2016-2017学年陕西省西安市铁一中学高三上学期第一次模拟考试数学（理）
一、选择题：共12题
1．已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要是考查复数的几何意义;
∵对应点的坐标是
∴由题意得
解得
2．已知集合,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要是考查集合的基本运算;
∵
∴
3．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要是考查根据三视图求几何体的体积;
由三视图可知,该几何体是一个半径为的半球挖去了一个底面半径为,高为的圆锥,∴该几何体的体积.
4．已知,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查倍角公式的应用;
∵,∴====
5．圆与直线相交所成圆心角为,则
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】本题主要是考查直线与圆的位置关系;
∵圆与直线相交所成圆心角为
∴圆心到直线的距离等于半径的一半
∵圆的标准方程为
∴圆心坐标为,半径
∴圆心到直线的距离
解得:
6．设是两条不同的直线,是三个不同的平面.下列命题中正确的有
①若,则; ②若,则;
③若,则; ④若则.
A.①③ B.①② C.③④ D.②③
【答案】D
【解析】本题考查直线与平面的位置关系,考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的性质,以及面面平行的判定;
①由面面垂直的性质定理知,若,且垂直于的交线,则,故①错
②若,则正确;
③若,则正确;
④若则不能得出,故④错误.
7．的展开式常数项为a,则函数与轴围成的图形面积为
A.0 B.15 C.20 D.30
【答案】C
【解析】本题主要是考查二项式定理、定积分的应用;
∵的展开式常数项为a,
∴
∴
令,得
∴函数与轴围成的图形面积为
=.
8．设函数的最小正周期为,且,则正确的选项是
A.在上单调递减 B.在上单调递减
C.在上单调递增 D.在上单调递增
【答案】B
【解析】本题主要是考查三角函数的图象与性质;
由题意得,
∵
∴
∴
∴在上单调递减.
9．设变量满足约束条件 QUOTE 则目标函数的最大值为
A.3 B.4 C.18 D.40
【答案】D
【解析】本题主要是考查简单线性规划;
作出不等式组表示的平面区域,如图所示:
作出直线,平移,由图可得,当直线经过点时,取最大值,
由得,
∴
∴.
10．若点P为双曲线右支上一点,分别为
双曲线的左、右焦点,且为三角形的内心,成立, 则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要是考查双曲线的定义和简单性质;
设的内切圆半径为,由双曲线的定义得,
,,
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴.
11．小张和小王两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”;有３个柱子甲、乙、丙.甲柱上有个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图),把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束,在移动过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且３个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下,设游戏结束需要移动的最少次数为,则当时,和满足的关系式为
甲柱 乙柱 丙柱
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题的关键是从特殊中发现一般性的规律,考查构造法求数列的通项;
,,,
事实上,要将个圆盘全部转移到柱上,只需先将上面个圆盘转移到柱上,
需要次转移,然后将最大的那个圆盘转移到柱上,
需要一次转移,再将柱上的个圆盘转移到柱上,
需要次转移,所以有.
12．若函数在区间上是单调递增函数,则使方程有整数解的实数的个数是
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】A
【解析】本题考点是函数的单调性与导数的关系,考查了函数的单调性与导数的对应,以及方程有整数解时利用二分法的思想确定方程解的范围;
∵
令得
令得
∵函数在区间上是单调递增函数
∴
∵
∴
令解得或．
结合上面的分析可知,在上,,在上,,所以的解只能在上
由,得
记
因为,所以．
观察知,在上是增函数(求导也可得出),
经试算,有
可见的解在区间上,所以的整数解只可能是共个,而为增函数,所以相应地,值也只有个
二、填空题：共4题
13．已知平面向量若与垂直,则实数 .
【答案】-1
【解析】本题主要考查向量垂直的代数运算.解决向量问题要掌握两个向量共线、垂直的几何判断,也要掌握两个向量共线、垂直的代数判断.并能解决一些简单问题.根据整理好与 的坐标表示以后,根据两个向量的垂直,利用向量垂直的充要条件,得到关于的方程,解方程得结论.因为所以 ,因为与垂直,所以,
14．的内角的对边分别为,若,则 ．
【答案】
【解析】本题主要是考查和角公式,正弦定理的应用;
∵
∴
∴
由正弦定理得
=
15．执行如右图所示的程序框图,若输出的,则输入整数的最小值是 .
【答案】8
【解析】本题主要是考查循环结构程序框图;
程序在运行过程中各变量的值如下表示:
是否继续循环
循环前
第一圈是
第二圈是
第三圈是
第四圈是
第五圈否
故时,满足条件
时,不满足条件
故的最小值为.
16．给定定义:若(其中为整数),则叫离实数最近的整数,记作“”,即,在此基础上给出下列函数的五个命题中,真命题序号是_____________.
①当时,; ②函数定义域为,值域为;
③函数周期为1; ④函数在上是增函数;
⑤函数的图象关于直线)对称.
