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数学（文史类）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，（ ）
A． B． C． D．
2.已知是虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3.设向量，向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．45 B．55 C.66 D．110
5.已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短的弦长为（ ）
A． B． C.2 D．4
6.已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线相交于，两点，则的面积为（ ）
A.12 B.24 C. D.
7.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C. D．
8.实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． B．0 C.2 D．4
9.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为的概率为.下列选项中，最能反映与的关系的是（ ）
A． B． C. D．
10.设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C.②③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取35岁以下职工人数为 ．
12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
13.已知，则的值是 ．
14.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 ．
15.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示.
（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；
（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率..
17.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足.
（Ⅰ）判断的形状；
（Ⅱ）求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
设数列各项为正数，且，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立时的最小值.
19.（本小题满分12分）
如图，在边长为2的正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
过点作一直线与抛物线交于，两点，点是抛物线上到直线的距离最小的点，直线与直线交于点.
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）求证：直线平行于抛物线的对称轴.
21.（本小题满分14分）
设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）证明：当时，在区间内恒成立.
四川省2016年普通高考适应性测试
数学（文史类）试题参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:DACBC 6-10:ABDBD
二、填空题
11.25 12. 13. 14. 15.14
三、解答题
16.本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。
听分别记作：，.抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为和，则表示
一次抽取的结果，即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：
共计15种，即事件总数为15.
其中含有或的抽取结果恰有9种，即“随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml”的基本事件个数为9.
所以从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率为.……12分
17.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想。
（Ⅰ）由，
根据正弦定理，得，即，
在中，有，
所以，即，
所以是等腰三角形.…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，则
.
因为，所以，则，
所以，
于是的取值范围是.…………………………12分
18.本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解
能力。
（Ⅰ）由已知，，则，
因为数列各项为正数，所以，
由已知，，
得.
又，
所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列.…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
所以.
由，得，
所以.
于是成立时的最小值为10.…………………………12分
19.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
（Ⅰ）证明：连接交于，连接.
在正方形中，点是中点，点是中点，
所以，
所以，
所以在等腰中，是的中点，且，
因此在等腰中，，
从而，
又，
所以平面，
即平面.……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面，
易知，，，，
由于，
所以，
作于，则，
在中，由，得.
又四边形的面积，
所以，四棱锥的体积.………………………………12分
20.本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想。
（Ⅰ）设点的坐标为，则，
所以，点到直线的距离
.
当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分
（Ⅱ）设点的坐标为，显然.
当时，点坐标为，直线的方程为；
当时，直线的方程为，
化简得；
综上，直线的方程为.
与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.
当时，直线的方程为，可得点的纵坐标为.
此时，
即知轴，
当时，直线的方程为，
化简得，
与抛物线方程联立，消去，
可得，
所以点的纵坐标为.
从而可得轴，
所以，轴.……………………………………13分
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（Ⅰ），
由，得.……………………………………2分
（Ⅱ），
当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增，
当时，，此时
若，，则函数单调递增；
若，，则函数单调递减；
若时，，则函数单调递增.……………………6分
（Ⅲ）令，则.
，令，则.
当时，，
又当时，，从而单调递减；
所以.
故当时，单调递增；
又因为，故当时，，
从而函数在区间单调递减；
又因为
所以在区间恒成立.…………14分
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