＋CE=6＋ 6=12，∴BD= . 【知识点】平行四边形 勾股定理 辅助线 5. （2018 山东省淄博市，15，4 分）在如图所示的 ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落 在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ADE 的周长等于_______________. O D CB A 13 22 610 − 134812 22 =+ 9 【答案】10 【解析】由 AD∥CB、AC 平分∠DAE 可得 OA=OC，∵O 为 BC 中点，∴OB=OC=OA，∴∠B=∠BAO，∵∠B=∠D， ∠D=∠E，∴∠BAO=∠E，∴EC∥AB，∴D、C、E 在同一条直线上，从而可得 AD=AE=3，ED=4，∴△ADE 的周长为 10. 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质 6.（2018 天津市，17，3）如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，EF⊥AC 于点 F，G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为 ． 【答案】 【解析】分析：连接 DE，构造直角三角形，可得 DG 的长. 解：连接 DE， ∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， （第15题图） O A D CB E 2 1910 ∴DE∥AC，2DE=AC=4,EC=2, ∵EF⊥AC ∴DE⊥EF ∴△DEG 为直角三角形， 在 Rt△EFC 中,EC=2, ∠C=60°, ∴ ∵G 为 EF 的中点 ∴ 在 Rt△DEG 中,DE=2, 由勾股定理得， 故答案为 . 【知识点】等边三角形的性质；三角形中位线的性质；勾股定理 1. （2018 甘肃天水，T17，F4）将平行四边形 OABC 放置在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点.若点 A 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（1，2）， 则点 B 的坐标为____. 【答案】2. 【解析】因为四边形 OABC 是平行四边形， 所以 BC=OA=3. 3EF = 2 3EG = 2 3EG = 2 19EGDE=DG 22 =+ 2 1911 得点 B 的横坐标为 3+1=4，纵坐标为 2，所以点 B（4，2）. 【知识点】平面直角坐标系，平行四边形的性质 2. （2018 陕西，14，3 分）如图，点 O 是□ABCD 的对称中心，AD＞AB，E、F 是 AB 边上的点，且 EF= AB；G、 H 是 BC 边上的点，且 GH＝ BC．若 S1，S2 分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 S1 与 S2 之间的等量关系是 ． 【答案】2S1=3S2( ， 均正确) 【思路分析】连接 AC、BD．根据等底等高的三角形面积相等，得到 S△AOB=S△BOC．再利用△OEF 与△AOB 同高，从 而得出 S1 与△AOB 面积的关系，同理可得 S2 与△BOC 面积的关系，即可得出 S1 与 S2 之间的等量关系． 【解题过程】连接 AC、BD． ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AO=OC． ∴S△AOB=S△BOC． ∵EF= AB， ∴S1= S△AOB． ∴S△AOB=2S1 ∵GH＝ BC， 1 2 1 3 1 2 3 2S S= 2 1 2 3S S= 1 2 1 2 1 312 ∴S2= S△BOC． ∴S△BOC=3S2． ∴2S1=3S2． 【知识点】平行四边形 三、解答题 1. （2018 浙江金华丽水，20，8 分）如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方 形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形． 【思路分析】根据题意画出符合相应条件的图形． 【解题过程】解：如图， 【知识点】平行四边形的面积；三角形的面积 2. （2018 浙江衢州，第 18 题，6 分）如图，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F。 第 18 题图 求证：AE＝CF。 【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断与性质的知识，解题的关键是证明三角形全 等．根据平行四边形的性质可得到∠BAE=∠DCF，从而容易证明△ABE 与△CDF 全等，从而得到答案。 1 3 图3图2图1 AAA13 【解题过程】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∴∠BAE=∠DCF， ∵BE 垂直 AC，DF 垂直 AC，∴∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF。 【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判断与性质； 3. （2018 湖南岳阳，18，6 分）如图，在平行四边形 中， ，求证：四边形 是平行四边 形. 【思路分析】首先根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AD=BC，∠A=∠C，AB=CD，然后根据 AE=CF 可得△ADE≌△ CBF，进而得出 DE=BF，进而证明出结论. 【解题过程】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C，AB=CD. ∵AE=CF， ∴BE=DF. ∵在△ADE 和△CBF 中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS） ∴DE=BF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形. 