【答案】②③⑤
【解析】本题是新定义问题,考查函数的性质,可结合图象进行研究,体现数形结合思想;
由题意,==,
当时
当时,
当时
作出函数图象:
由图象可知,正确命题为②③⑤.
三、解答题：共7题
17．已知是等差数列,满足,数列满足,且是等比数列.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)若,都有成立,求正整数的值.
【答案】(Ⅰ)设的公差为,则
所以,故的通项公式为).
设,则为等比数列.
设的公比为,则,故.则,即
所以)
(Ⅱ)由题意,应为数列的最大项.
由)
当时,,即;
当时,,即;
当时,,即
综上所述,数列中的最大项为和.
故存在或,使,都有成立.
【解析】本题主要是考查等差数列和等比数列的通项公式,数列的函数特性;
(1)由已知求出的通项公式,再求出的首项和第四项,得出公比,然后求出通项,则可求出的通项公式;
(2)由题意,应为的最大项,然后求出,再对分类讨论,得出满足成立的正整数的值.
18．甲、乙、丙三人参加了三个大学的自主招生面试,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;
(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.
【答案】用分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知相互独立,
且.
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是
.
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.
=＝+＝=
====
=
==
所以,的分布列是
的期望
【解析】本题考查对立事件、相互独立事件的概率计算与由分布列求期望的方法;
(Ⅰ)用分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知相互独立,
且,分析可得“至少有1人面试合格”与“三人面试全不合格”为对立事件,由对立事件的概率,计算可得答案.
(Ⅱ)根据题意,易得的可能取值为0,1,2,3,分别计算其概率可得分布列,由期望的计算公式,结合分布列计算可得的期望.
19．如图,四棱锥底面为菱形,是中点．若,
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证:连结,连接,∵四棱锥的底面为菱形,∴为中点,又∵是中点,∴在中,是中位线,∴,又∵平面,而平面,∴平面;
(2)
取的中点,连结,∵菱形,且,∴正,∴,∵,∴,且等腰直角,即．∴平面,且,∴,∴．
如图,建立空间直角坐标系:以点为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,则.
平面上,;设平面的法向量为,则有,即;
设平面的法向量为,因为,
则有可取.
∴,∴二面角的余弦值为.
【解析】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法;
(1)连结,连接,推导出,由此能证明平面．
(2)取的中点,连结,,以点为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
20．已知椭圆的离心率为, 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点,连结分别交直线于两点．试问直线的斜率之积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由．
【答案】(Ⅰ),故
(Ⅱ)设,
若直线与纵轴垂直,则中有一点与重合,与题意不符,
故可设直线.
将其与椭圆方程联立,消去得:
;
由三点共线知,,同理
,
而=,
所以===
故直线的斜率为定值.
【解析】本题主要是考查椭圆的标准方程,考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明;
(Ⅰ)由已知求出,由此即可求出椭圆的方程;
(Ⅱ) 设设直线,其与椭圆方程联立,消去得:
,由此利用韦达定理结合已知条件求出直线的斜率之积为定值.
21．设,函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调增区间;
(Ⅱ)若时,不等式恒成立,实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,
当时,在内单调递增;
当时,恒成立,故在内单调递增;
的单调增区间为.
(或写成内单调递增;内单调递增)
(Ⅱ)①当时,
恒成立,在上增函数.
故当时,.
②当时,,
(i)当,即时,在时为正数,所以在区间上为增函数.故当时,,且此时.
(ii)当,即时,在时为负数,在时为正数,所以在区间上为减函数,在上为增函数.故当时,,且此时.
(iii)当,即时,在进为负数,所以在区间上为减函数,故当时,.
所以函数的最小值为.
由条件得此时;或,此时;或,此时无解.
综上,.
【解析】本题考查函数的性质和应用;
(Ⅰ) 由题意知,当时,在内单调递增;
当时,恒成立,故在内单调递增,据此求出函数的单调增区间.
(Ⅱ) 当时, 在上增函数;当时,,
,由此解答.
22．在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与曲线交于两点,求.
【答案】(1)直线普通方程为,曲线的直角坐标方程为;
(2)解法一、曲线是以点为圆心,2为半径的圆,圆心到直线的距离,则.
解法二、由可解得A,B两点的坐标为
,由两点间距离公式可得.
解法三、设两点所对应的参数分别为
将为参数代入并化简整理可得
,从而因此,.
【解析】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化,考查参数方程的运用;
(I)利用坐标互化的方法写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(II)利用参数的几何意义,求．
23．已知:．
(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:．
【答案】证明:(Ⅰ),而
,当且仅当时取“”.
(Ⅱ)柯西不等式,由(1)知
下,当且仅当时取“=”.
【解析】本题主要是考查均值不等式及柯西不等式的应用;
(Ⅰ)直接利用均值不等式证明;
(Ⅱ)利用柯西不等式,结合(Ⅰ)的结论证明即可.
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