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第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3.“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知直线是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
5.函数（）的图象可能是（ ）
6.若整数，满足不等式组则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知，随机变量的分布列如下：
当增大时（ ）
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
8.设，，是非零向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
9.如图，已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（ ）
A． B． C． D．
10.已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，共36分，将答案填在答题纸上）
11.抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ．
12.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是 ，体积是 ．
13.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则 ， ．
14.已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，，若，，则 ， ．
15.如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 （用数字作答）．
16.已知直线：，圆：与：，若直线被圆，所截得两弦的长度之比是3，则实数 ．
17.已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的取值范围．
19.如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是的中点，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
20.设函数，．
证明：（1）；
（2）．
21.如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，，设点（），连接交椭圆于点，坐标原点是．
（1）证明：；
（2）若四边形的面积是，求的值．
22.已知数列满足，，．记，分别是数列，的前项和，证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）．
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
A
D
B
D
A
A
二、填空题
11.， 12.，8 13.， 14.2,2
15.10 16. 17.
三、解答题
所以函数的取值范围为．
19.（1）证明：连接交于点，连接，．
因为为菱形，所以点在上，
且，又，故四边形是平行四边形，
则，因此平面．
（2）由于为菱形，所以，
又是直四棱柱，有，则平面，
因此平面平面．
过点作平面和平面交线的垂线，垂足为，得平面，
连接，则是直线与平面所成的角，
设，因为是菱形且，则，，
在中，由，，得w，
在中，由，，得，
所以．
20.解：（1）记，
则，．
那么，在区间上单调递增，
又，所以，
从而．
（2），
记，由，，
知存在，使得．
因为在上是增函数，所以，在区间上是单调递减，在区间上单调递增，又，，从而．
另一方面，由（1）得当时，，且，
因此，．
21.解：（1）设直线的方程为，由
整理得，
解得，，则点的坐标是，
故直线的斜率．
由于直线的斜率，故，所以．
（2）由，，
得，整理得，
因为，所以．
22.解：（1）由及知，
故，
所以，．
（2）由，得，
从而，
又，所以，．
（3）由（2）知，由，得，
所以，当时，，
由此，
又，故．
另一方面，由，得．
综上，，．
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