【知识点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质 4. （2018 江苏无锡，18，3 分） 如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2.过点 A 作 AC⊥OY 于点 C，以 AC ABCD AE CF= BFDE    = ∠=∠ = BCAD CA CFAE14 为一边在∠XOY 内作等边△ABC.点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D， 作 PE∥OX 交 OY 于点 E.设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 . 【答案】2≤a+2b≤4 【思路分析】利用连接 AP，利用已知条件可以证明△ADP 是等边三角形，进而得到 AD=PD=b，由 OD=PE=a，OA=2 可知 a+b=2，∴a+2b=b+2，然后根据点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，确定 b 的取值范围即可得 到结论. 【解题过程】∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形 PEOD 是平行四边形，PD⊥AC，∠PDA=∠XOY=60°， ∴OD=PE=a. 连接 AP，则△ADP 是等边三角形， ∴AD=PD=a. ∴OA=AD+OD=PD+PE=a+b=2， ∴a+2b=b+2.15 ∵点 P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点， ∴当点 P 与点 A 重合时，b 取得最小值 0； 当点 P 与点 B 重合时，b 取得最大值，作 BM⊥AC 于 M，延长线交 OA 于 N， 此时，MN= OC= OA= ， BM= = = = = = ， ∴b=BN=BM+MN= . ∴0≤b≤2， ∴2≤b+2≤4， 即 2≤a+2b≤4. 【知识点】平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三线合一、勾股定理、三角形中位线的判定和 性质、不等式的基本性质 5. （2018 江苏无锡，21，8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AD 的中点，求证：∠ABF=∠CDE. 【思路分析】利用平行四边形的性质证明△ABF≌△CDE，进而得到结论 【解题过程】∵四边形 ABCD 是平行四边形中， ∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC， ∵E、F 分别是边 BC、AD 的中点， ∴AF=CE. 在△ABF 和△CDE 中， 1 2 1 1 2 2 × 1 124 2 × = 2 2AB AM− 2 21( )2AC AC− 23 4 AC 2 23 ( )4 OA OC− 2 23 (2 1 )4 − 9 3 4 2 = 1 3 22 2 + =16 ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠ABF=∠CDE. 【知识点】线段中点的定义、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质 6.（2018·重庆 B 卷，24，10）如图，在□ABCD 中，∠ACB＝45°，点 E 在对角线 AC 上，BE＝BA，BF⊥AC 于点 F，BF 的延长线交 AD 于点 G．点 H 在 BC 的延长线上，且 CH＝AG，连接 EH． （1）若 BC＝12 ，AB＝13，求 AF 的长； （2）求证：EB＝EH． 【思路分析】（1）在 Rt△FBC 中，由 sin∠FCB＝ ，求出 BF＝12 ×sin45°＝12 × ＝12；在 Rt△ ABF 中，由勾股定理，得 AF＝ ＝5． （2）本题有两种证法，一是在 BF 上取点 M，使 AM＝AG，连接 ME、GE．通过证明四边形 AMEG 是正方形，进而得 到∠AMB＝∠HCE＝45°，BM＝CE，AM＝CH，于是△AMB≌△CHE，从而 EH＝AB，进而 EB＝EH．第二种方法是连接 EG，GH．通过证明△GBE≌△GHE（SAS）锁定答案． 【解题过程】 24．解：（1）∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝∠AFB＝90°． 在 Rt△FBC 中，sin∠FCB＝ ，而∠ACB＝45°，BC＝12 ， ∴sin45°＝ ． ∴BF＝12 ×sin45°＝12 × ＝12． AB CD A C AF CE  = ∠ = ∠ =   2 BF BC 2 2 2 2 2 2 2 213 12AB BF− = − BF BC 2 12 2 BF 2 2 2 217 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 AF＝ ＝5． （2）方法一：如下图，在 BF 上取点 M，使 AM＝AG，连接 ME、GE． ∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°， ∴△FBC 是等腰直角三角形． ∴FB＝FC． ∵在□ABCD 中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45°． ∴∠AGB＝45°． ∵AM＝AG，AF⊥MG， ∴∠AMG＝∠AGM＝45°，MF＝GF． ∴∠AMB＝∠ECG＝135°． ∵BA＝BE，BF⊥AE， ∴AF＝EF． ∴四边形 AMEG 是正方形． ∴FM＝FE． ∴BM＝CE． 又∵CH＝AG， ∴CH＝AM． ∴△AMB≌△CHE． ∴EH＝AB． 