第3课时 二次函数y＝a(x－h)2
的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象的关系
1．把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，所得的抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
2．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则下列平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
3．下列关于抛物线y＝2(x－1)2与y＝2x2的说法，错误的是( )
A．形状相同 B．开口方向相同
C．顶点相同 D．对称轴不同
4．抛物线y＝(x＋3)2向________平移________个单位后得到抛物线y＝x2.
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
5．函数y＝－3(x＋1)2，当x________时，y随x的增大而减小；当x＝________时，函数取得最________值，最________值为________．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝3(x－2)2的图象可能是( )
图1－2－4
7．下列抛物线中，对称轴为直线x＝的是( )
A．y＝x2 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝
8．关于二次函数y＝(x＋2)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．最低点是(2，0)
C．对称轴是直线x＝2
D．对称轴右侧的部分是上升的
9．在函数y＝2(x＋1)2中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( )
A．x＞－1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＜1
10．画出函数y＝－4(x－5)2的图象，并指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
11．已知二次函数y＝2(x－1)2.
(1)当x＝2时，函数值y是多少？
(2)当y＝4时，x的值是多少？
(3)当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐增大？当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐减小？
(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？
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12．若点M(－3，a)，N(－1，b)均在函数y＝－3(x－1)2的图象上，则( )
A．ab
D．a与b的大小关系不确定
13．二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点位置( )
A．只与a有关 B．只与h有关
C．与a，h有关 D．与a，h无关
14．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两个点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“”或“＝”)．
15．写出一个对称轴是直线x＝－3，且开口向下的抛物线所表示的二次函数的表达式_____________________________________________．
16．已知抛物线y＝(x－h)2，当x＝2时，y有最小值．
(1)写出该抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在该抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小．
17．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线表示的二次函数的表达式是什么？
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18．将二次函数y＝2x2的图象(如图1－2－5①)向右平移1个单位，所得的二次函数的图象的顶点为D(如图1－2－5②)，并与y轴交于点A.
(1)写出平移后的二次函数图象的对称轴与点A的坐标．
(2)设平移后的二次函数图象的对称轴与函数y＝2x2的图象的交点为B，试判断四边形OABD是哪种特殊的四边形，并证明你的结论．
(3)能否在函数y＝2x2的图象上找到一点P，使△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由．
图1－2－5
教师详解详析
1．D [解析] 把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，得到的抛物线表示的函数的表达式为y＝3(x＋1)2.故选D.
2．A [解析] 将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程是向左平移2个单位．故选A.
3．C 4.右 3 5.>－1 －1 大 大 0
6．D [解析] 二次函数y＝3(x－2)2的图象的顶点坐标为(2，0)，它的顶点坐标在x轴右半轴上．故选D.
7．D [解析] 已知对称轴为直线x＝，表明在抛物线y＝a(x－h)2中，h＝，在四个选项中只有抛物线y＝符合．故选D.
8．D [解析] 二次函数y＝(x＋2)2的图象在对称轴右侧的部分是上升的．
9．C [解析] 函数y＝2(x＋1)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故选C.
10．解：图略．图象的开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为(5，0)．
11．解：(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.
(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1±.
(3)当x>1时，y值随着x值的增大逐渐增大；
当x [解析] 因为函数的二次项系数为－1，小于0，对称轴为直线x＝1，所以在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”．
15．答案不唯一，如y＝－2(x＋3)2
16．解：(1)∵函数y＝(x－h)2在x＝2处取得最小值，
∴该抛物线的顶点坐标为(2，0)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x－2)2.
(2)由题意，知函数y＝(x－2)2有最小值，图象开口向上，函数的增减性为“左降右升”．
∵－100y2＝y3.
17．解：(1)∵所求抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同，∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2.
∵所求抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，∴a＝3.
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x＋2)2.
(2)点(－2，0)向右平移4个单位后得点(2，0)，故平移后的抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x－2)2.
18．解：(1)平移后的二次函数图象的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为(0，2)．
(2)四边形OABD是矩形．
证明：把x＝1代入y＝2x2，得y＝2，
∴点B的坐标为(1，2)．
根据题意，得平移后的二次函数的图象表示的函数表达式为y＝2(x－1)2，
∴顶点D的坐标为(1，0)，
∴OA＝DB＝2，OA∥BD，
∴四边形OABD是平行四边形．
又∵∠AOD＝90°，∴▱OABD是矩形．
(3)能．①当∠DBP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠DBA＝90°，
即点P在直线AB上，直线AB表示的一次函数的表达式为y＝2.
把y＝2代入y＝2x2，得x＝±1(正值舍去)．
∴点P的坐标为(－1，2)．
②当∠BDP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠BDO＝90°，即点P在x轴上．
又∵点P在函数y＝2x2的图象上，
∴点P与点O重合，即点P的坐标为(0，0)．
综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(0，0)．
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