27．2.2 相似三角形的性质
关键问答
①怎样识别对应中线？
②△RPQ与△ABC的相似比是多少？
③相似三角形周长的比与对应角平分线的比之间有什么关系？
1．①已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. B. C. D.
2．2018·内江已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
3．②如图27－2－51，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
图27－2－51
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
4．③如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为________．
9
命题点 1 利用相似三角形的性质求线段长(或比) [热度：89%]
5.④已知：如图27－2－52，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )
图27－2－52
A. B. C. D.
解题突破
④利用相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比来解决.
6．已知△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，若得到与△OAB形状相同的△OA′B′，已知点A′的坐标为(6，12)，那么点B′的坐标可能为( )
A．(4，0) B．(2，0) C．(16，0) D．(12，0)
7.⑤如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边长之比为3∶4∶6，△DEF的最长边长是10 cm，那么△DEF的最短边长是________ cm.
方法点拨
⑤两个相似三角形中，最长边之比与最短边之比都等于相似比.
8.如图27－2－53，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k＞1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a＞b＞c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；
⑥(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．
图27－2－53
方法点拨
⑥对于存在性问题，总是先假设存在，然后由已知条件和所学知识进行推导，如果推出矛盾，那么假设不成立.
9
命题点 2 利用相似三角形的性质求周长或面积 [热度：89%]
9．两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是( )
A．75 cm，115 cm B．60 cm，100 cm
C．85 cm，125 cm D．45 cm，85 cm
10．如图27－2－54，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为( )
图27－2－54
A．3 B．5 C．6 D．8
11.⑦如图27－2－55，在正方形网格中有△A1B1C1和△A2B2C2，若两个三角形的顶点均在网格的格点上，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为( )
图27－2－55
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4
方法点拨
⑦判定网格图中的两三角形相似，通常利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”或“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理.
12．⑧如图27－2－56，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为( )
图27－2－56
A. B. C. D.
方法点拨
⑧当两个三角形有一边在同一条直线上，且这边所对的顶点是同一点时，这两个三角形同高不同底，它们的面积比等于底边长的比．
13．如图27－2－57，在矩形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点；G，H为AB边的三等分点，I，J为CD边的三等分点．连接AF，CE，AJ，GI，HC.试写出S四边形ANML与S四边形ABCD之间的数量关系，并说明理由．
9
图27－2－57
14.⑨操作：小明准备制作棱长为1 cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：方案一：图形中的圆过点A，B，C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形的两条边重合，斜边经过两个正方形的顶点．纸片利用率＝×100%.
发现：(1)方案一中的点A，B恰好为该圆一直径的两个端点．
你认为小明的这个发现是否正确？请说明理由．
(2)小明通过计算，发现方案一中的纸片利用率仅约为38.2%.
请帮忙计算方案二中的纸片利用率，并写出求解过程．
探究：(3)小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计(方案三)，请直接写出方案三的纸片利用率．(精确到0.1%)
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
图27－2－58
解题突破
⑨借助相似三角形的性质、正方形的相关性质，先求部分线段的长，再求和得到纸板的两条直角边的长，最后求三角形的面积.
9
9
详解详析
1．A
2．D [解析] 已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1∶9.
3．B 4.1∶4
5．D [解析] 由△ABC∽△A′B′C′，可得＝，可求得B′E′＝.
6．D
7．5 [解析] 设△DEF的最短边长为x cm，△ABC的三边长分别为3a cm，4a cm，6a cm，
∵△ABC与△DEF相似，
∴3a∶x＝6a∶10，解得x＝5，
即△DEF的最短边长是5 cm.
8．解：(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k＞1)，∴＝k，∴a＝ka1.
又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)答案不唯一，如取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2，此时＝＝＝2，
∴△ABC∽△A1B1C1，相似比为2且c＝a1.
(3)不存在这样的△ABC和△A1B1C1使得k＝2.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c，∴b＋c＝2c＋c＜4c，4c＝a，
即b＋c＜a，实际应该是b＋c＞a，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1使得k＝2.
9．A [解析] 设小三角形的周长为x cm，则大三角形的周长为(x＋40)cm.
∵这两个相似三角形的对应边的比为15∶23，
∴＝，
解得x＝75.经检验，x＝75是原方程的解且符合题意，则x＋40＝115.
故这两个三角形的周长分别是75 cm，115 cm.
10．D [解析] 由DE∥BC，DB＝2AD，得
△ADE∽△ABC，＝，∴＝.
∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，
∴S四边形DBCE＝S△ABC－S△ADE＝8.故选D.
11．C [解析] 由网格图可得∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°，＝＝2，所以，所以△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为4∶1.
12．D [解析] ∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，
∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4.
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∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝.
∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，
∴S△DOE∶S△AOC＝＝.
13．解：S四边形ANML＝S四边形ABCD.
理由：如图，延长CE交BA的延长线于点T，连接DN，设S△AEN＝a.
∵AT∥CD，
∴∠T＝∠ECD.
∵∠AET＝∠CED，AE＝ED，
∴△AET≌△DEC，∴AT＝CD.
∵AT∥CJ，∴＝＝，
∴＝，可得S△DNJ＝a，
∴S△ADJ＝2a＋a＝a＝S四边形ABCD，
∴S四边形ABCD＝20a，∴S四边形AECF＝10a，
∴S四边形ANML＝(S四边形AECF－2S△AEN)＝(10a－2a)＝4a，
∴S四边形ANML＝S四边形ABCD.
14．解：发现：(1)小明的这个发现正确．
理由：
解法一：如图①，连接AC，BC，AB.
∵AC＝BC＝ cm，AB＝2 cm，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，
∴AB为该圆的直径．
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解法二：如图②，连接AC，BC，AB.
易证△AMC≌△CNB，
∴∠ACM＝∠CBN.
又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，
∴∠BCN＋∠ACM＝90°，
即∠BCA＝90°，
∴AB为该圆的直径．
(2)如图③，∵DE∥FH，
∴∠A′ED＝∠EFH.
又∵∠A′DE＝∠EHF＝90°，DE＝FH，
∴△A′DE≌△EHF(ASA)，
∴A′D＝EH＝1 cm，∴A′C′＝4 cm.
∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′C′B′，
∴＝，即＝，
∴C′B′＝8 cm，
∴S△A′C′B′＝×4×8＝16(cm2)．
∴该方案的纸片利用率＝×100%＝37.5%.
探究：
(3)如图④，过点C1作C1D⊥EF于点D，延长LM交A1B1于点G，过点G作GH∥A1C1，交B1C1于点H，
设A1P＝a.∵PQ∥EK，
易得△A1PQ∽△KQE，△C1EF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴A1P∶A1Q＝QK∶EK＝1∶2，
∴A1Q＝2a，PQ＝a，∴EQ＝5a.
∵EC1∶ED＝QE∶QK，∴EC1＝a，
∴PG＝5a＋a＝a，GL＝a，
∴GH＝a.
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∵＝，
∴＝，
解得GB1＝a，
∴A1B1＝a，A1C1＝a，
∴S△A1B1C1＝A1B1·A1C1＝a2.
∵S展开图＝6×5a2＝30a2，
∴该方案的纸片利用率＝＝×100%≈49.9%.
【关键问答】
①对应边上的中线是对应中线．
②相似比为2.
③相似三角形周长的比与对应角平分线的比相等，都等于相似比．
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