2018年下学期衡阳市八中高二期中考试试题
理科数 学
命题：刘亮生 审题：郭端香
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟．
一、单选题
1．命题“若,则且”的逆否命题是( D )
A． 若,则且B． 若,则或
C． 若且,则D． 若或,则
2已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为( C )
A． B． C． D．
3．下列命题错误的是（B ）
A． 命题“ ，”的否定是“，”;
B． 若是假命题，则，都是假命题
C． 双曲线的焦距为
D． 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且
4．与椭园共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( D ）
A． B． C． D．
5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是( C )
A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．
6．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是（ A）
A． －3 B． －4 C． －6 D．
7．方程表示的曲线是( D )
A． 两条直线 B． 两条射线 C． 两条线段 D． 一条直线和一条射线
8．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ C ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
9．如图，空间四面体的每条边都等于1，点，分别是，的中点，则等于（A ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点，则
的最小值为（B ）
A． B． C． D．
11．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC—A1B1C1 中，D,E 分别为BB1,A1C1 的中点，则异面直线AD,CE 所成角的余弦值为（C）
A． B． C． D． ì
12．为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为（D）
A． B． 2 C． 或 D． 2或3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
D
C
A
D
C
A
B
C
D
二、 填空题
13．已知O为空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，
且,则__________；
【答案】-1
14．有下列几个命题:
①“若,则”的否命题;②“若,则,互为相反数”的逆命题;
③“若,则”的逆否命题;④ “若,则有实根”的逆否命题;
其中真命题的序号是_____.
【答案】②③④
15． 15．已知点在椭圆上，则的最大值为___________；
【答案】4
16． 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点为其右焦点，若,设,且，则椭圆的离心率的取值范围为______________
【答案】
三、解答题
17．已知，已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：“函数在上为单调增函数．若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数 的取值范围．
【答案】或
【试题解析】
若为真命题，则 解得若为真命题，则即,
若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假.
当时，由得 ,当时，由得
综上，实数 的取值范围是或
18．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直.
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)或；(2).
（1）设，则由题可知解得或
所以或.
（2）因为向量与向量共线，所以.
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为.
19．如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.
【答案】（1）.（2）.
（1）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得.∵在圆上，，
即，整理得，即的方程为.
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，将直线方程代入的方程，
得，即.∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段的长度为
.
∴直线被所截线段的长度为.
20．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）证明：因为，，，所以，，
在中，，，，由余弦定理可得：解得：所以，所以是直角三角形，又为的中点，所以又，所以为等边三角形，所以，所以，又平面，平面，所以平面
.
（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.
所以，，.
设为平面的法向量，则，即
设，则，，即平面的一个法向量为，
所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.
（1）求双曲线的方程；
(2)过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，
若，求实数
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】：（1）根据已知条件得，∴焦点坐标为，
∵轴，∴在直角三角形中，，解得，
于是所求双曲线方程为.
（2） ①当直线的斜率不存在时，则，于是，此时，
②当直线的斜率存在时，设的方程为切线与的交点坐标为，
于是有消去化成关于的二次为.
∵为的中点，∴即坐标为
则，又点到直线的距离为，.代入得：，，故.
22．已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点．
【解析】（Ⅰ）设抛物线与椭圆交于，两点．由椭圆的对称性可知，，， 将点代入抛物线中，得，
再将点代入椭圆中，得，解得．故抛物线的标准方程为．
（Ⅱ）设点，，由题意得（否则，不满足），且，，
设直线，的方程分别为，， 联立，解得，，联立，解得，； 则由两点式得，直线的方程为．
化简得．①因为，由，得，得，②将②代入①，化简得，得．
得，得，得，
即．令，不管取何值，都有．所以直线恒过定点．
考点：（1）轨迹方程；（2）直线过定点；（3）直线与圆的位置关系.
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