2018年中考数学试题分类汇编知识点33圆的基本性质.doc

1 知识点 33 圆的基本性质 一、选择题 1. （2018 浙江衢州，第 5 题，3 分）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB=35°，则∠AOB 的度数是（ ） 第 5 题图 A．75° B．70° C．65° D．35° 【答案】B 【解析】本题考查了圆周角定理等知识，解题的关键是明确圆周角定理．∵∠AOB 与∠ACB 所对的弧相等，∠AOB 是圆心角，∠ACB 是圆周角，故得到∠AOB=70°，故选 B. 【知识点】圆周角定理 2. （2018 浙江衢州，第 10 题，3 分）如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（ ） A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm 【答案】D 【解析】本题考查了垂径定理、中位线定理、勾股定理等知识. 连接 AB，因为 AC 为直径，AC⊥BD，故 BE=ED， 又因为 OF⊥BC，根据垂径定理可知 BF=CF，故可得知 OF 为△ABC 的中位线，从而得到 OF=0.5AB，易得 BE=4,利 6 52 用勾股定理得到 AB 的值，故解得。连接 AB，因为 AC 为直径，故∠ABC 为直角， 又∵AC⊥BD，∴BE=ED=8÷2=4，∵AE=2，根据勾股定理可得：AB= 又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知 BF=CF， 故可得知 OF 为△ABC 的中位线， ∴OF= AB= 故选 D。 第 10 题图 【知识点】垂径定理、中位线定理、勾股定理； 3. （2018 甘肃白银，9，3） 如图，⊙A 过点 O(0,0), ,D(0,1),点 B 是 轴下方⊙A 上的一点，连接 BO,BD,则∠OBD 的度数是（ ） A.15°，B.30° C.45° D.60° 【答案】B 【思路分析】由∠DOC=90°，于是想到连接 DC 由题意知 DO=1,OC= ,所以算出直径 DC=2,由此得∠DCO=30°， 所以∠OBD=∠OCD=30°。 【解题过程】连接 DC. ∵在⊙A 中，∠DOC=90°， ∴DC 过圆心 A,即 DC 是⊙A 的直径。 2 5 1 2 5 3 0( , )C x 33 ∵ ,D(0,1） ∴DO=1,CO= ∴在 RT△DOC 中，CD= ∴∠DCO=30°。 ∴∠OBD=∠DCO=30°。 故选 B 【知识点】90°的圆周角所对的弦是直径；一条直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角是 30°；同弧所 对的圆周角相等。 4. （2018 山东聊城，7，3 分）如图， 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB、OC.若∠A=60°，∠ADC=85 °，则∠C 的度数是（ ） A.25° B.27.5° C.30° D.35° 【答案】C 【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°， ∴∠B=∠ADC-∠A=85°-60°=25°， ∴∠O=2∠B=2×25°=50°， ∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=30°， 【知识点】三角形内外角的关系、圆周角定理、 3 0( , )C 3 2 2 2CO DO+ = O4 5. （2018 年山东省枣庄市，8，3 分）如图， 是⊙ 的直径，弦 交 于点 ， ， ，则 的长为（ ） A． B． C． D．8 【答案】C 【思路分析】过 O 作 OE⊥CD 于 E，连接 OD，在 Rt△OEP 中，由∠OPE=30°，OP=2 计算 OE 的长；在 Rt△OCE 中， 由 OC 和 OE 的长利用勾股定理计算 CE 的长；最后得出 CD=2CE 即可. 【解题过程】过 O 点作 OE⊥CD 于 E， ∵ ，∴AB=8, ∴OA=OB=4, ∴OP=2, ∵ ∴OE= OP=1. 在 Rt△OCE 中，CE= ∵OE⊥CD，O 是圆心， ∴CD=2CE= . 故选 C. AB O CD AB P 6,2 == BPAP 030=∠APC CD 15 52 152 P OA B D C E 6,2 == BPAP 030=∠APC 1 2 2 2 15OC OE+ = 2 155 【知识点】 垂径定理；勾股定理 6.（2018 四川省南充市，第 5 题，3 分）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC=32°，则∠B 的度 数是（ ） A．58° B．60° C．64° D．68° 【答案】A 【解析】解：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB=90°，∵OA=OC，∠OAC=32°，∴∠C=∠OAC=32°，∴∠B=90° － 32°=58°，故选 A. 