2 2 2 213 12AB BF− = − M A B C D EF G H18 ∴EH＝EB． 方法二：如下图，连接 EG，GH． ∵BF⊥AC 于点 F，BA＝BE， ∴∠ABF＝∠EBF． ∵GB＝GB， ∴△GBA≌△GBE（SAS）． ∴∠AGB＝∠EGB． 在△FBC 中，∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠FBC＝45°． ∵在□ABCD 中，AD∥BC， ∴∠GAC＝∠ACB＝45°，∠AGB＝∠FBC＝45°． ∴∠EGB＝45°． ∵CH＝AG， ∴四边形 AGHC 是平行四边形． ∴∠BHG＝∠GAC＝45°． ∴∠BHG＝∠GBH＝45°． ∴GB＝GH，∠BGH＝90°． ∴∠HGE＝∠BGE＝45°． ∵GE＝GE， ∴△GBE≌△GHE（SAS）． ∴EH＝EB． A B C D E F G H19 【知识点】勾股定理 等腰三角形的性质 全等三角形 平行四边形 7. （2018 山东省淄博市，23，9 分） （1）操作发现： 如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在△ABC 的外侧分别以 AB、AC 为腰作了两个等腰直角三角 形 ABD、ACE.分别取 BD、CE 的中点 M，N，G.连接 GM，GN，小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 _________；位置关系是__________. （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考，把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 AB＞AC，其它条件 不变，小明发现上述的结论还成立吗？请说明理由. （3）深入探究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE.其它条 件不变，试判断△GMN 的形状，并给予证明. 【思路分析】（1）通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等；（2）连接 BE、CD，可得△ACD≌△AEB，从而得 DC⊥BE，DC=BE，利用中位线得 GM∥CD 且等于 CD 的一半、GN∥BE 且等于 BE 的一半，从而得到 MG 和 GN 的关系； （3）连接 BE、CD，仿照（2）依然可得相同的结论. 【解题过程】（1）操作发现：线段 GM 与 GN 的数量关系 GM=GN；位置关系 GM GN （2）类比思考：上述结论仍然成立 理由如下：如图②所示，连接 CD、BE 相交于点 O，BE 交 AC 于点 F ∵M、G 是 BD、BC 的中点，∴MG∥CD，MG= CD； （第23题图） 图③ 图②图① M N D E G M G N E D M G N D E C A B A C C A B B ⊥ 1 220 同理可得 NG∥BE，NG= BE， ∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠BAE， 又∵AD=AB，AC=AE， ∴△ADC≌△ABE，∴∠AEB=∠ACD，DC=BE. ∴GM=GN. ∵∠AEB+∠AFE=90°， ∴∠OFC+∠ACD=90° ∴∠FOC=90°， 易得∠MGN=90°，∴GM⊥GN. （3）深入探究：△GMN 是等腰直角三角形 证明如下：连接 BE、CD，CE 与 GM 相交于点 H ∵M、G 是 BD、BC 的中点，∴MG∥CD，MG= CD；同理 NG∥BE，NG= BE. ∵∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，∴△ADC≌△ABE，∴∠AEB=∠ACD，DC=BE. ∴GM=GN，∵GM∥CD，∴∠MHC+∠HCD=180°.∴∠MHC+（45°+∠ACD）=180°. ∴∠MHC+45°+∠AEB=180°，∴∠MHC+45°+（45°+∠CEB）=180°.∴∠MHC+∠CEB=90°， ∴∠GNH+∠GHN=90°.∴∠NGM=90°，即 GM⊥GN.∴△GNM 是等腰直角三角形. 1 2 答案图② FO M G N E D A CB 1 2 1 221 【知识点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线；等腰三角形性质；平行线的性质 8. （2018 浙江温州，18，8）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD//EC， ∠AED=∠B. （1）求证：△AED≌△EBC. （2）当 AB=6 时，求 CD 的长. 【思路分析】（1）利用平行线的性质得∠A=∠BEC 再用 ASA 证明△AED≌△EBC （2）利用一组对边 AD,EC 平行且相等得四边形 AECD 是平行四边形得 CD=AE=3 【解题过程】解(1)∵AD∥EC,∠A=∠BEC E 是 AB 中点,∴AE=BE ∵∠AED=∠B,∴△AED≌△EBC (2)∵△AED≌△EBC,∴AD=EC ∵AD∥EC,∴四边形 AECD 是平行四边形, ∴CD=AE.∵AB=6, ∴CD= AB=3 【知识点】全等三角形，中点定义，平行四边形的判定和性质 答案图③ H M N D E G C A B 2 122 1. （2018 湖北黄冈，20 题，8 分）如图，在 ABCD 中，分别以边 BC，CD 作腰△BCF，△CDE，使 BC=BF， CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接 AF，AE. （1）求证：△ABF≌△EDA； （2）延长 AB 与 CF 相交于 G，若 AF⊥AE，求证 BF⊥BC. 