2018年中考数学试题分类汇编知识点32矩形、菱形与正方形.doc

1 知识点 32 矩形、菱形与正方形 一、选择题 1. （2018 四川内江，11，3）如图，将矩形ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，已知∠BDC ＝62°，则∠DFE 的度数为（ ） A．31° B．28° C．62° D．56° 【答案】D 【思路分析】因为∠DFE＝∠ADB＋∠EBD，要求∠DFE 的值，则需分别求∠ADB、∠EBD，而由矩形对边平行，及 轴对称的性质可知∠EBD＝∠CBD＝∠ADB，利用∠ADB 与∠BDC 互余，即可出∠DFE 的度数． 【解析】解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°，∵AD∥ BC，∴∠ADB＝∠CBD，根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°．故 选择 D． 【知识点】矩形性质，等腰三角形性质，平行线性质 2. （2018 山东滨州，7，3 分）下列命题，其中是真命题的为（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以 A 选项是假命 题；对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以 B 选项 是假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以 C 选项是 假命题；只有选项 D 是真命题．2 【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定 3. （2018 浙江衢州，第 8 题，3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（ ） 第 8 题图 A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解析】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质等知识点. 根据折叠前后角相等可知∠DGH= ∠EGH，∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE， ∴∠GHC=106°，故选：D． 【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质； 4. （2018 甘肃白银，8，3）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置。若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2,则 AE 的长为（ ) A.5 B. C.7 D. 【答案】D. 【思路分析】由旋转性知四边形 AECF 的面积与正方形的面积相等，从而得到正方形的面积等于 25，边长为 5， 于是在直角三角形 ADE 中由勾股定理可求出 AE 的长。 【解题过程】∵△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 23 293 ∴△ADE≌△ABF ∴ =25 ∴正方形的边长 AD=CD=5 ∴在 RT△ADE 中，AE= = . 故选 D 【知识点】正方形的性质及面积公式，旋转的性质即旋转前后图形的形状大小相等面积相等。 5. （2018 年山东省枣庄市，10，3 分）如图是由 8 个全等的小矩形组成的大正方形，线段 的端点都在小矩 形的顶点上，如果点 是某个小矩形的顶点，连接 ，那么使 为等腰三角形的点 的个数是（ ） A． 2 个 B． 3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【思路分析】首先由正方形的对边相等找到小矩形的长与宽的数量关系，其次利用网格作图中作垂线的方法找出 符合题意的点，并注意分类思想的渗透． 【解题过程】如下图，设每个小矩形的长与宽分别为x、y，则有 2x＝x＋2y，从而 x＝2y．因为线段 AB 是 1×2 的矩形对角线，所以根据网格作垂线可知，过点 B 与 AB 垂直且相等的线段有 BP1 和 BP2，过点 A 与 AB 垂直且相 等的线段有 BP3，且 P1、P2，P3 都在顶点上，因此满足题意的点 P 共有 3 个，故选择 B． 【知识点】网格作图；等腰直角三角形 =ABCD AECFS S正方形 四边形 2 2AD DE+ 2 25 2 29+ = AB P PBPA, ABP∆ P P2 P3 P1 A B4 6.（2018 山东威海，12，3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB＝12，点 E 为 BC 中点，以 CD 为直径作圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是( ) A．18＋36π B．24＋18π C．18＋18π D．