【知识点】直径所对圆周角是直角；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余 7. （2018 江苏省盐城市，7，3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB 的度数为 （ ）． A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝35°，∴∠CAB＝65°．故选 C. 【知识点】圆的基本性质 BOA C D6 8. （2018 山东省济宁市，4，3）如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是 ( ) A.50° B.60° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】先找出圆周角∠BCD 所对的优弧度数为 260°，再结合图形确定劣弧 BD 的度数为 100°，从而根据圆心 角∠BOD 与劣弧 BD 的度数之间的相等关系，即∠BOD 的度数是 100°，因此，本题应该选 D. 【知识点】圆周角 圆心角 9.(2018 山东青岛中考，5，3 分)如图，点 在⊙O 上， ，点 是 的中点，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接 OB，∵ ，点 是 的中点，∴∠AOB= ∠AOC=70°．∵∠AOB 是 所对的圆心 角，∠D 是 所对的圆周角，∴∠D= ∠AOB=35°．故选 D． D O B C A B C D、 、 、 140AOC∠ = ° B AC D∠ 70° 55° 35.5° 35° 140AOC∠ = ° B AC 1 2 AB AB 1 27 【知识点】弧、弦、圆心角的关系；圆周角定理 10. （2018 山东威海，10，3 分）如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为 的中点，若∠ABC＝30°，则弦 AB 的长为( ) A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接 OA、OC，OC 交 AB 于点 M．根据垂径定理可知 OC 垂直平分 AB，因为∠ABC＝30°，故∠AOC ＝60°，在 Rt△AOM 中，sin60°＝ ，故 AM＝ ，即 AB＝ ．故选 D． 【知识点】垂径定理、锐角三角函数 1. (2018 山东菏泽，6，3 分)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是（ ） AB C B A O 1 2 5 3 2 5 3 AM AM 3= =OA 3 2 2 35 358 A．64° B．58° C．32° D．26° 【答案】D 【解析】∵OC⊥AB，∴ = ．∠ADC 是 所对的圆周角，∠BOC 是 所对的圆心角，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠ OBA=90°－∠BOC=90°－64°=26°．故选 D． 【知识点】垂径定理；圆周角定理及推论； 2. （2018 四川遂宁，8，4 分） 如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，若 AB=2 ， CD=1，则 BE 的长是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B. 【解析】解：设⊙O 的半径为 r，则 OA=OE=OC=r， ∵OC⊥AB， ∴AD= AB= . ∵CD=1， ∴OD=r-1， AC BC AC BC 7 2 1 79 ∴OD2+AD2=OA2， ∴(r-1)2+( )2=r2, ∴r=4， ∴OD=3. ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AB⊥BE， ∴OD∥BE， ∴BE=2OD=6. 故选 B. 【知识点】垂径定理，勾股定理 3. （2018 广东广州，7，3 分）如图， AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若∠ABC＝ 20°，则∠AOB 的度数是（ ） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】因为∠AOC＝2∠ABC＝2×20°=40°，而 OC⊥AB，所以AC=BC，从而有∠AOB＝2∠AOC＝2×40°=80°； 故答案为 D． 【知识点】垂径定理；圆周角定理 4. （2018 贵州遵义，12 题，3 分）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接 AC、BD， 以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E，若 DE=3，则 AD 的长为 710 A.5 B.4 C. D. 