第 20 题图 【思路分析】（1）由平行四边形得到对边相等，对角相等，再由题上已知条件得到两个三角形对应边相等，通过 等量代换，得到∠ABF=∠EDA，故全等可证；（2）证垂直即证 90°的角，将∠FBC 分为两个角∠FBG 和∠CBG， 通过等量代换，得到∠FBC=∠EAF，即证得垂直 【解析】 （1）在 ABCD 中，AB=DC，BC=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，因为 BC=BF，CD=DE，所以 AB=DE，BF=AD，又因为∠CBF= ∠CDE，所以∠ABF=360°-∠ABC-∠CBF，∠EDA=360°-∠ADC-∠CDE，所以∠ABF=∠EDA，又因为 AB=DE，BF=AD， 所以△ABF≌△EDA； （2）由（1）知∠EAD=∠AFB，∠GBF=∠AFB+∠BAF，因为 AD∥BC，所以∠DAG=∠CBG，所以∠FBC=∠FBG+∠CBG= ∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°，所以 BF⊥BC 【知识点】平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形外角 2. （2018 江苏淮安，19，8）如图，如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD、 BC 于点 E、F.求证：AE=CF  23 【思路分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质先证△AOE≌△COF，即可证出 AE＝CF． 【解析】证明：∵AC 、BD 为□ABCD 的对角线 ∴AO=CO,AD∥BC ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠COF ∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF ∴AE=CF 【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；对顶角相等 3. （2018 福建 A 卷，18，9）如图，□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EF 过点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于 点 F．求证：OE=OF. 【思路分析】本题考查平行四边形的性质和利用全等三角形来证明两条线段相等，解题的关键是从平行四边形的 性质中得到三角形全等的条件. 利用平行四边形的性质得到 AD∥CB 且 OB=OD，再利用平行线的性质得到∠ODE=∠ OBF，即可证得△AOE≌△COF. 【解析】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥CB，OB=OD， ∴∠ODE=∠OBF. 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF. 【知识点】平行四边形的性质与判定；三角形全等的判定与性质24 4. （2018 福建 B 卷，18，9）如图，□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EF 过点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于 点 F．求证：OE=OF. 【思路分析】本题考查平行四边形的性质和利用全等三角形来证明两条线段相等，解题的关键是从平行四边形的 性质中得到三角形全等的条件. 利用平行四边形的性质得到 AD∥CB 且 OB=OD，再利用平行线的性质得到∠ODE=∠ OBF，即可证得△AOE≌△COF. 【解题过程】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥CB，OB=OD， ∴∠ODE=∠OBF. 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF. 【知识点】平行四边形的性质与判定；三角形全等的判定与性质 5. （2018 湖北省孝感市，18，8 分）如图， ， ， ， 在一条直线上，已知 ， ， ，连接 .求证：四边形 是平行四边形. B E C F / /AB DE / /AC DF BE CF= AD ABED25 【思路分析】根据平行线的性质得出 和 ，由 和等式的性质得出 BC=EF，进 而根据“AAS”得出 ，可知 .最后结合 并根据平行四边形的判定定理“一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形 是平行四边形. 【解题过程】证明：∵ ，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，∴ . 在 和 中， ，∴ (ASA). ∴ .∵ ，∴四边形 是平行四边形. 【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定. 6.（2018 江苏省宿迁市，22，8）如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别在边 CB，AD 的延长线上，且 BE＝DF，EF 分 别与 AB，CD 交于点 G，H．求证：AG＝CH． 【思路分析】所证两条线段位于两个三角形中，∴考虑利用三角形全等证明． 【解题过程】∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC． B DEF∠ = ∠ ACB F∠ = ∠ BE CF= △ ≌△ABC DEF AB DE= / /AB DE ABED / /AB DE B DEF∠ = ∠ / /AC DF ACB F∠ = ∠ BE CF= BE CE CF CE+ = + BC EF= ABC∆ DEF∆ B DEF BC EF ACB F ∠ = ∠  = ∠ = ∠ △ ≌△ABC DEF AB DE= / /AB DE ABED26 ∴∠E＝∠F． 2 分 又∵BE＝DF， ∴AD＋DF＝BC＋BE． 即 AF＝CE． ∴△AGF≌△CHE． 4 分 ∴AG＝CH． 2 分 【知识点】三角形全等，平行四边形的性质