12＋18π 【答案】C 【思路分析】要求阴影部分面积需将其进行转换，可以通过取 CD 的中点，将△ADM 的面积转化到△ADF 中，求出 其面积，同理，可以求出三角形 CEF 的面积，利用阴影部分面积的转化，求出结果． 【解题过程】如图，取 CD 的中点 M，连接 AM、EM、DF、CF，MF； S 半圆 CFD＝ πr2＝ π×62＝18π，S△CDF＝ ×12×6＝36， ∵点 F 是半圆的中点、M 是 CD 的中点，故 MF 垂直 CD，所以 AD∥MF， 又∵△ADF、△ADM 的底相同，高相等，∴S△ADF＝S△ADM＝ ×12×6＝36． 同理，S△CEF＝ ×6×6＝18，∴S 阴影部分＝S△ADF＋S△CEF＋S 半圆 CFD－S△CDF＝18π＋18． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 25 【知识点】阴影部分面积，三角形面积、圆的面积、转化思想 7. （2018 山东烟台，9，3 分）对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点 O 折 叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕．若 B′M=1，则 CN 的长为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】（法一，排除法）连接 AC，BD，∵菱形 ABCD，AC=6，BD=8，∴CO=3，DO=4，CO⊥DO，∴CD=5，而 CNCD，AD=AB+CD． （1）利用尺规作∠ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE(保留作图痕迹，不写作法)； （2）在（1）的条件下， ①证明：AE⊥DE； ②若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值． FCAE∥ FCAE∥72 【思路分析】（1）利用基本作图“作已知角的角平分线”，按照题目的作图语句作图；（2）①延长DE、AB 相交 于点 F，由“角平分线、平行线”可以得出“等腰三角形 ADF”，再结合“AD＝AB＋CD”，利用全等证得DE＝EF， 然后由“等腰三角形三线合一”证得AE⊥DE；②利用轴对称转化 BM＋MN，再利用垂线段最短分析得出 B N′即为 所求，利用相似三角形求出 BN′的长． 【解析】（1）如图所示： （2）如下图，延长 DE、AB 相交于点 F． ∵∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABC＋∠C＝180°．∴AB∥CD．∴∠CDE＝∠F．∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE．∴∠ ADE＝∠F．∴AD＝AF＝AB＋BF．又 AD＝AB＋CD．∴AB＋BF＝AB＋CD．∴BF ＝CD． 在△ＣED 和△BFE 中， ，∴△CED≌△BFE．∴DE＝EF．又 AD＝AF，∴AE⊥DE； ②如图，作 DH 垂直 AB 于 H，作点 N 关于 AE 的对称点 N′，则 MN＝M N′．∴BM＋MN＝BM＋M N′．由①可得 AD＝ AF，DE＝EF．∴AE 平分∠DAB． ∴点 N′在 AD 上．∴当点 B，M，N′共线且 B N′⊥AD 时 BM＋M N′有最小值， 即 BM ＋MN 有最小值．在 Rt △ADH 中，AD ＝AB ＋CD ＝6 ， AH ＝AB －BH ＝2 ，有勾股定理可得， DH ＝ ．∵∠DHA＝∠BN′A＝90°，∠DAH＝∠DAH，∴△DAH∽△BAN′．∴ ．∴ D A B C E D BA C E D BA C F = DEC FEB CDE F CD BF =   = ∠ ∠ ∠ ∠ 2 2 32 4 2AD AP− = = ' =BN AB DH AD73 ．∴B N′＝ ． 【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；作图—基本作图；轴对称的应用-最短距离问题；相 似三角形的判定与性质 6.（2018 贵州遵义，24 题，10 分）如图正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AEAD，四个角的平分线 AE，DE，BF，CF 的交点分别 是 E，F，过点 E，F 分别作 DC 与 AB 间的垂线 MM’与 NN’，在 DC 与 AB 上的垂足分别是 M，N 与 M’，N’，连接 EF。 （1）求证：四边形 EFNM 是矩形； （2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求 EF 的长。 