第 12 题图 【答案】D 【解析】连接 BE，因为∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠ACB，所以∠DBE=∠ACB，因为 BD 是直径，所以∠BED=90°，∠DAB=90 °，因为 AD∥BC，所以∠ABC=180°-∠DAB=90°，所以∠BED=∠ABC，△BED∽△CBA，所以 ，得到 BE=6，Rt△BED 中，可得 BD= ，在 Rt△ADB 中，可得 AD= ，故选 D 【知识点】圆的对称性，圆周角定理，相似三角形 5. （2018 江苏淮安，8，3） 如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°,则∠B 的度数是 A. 70° B. 80° C. 110° D. 140° 3 5 2 5 DE EB AB BC = 3 5 2 511 【答案】C 【解析】分析：本题考查圆周角定理，由 ∠AOC=140°可得优角∠AOC 的度数，再由圆周角定理可得结果. 解：由∠AOC=140°可得优角∠AOC=220° 由圆周角定理可得 故选：C． 【知识点】圆周角定理；圆周角性质 6.（2018 福建 A 卷，9，4）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若∠ACB=50°，则∠ BOD 等于 ( ) A．40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ ABC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°. 【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理 7.（2018 福建 B 卷，9，4）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若∠ACB=50°，则∠ BOD 等于 ( ) A．40° B. 50° C. 60° D. 80° 1 1102B AOC∠ = ∠ = °12 【答案】D 【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ ABC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°. 【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理 8. （2018 贵州安顺，T9，F3）已知 O 的直径 CD= 10cm，AB 是 O 的弦，AB 丄 CD,垂足为 M, 且 AB = 8cm,则 AC 的长为（ ） A. cm B. cm C. cm 或 cm D. cm 或 cm 【答案】C 【解析】由题可知，直径 CD=10cm，AB 丄 CD, AB = 8cm,当点 M 在线段 OC 上时，OA=OC=5cm，AM=4cm.∵OA²=AM² +OM²，∴OM=3cm，即 CM=OC-OM=2cm.由勾股定理，得 AC²=AM²+CM²= cm. 当点 M 在线段 OD 上时，CM=OC+CM=8cm. 由勾股定理，得 AC²=AM²+CM²= cm.故 AC 的长为 cm 或 cm. 【知识点】垂径定理，勾股定理. 9.（2018 四川雅安，12 题，3 分）如图，AB、CE 是圆 O 的直径，且 AB=4， ，点 M 是 AB 上一动 点，下列结论：①∠CED= ∠BOD；②DM⊥CE；③CM+DM 的最小值为 4；④设 OM 为 x，则 S△OMC= x，上述结论 中，正确的个数是 第 12 题图 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】①∠CED= ∠COD，因为 ，所以∠COD=∠BOD，所以∠CED= ∠BOD，正确；②M 是直径 AB 上 一动点，而 CE 确定，因此 DM⊥CE 不一定成立，错误；③因为 DE⊥AB，所以 D 和 E 关于 AB 对称，因此 CM+DM 的 最 小 值 在 M 和 O 重 合 时 取 到 ， 即 CE 的 长 ， 因 为 AB=4 ， 所 以 CE=AB=4 ， ③ 正 确 ； ④ 连 接 AC ， 因 为 ，所以∠COA=60°，则△AOC 为等边三角形，边长为 2，过 C 作 CN⊥AO 于 N，则 CN= ，△COM   2 5 4 5 2 5 4 5 2 3 4 3 2 5 4 5 2 5 4 5   BD DC CA= = 1 2 3 1 2  BD DC= 1 2   BD DC CA= = 313 中，以 OM 为底，OM 边上的高为 CN，所以 ，故④错误。综上，共 2 个正确，选 B。 第 12 题解图 【知识点】圆的对称性，圆周角定理，最小值问题，等边三角形，三角形面积 10. （2018 武汉市，10，3 分）如图，在⊙O 中，点 C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC⌒ 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D．