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数学（理工类）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2.设向量，向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3.设集合，集合，则使得的的所有取值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．45 B．55 C.66 D．110
5.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个.小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）
A．96种 B．120种 C.480种 D．720种
6.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C. D．
7.设直角坐标平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是.是轨迹上一点，直线垂直于轴，则（ ）
A． B． C.3 D．9
8.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为的概率为.下列选项中，最能反映与的关系的是（ ）
A． B． C. D．
9.如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（ ）
A．5 B． C.9 D．14
10.设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C.②③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.在的展开式中，含项的系数是 ．（用数字填写答案）
12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
13.已知，则的值是 ．
14.已知圆的方程为，过点的该圆的三条弦的长构成等差数列，则数列的公差的最大值是 ．
15.已知.若时，的最大值为2，则的最小值为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足.
（Ⅰ）判断的形状；
（Ⅱ）求的取值范围.
17.（本小题满分12分）
设数列各项为正数，且，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.
18.（本小题满分12分）
某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
19.（本小题满分12分）
如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标.
21.（本小题满分14分）
设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若在区间内恒成立，求的取值范围.
四川省2016年普通高考适应性测试
数学（理工类）试题参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ACDBC 6-10:BDADD
二、填空题
11.64 12. 13. 14.2 15.
三、解答题
16.本题主要考查和差角公式、二倍角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化数学思想。
（Ⅰ）由，
根据正弦定理，得，即，
在中，有，
所以，即，
所以是等腰三角形.…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，则
.
因为，所以，则，
所以，则，
所以的取值范围是.…………………………12分
17.本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。
（Ⅰ）由已知，，则，
又，
所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列.…………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
，
则.
不等式即为，
所以，
于是成立时的最小值为6.…………………………12分
18.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运
算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力。
（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
.………………………………………………………………2分
（Ⅱ）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
，
所以.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的
均值为元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为.
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.
于是，恰好次中奖的概率为
，.
从而，，
当时，；
当时，，
则最大.
所以，最有可能获得的现金奖励为元.
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分
19.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
（Ⅰ）证明：连接交于，连接.
在正方形中，点是中点，点是中点，
所以，
所以，
所以在等腰中，是的中点，且，
因此在等腰中，，
从而，
又，
所以平面，
即平面.……………………………………6分
（Ⅱ）方法一：
在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，
由于点是中点，点是中点，
所以，
于是，
从而，
所以，
于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，
在正方形中，解得，，
所以，在中，，，，
由余弦定理得，
所以，二面角的余弦值为.………………………………12分
方法二：
由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系.
设正方形边长为2，则，，，.
所以，.
设为平面的一个法向量，
由得，
令，得，
又由题知是平面的一个法向量，
所以.
所以，二面角的余弦值为.………………………………12分
20.本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想。
（Ⅰ）设点的坐标为，则，
所以，点到直线的距离
.
当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分
（Ⅱ）设点的坐标为，显然.
当时，点坐标为，直线的方程为；
当时，直线的方程为，
化简得；
综上，直线的方程为.
与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.
因为，轴，所以点的纵坐标为.
因此，点的坐标为.
当，即时，直线的斜率.
所以直线的方程为，
整理得.
当，时，上式对任意恒成立，
此时，直线恒过定点，
当时，直线的方程为，仍过定点，
故符合题意的直线恒过定点.……………………………………13分
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（Ⅰ），
由，得.……………………………………2分
（Ⅱ），
当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增，
当时，，此时
若，，则函数单调递增；
若，，则函数单调递减；
若时，，则函数单调递增.……………………6分
（Ⅲ）令，则.
，令，则.
当时，，从而单调递减，
令，得.
先考虑的情况，此时，；
又当时，单调递减，所以；
故当时，单调递增；
又因为，故当时，，
从而函数在区间内单调递减；
又因为，所以在区间恒成立.
接下来考虑的情况，此时，，
令，则.
由零点存在定理，存在使得，
当时，由单调递减可知，所以单调递减，
又因为，故当时.
从而函数在区间单调递增；
又因为，所以当，.
综上所述，若在区间恒成立，则的取值范围是.…………14分
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