第 25 题图 【思路分析】（1）先证四边形 MNN’M’是平行四边形，然后根据角平分线的性质，得到 ME=NF，进而得到矩形； （2）由两个角平分线得到 AE⊥DE，在 Rt△ADE 中，得到三边和高 EP 的长度，由△APE∽△EPD∽△AED，△DEP≌△ DEM，△AEP≌△AEM’可得，DM、AM’长度，由中心对称性得到 CN=AM’，从而得到 MN 的长度，即为 EF 长度 【解题过程】（1）因为 MM’与 NN’是 DC 与 AB 间的垂线，所以∠M’MN=∠N’NC=90°，所以 MM’∥NN’，又因 为 ABCD 中 MN∥M’N’，所以四边形 MNN’M’是平行四边形，MM’=NN’，过 E、F 作 EP⊥AD 于 P，FQ⊥BC 于 Q， 因为 E，F 是四个角的平分线 AE，DE，BF，CF 的交点，所以 EM=EP=EM’，FN=FQ=FN’，所以 ME=FN，因为 ME∥FN， 2 2  92 所以四边形 MEFN 是平行四边形，因为∠N’NC=90°，所以 MEFN 是矩形； 第 25 题解图 （2）因为 MEFN 是矩形，所以 MN=EF，因为平行四边形的对称性，可得 AM’=CN，因为 DE、AE 平分∠ADC、∠ DAB，∠3= ∠ADC，∠2= ∠DAB，∠ADC+∠DAB=180°所以∠3+∠2=90°，所以∠AED=90°，所以在 Rt△ADE 中，AE=4，DE=3，AD=5，PE=2.4，易证△APE∽△EPD∽△AED，得 ，则 PD=1.8，AP=3.2，易证△ DEP≌△DEM，△AEP≌△AEM’，所以 DM=DP=1.8，CN=AM’=AP=3.2，因为 DC=9，所以 MN=2，所以 EF=MN=2 【知识点】平行四边形，角平分线，矩形，勾股定理 20. （2018 山东省泰安市，12，11）如图， 中， 是 上一点， 于点 ， 是 的 中点， 于点 ，与 交于点 ，若 ， 平分 ，连接 ， . （1）求证： ； （2）小亮同学经过探究发现： .请你帮助小亮同学证明这一结论. （3）若 ，判定四边形 是否为菱形，并说明理由. 【思路分析】（1）利用等腰三角形性质和角平分线定义推出∠CAG=∠FGA，从而推出 AC∥FG;结合垂直条件，推 出 DE∥BC，从而推得 ，得到∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED； 再由点 F 是中点，推出 FG 时线段 ED 的中垂线，推出 GE=GD，从而推出∠CGE=∠GDE；得到 . （2）由 推出∠ADE=30°，推出 ，结合（1）知： ，得到 是菱形. 【解题过程】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 1 分   1 2 1 2 = =AP PE AE PE PD ED ABC∆ D AB DE AC⊥ E F AD FG BC⊥ G DE H FG AF= AG CAB∠ GE GD ECG GHD∆ ≅ ∆ AD AC EC= + 30B∠ =  AEGF AC BC⊥ ECG GHD∆ ≅ ∆ 30B∠ =  AE AF FG= = / /AE FG AEGF AF FG= FAG FGA∠ = ∠ AG CAB∠ CAG FAG∠ = ∠ CAG FGA∠ = ∠ / /AC FG93 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 3 分 ∵ 是 的中点， ， ∴ 是 的中点， ∴ 是线段 的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ . 5 分 （2）证明：过点 作 于点 ， ∴ ，∴ ， ∴ . 7 分 由（1）得 ， ∴ ， ∴ ， 8 分 ∴ . 9 分 （3）四边形 是菱形，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 10 分 由（1）得 ， ∴四边形 是菱形. 11 分 【知识点】平行线的性质及判定；等腰三角形及直角三角形的性质；线段垂直平分线；三角形全等的判定，菱形 的判定. DE AC⊥ FG DE⊥ FG BC⊥ / /DE BC AC BC⊥ 90C DHG∠ = ∠ =  CGE GED∠ = ∠ F AD / /FG AE H ED FG ED GE GD= GDE GED∠ = ∠ CGE GDE∠ = ∠ ECG GHD∆ ≅ ∆ G GP AB⊥ P GC GP= CAG PAG∆ ≅ ∆ AC AP= EG DG= Rt ECG Rt GPD∆ ≅ ∆ EC PD= AD AP PD AC EC= + = + AEGF 30B∠ =  30ADE∠ =  1 2AE AD= AE AF FG= = / /AE FG AEGF94 21. （2018 陕西，17，5 分）如图，已知：在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一定点，连接 AM．请用尺规作图法， 在 AM 上求作一点 P，使△DPA∽△ABM．(不写作法，保留作图痕迹) 【思路分析】过点 D 作线段 AM 的垂线，垂足为点 P，则点 P 即为所求的点． 【解题过程】如图所示，AM 与 DG 的交点即为满足条件的点 P． 作法如下（题目不要求写作法，以下步骤可省略）： ①以点 D 为圆心，以任意长为半径画弧交 AM 于 E、F 两点， ②分别以 E、F 为圆心，以大于 EF 为半径画弧，两弧交于点 G， ③作直线 DG 交 AM 于点 P，则点 P 即为所求点． 【知识点】尺规作图 1 2