若⊙ O 的半径为 ，AB＝4，则 BC 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路分析】连接 OD，过 C 作 CE⊥AB 于 E，过 O 作 OF⊥CE 于 F，四边形 OFED 为正方形；连接 AC、DC，由折叠 及圆内接四边形的性质可得 CA=CD，可求得 ED=1，再求出 CE 的长，可求得 BC 的长. 【解题过程】连接AC、DC、OD，过 C 作 CE⊥AB 于 E，过 O 作 OF⊥CE 于 F，∵ 沿 BC 折叠，∴∠CDB=∠H，∵∠ H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA，∴CA=CD，∵CE⊥AD，∴AE=ED=1，∵ ，AD=2，∴ OD=1，∵OD⊥AB，∴OFED 为正方形，∴OF=1， ，∴CF=2，CE=3，∴ . COM 3= x2S△ 5 32 23 2 35 2 65 BC 5OA = 5OC = 3 2CB =14 第 10 题答图 【知识点】轴对称的性质 圆内接四边形的性质 正方形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 勾股定理 11. （2018 四川自贡，9，4 分）如图，若⊿ 内接于半径为 的⊙ ,且 ,连接 ，则 边 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，延长 CO 交⊙ 于点 D，连接 BD， ∵ ，∴ .∵CD 是直径，∴ . 在 Rt△BCD 中， ，∴ ，故选择 D. O H F E D C BA ABC R O A 60∠ =  OB OC、 BC 2R 3 R2 2 R2 3R O B C A O 60=∠A 60=∠=∠ AD 90=∠CBD 2 360sin2sin ====∠  R BC CD BCD RBC 3=15 【知识点】圆周角定理，解直角三角形 12. （2018 湖北省襄阳市，10，3 分）如图，点 A、B、C、D 都在半径为 2 的⊙O 上，若 OA⊥BC，∠CDA=30°， 则弦 BC 的长为(▲) A.4 B. C. D. 【答案】 【解析】解：AO 与 BC 交于点 E， ∵OA⊥BC，OA 为半径， ∴弧 AC=弧 AB，CE=BE， ∴∠AOB=2∠ADC=60°， 在 Rt△BOE 中，∵∠BOE=60°， ∴BE=OB·sin60°= ， ∴BC=2BE= . 故选 D. 22 3 32 3 3216 【知识点】垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数 13. （2018 湖南张家界，6，3 分）如图, 是⊙ 的直径,弦 ⊥ 于点 , ,则 ( ) 【答案】A 【解析】解：∵弦 ⊥ 于点 ， ， ∴ ∴AE=OA+OE=5+3=8cm. 【知识点】垂径定理，勾股定理 14. （2018 山东省泰安市，12，3）如图， 的半径为 2，圆心 的坐标为 ，点 是 上的任意一 点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则 的最小值为 （ ） A．3 B．4 C．6 D．8 AB O CD AB E cmCDcmOC 8,5 == =AE A cm8 B cm5 C cm3 D cm2 CD AB E cmCD 8= 2 2 2 2 1 4cm.2 =5cm Rt = 5 4 3cm. CE CD OC COE OE OC CE = = − = − =又∵ ，∴在 △ 中， M M (3,4) P M PA PB⊥ PA PB x A B A B O AB （6 题图）17 【答案】C 【思路分析】 是 Rt 的斜边，连接 OP，则 OP 是 Rt 斜边的中线，求 的最小值的问题就转化 为求 OP 最小值的问题，连接 OM 交 于点 P，此时 OP 取得最小值. 【解题过程】解;连接 MO，交 于点 P，则点 P 就是所求的点，过点 P 作 过点 M 作 ， ∵ 的坐标为 ∴ ∴由勾股定理得; 又∵ 又∵OP 是 Rt 的中线 ∴ 【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短 15. （2018 陕西，9，3 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作 CD∥AB，并与⊙O 相交 于点 D，连接 BD，则∠DBC 的大小为（ ） AB PAB∆ PAB∆ AB M M MN AB N⊥ 于 M (3,4) 3, 4ON MN= = 5,OM = 2, 3PM OP= ∴ = PAB∆ 6.AB =18 A．15° B．35° C．25° D．45° 【答案】A 【思路分析】先求出∠ABC 和∠A 的度数，然后根据圆周角和平行线的性质求出∠ABD 的度数，即可求出∠DBC 的 度数． 【解题过程】∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=65°． ∴∠A=180°－65°×2=50°． ∴∠D=∠A＝50°． ∵CD∥AB, ∴∠ABD=∠D=50°． ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°．故选择 A． 【知识点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质 二、填空题 1. （2018 江苏无锡，16，3 分）如图，点 A、B、C 都在 上，OC⊥OB，点 A 在劣弧 上，且 OA=AB，则∠ ABC= . 【答案】15° 【思路分析】利用圆的半径相等，OC⊥OB，OA=AB，可以证明△OBC 是等腰直角三角形、△ABO 是等边三角形，进 O BC19 而利用特殊三角形的性质求得结论. 【解题过程】∵OC⊥OB，OB=OC， ∴∠CBO=45°. ∵OB=OA=AB， ∴∠ABO=60°. ∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°. 【知识点】圆的基本性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质 2. （2018 四川省达州市，16，3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，点 D 是 BC 边上一点且 CD＝ 1，点 P 是线段 DB 上一动 ，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt△AOP.当点 P 从点 D 出发运动至点 B 停 止时，点 O 的运动路径长为___________． 第 16 题图 【答案】2 【解析】如图，以 AC 为斜边在 AC 的右下方作等腰 Rt△AEC,以 AD 为斜边在 AD 的右下方作等腰 Rt△AMD，以 AB 为斜边在 AB 的下方作等腰 Rt△ANB，连接 NM 并延长，则点 E、点 C 在 NM 的延长线上. ∵∠C＝90°，∠ANB＝90°， ∴A、C、B、N 四点共圆. O D BA C P 2 N M O D BA C P E N M O D BA C P20 ∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC． ∴ ＝ ． 在等腰 Rt△AEC 中，AC＝2，∴AE＝ ． ∵ ＝ ，∴NE＝ ． 当点 P 与点 C 重合时，点 O 的位于点 E 的位置．当点 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的从点 M 出发运动至 点 N．∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴MN＝2 ． 【知识点】圆的基本性质；四点共圆；相似三角形的判定与性质，比例的性质 3. （2018 浙江绍兴，14，3 分） 等腰三角形 中，顶角 为 ，点 在以 为圆心， 长为半径的圆 上，且 ，则 的度数为 ． 【答案】 或 【解析】 （1）如下图：BP=BA=AC，AP=BC， ∴四边形 APBC 为平行四边形， ∴∠BAC=∠ABP=40°∠ABC=∠ACB=70° ∴∠PBC=∠ABP＋ABC=70°+40°=110° 第 14 题(1)答图 NE BC AE AC 2 5 NE 2 2 5 2 2 DB BC 4 5 MN NE 4 5 2 ABC A 40 P A BC BP BA= PBC∠ 30 11021 (2) 由 AP=BC，BP=AC，AB=AB; ∴△BAP∽△ABC，∠PBA=∠BAC=40°; ∴∠PBC=∠ABC－∠ABP=70°－40°=30° 第 14 题(2)答图 【知识点】圆的相关定义、平形四边形的判定和性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。 4. （2018 湖南长沙，18 题，3 分）如图，点 A，B，D 在圆 O 上，∠A=20°，BC 是圆 O 的切线，B 为切点，OD 的 延长线交 BC 于点 C，则∠OCB=______度。 第 18 题图 【答案】50° 【解析】∠A=20°，由圆周角定理，∠O=2∠A=40°，因为 BC 与圆 O 相切，所以 OB⊥BC，∠OBC=90°，所以 Rt△ OBC 中，∠OCB=90°-∠O=50° 【知识点】圆周角定理，切线性质，直角三角形22 5. （2018 山东临沂，18，3 分）如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片 的直径是 cm． 第 18 题图 【答案】 【解析】能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC 外接圆⊙O，连接 OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=120 °，过点 D 作 OD⊥BC 于点 D，∴∠BOD= ∠BOC=60°，由垂径定理得 BD= BC= cm，∴OB= ，∴能 够将△ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 . 【知识点】垂径定理 三角函数 三角形外接圆 6.（2018 山东烟台，16，3 分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点 （两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为 . CB A 3 310 2 1 2 1 2 5 3 35 2 3 2 5 600 == sin BD 3 31023 【答案】（－1，－2） 【解析】如图，连接 AB，BC，分别作 AB 和 BC 的中垂线，交于 G 点．由图知，点 G 的坐标为（－1，－2）． 【知识点】垂径定理 7. （2018 四川省宜宾市，15，3 分）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G，若 EF AE = 3 4,则 CG GB = . 【答案】 【解析】如图： 连接 OD 、AD 、BC ，则∠ADB= ∠ACB=90 °，OD ⊥AC ，∵DE ⊥AB ，∴∠FAE= ∠FDG, ∴△AFE ∽△DOE, 设 F G E D C OA B 5 524 OD=y,EF=3x,AE=4x, 则 AF=5x, ∵△AFE ∽△DOE, ∴ , 即 ，∴y=10x, ∴OE=6x ，DE=8x, ∵ EF=3x ，∴DF=AF=5x ，∴∠DAF= ∠ADF ，∵ CG GB=sin ∠CBG ，∠CBG= ∠DAF ，∴sin ∠CBG=sin ∠DAF=sin ∠ADF= . 【知识点】相似三角形的性质和判定；勾股定理；解直角三角形 8. （2018 浙江杭州，14，4 分） 如图，AB 是 O 的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE⊥AB，交 O 于 点 D，E 两点，过点 D 作直径 DF，连接 AF，则∠DFA=___________. 【答案】30° 【解析】 【知识点】垂径定理，圆的角度计算 1. （2018 湖北鄂州，16，3 分） 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为射线 CD 上一动点（不与 C 重合），以 CE 为边向正方形 ABCD 外作正方形 CEFG， 连接 DG，直线 BE、DG 相交于点 P，连接 AP，当线段 AP 的长为整数时，则 AP 的长为 ． 【答案】2 或 1． OD OE AF EF = 4 5 3 y y x x x −= 2 2 4 5 516 64 AE x AD x x = = +   F C E D BA 0 01= = 60 = =302AB DE C OA OC AC DO DOC DBA DFA⊥ ∴ ∴∠ = ∴∠ ∠ ，且 为 中点，25 【思路分析】先利用SAS 定理证明△BCE≌△DCG，从而证得 BP⊥DG，再由圆周角定理的逆定理证得 A、B、C、D、P 五点共圆，得到 AP＜BD＝ 即可． 【解析】解：∵四边形 ABCD 和 CEFG 是正方形，∴∠BCE＝∠DCG＝90°，BC＝CD，CE＝CG，则在△BCE 和△DCG 中，∵ ，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠PBG＝∠DCG，又∵∠DCG＋∠DGC＝90°，∴∠PBG＋∠BGP ＝90°，即∠BPG＝90°，即 BP⊥DG，∴、B、C、D、P 五点共圆，则 BD 是圆的直径，故弦 AP＜BD，又∵BD＝ ，∴AP＜ ，∴当线段 AP 的长为整数时，则 AP 的长为 2 或 1． 【知识点】五点同圆；圆周角定理的逆定理；勾股定理；圆的性质；全等三角形的判定定理 2. （2018 湖北黄冈，11 题，3 分）如图，△ABC 内接于 O，AB 为 O 的直径，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB， 若 AD=6，则 AC=________ 第 11 题图 【答案】 【解析】连接 BD，∠CAB=60°，弦 AD 平分∠CAB，所以∠DAB=30°，∠ABC=30°，因为 AB 是 O 的直径，所以∠ C= ∠ D=90 ° ， 所 以 ， 因 为 ∠ C=90 ° ， ∠ CAB=60 ° ， 所 以 ∠ ABC=30 ° ， 所 以 2 2 BCE DCG BC CD CE CG = ∠ ∠ =    ＝ 2 22 2 2 2+ = 2 2   2 3  4 3cos30 ADAB = =  sin30 2 3AC AB= ⋅ =26 第 11 题解图 【知识点】圆周角定理的推论，直角三角形性质，三角函数 3. （2018 内蒙古呼和浩特，16，3 分）如图，已知正方形 ABCD，点 M 是边 BA 延长线上的动点（不与点 A 重合） 且 AM