2015-2016学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，满分50分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（ ）
A．（2，3） B．（2，3] C．（﹣3，﹣2） D．[﹣3，﹣2）
2．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知f（x）=ex﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（ ）
A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0
B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0
C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0
D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0
4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（ ）
A． B． C． D．
5．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0
6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，下列结论正确的是（ ）
A．f（2x）min=f（0） B．f（2x）max=f（0）
C．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递减，无极值 D．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值
8．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]
10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（ ）
A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0
二、填空题（每题5分，满分25分）
11．已知函数的定义域是，则实数a的值为 ．
12．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是 （填序号）
①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．
13．设，则= ．
14．若对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，则a的最小值为 ，b的最大值为 ．
15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＜1，当x∈[0，2π]时，不等式f（2cosx）＜2cos2﹣的解集为 ．
三、解答题（本题满分75分）
16．已知是函数图象的一条对称轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．
17．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=sin2x﹣cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；
（3）若方程上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
18．设函数f（x）=cos2x﹣asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．
19．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex（a＜0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m的范围．
20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．
21．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．
2015-2016学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，满分50分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（ ）
A．（2，3） B．（2，3] C．（﹣3，﹣2） D．[﹣3，﹣2）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，
解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，
由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，
∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），
由B中则A∩B=（2，3]，
故选：B．
2．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若f（x）的图象关于x=对称，
则2×+θ=+kπ，
解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，
反之成立，
即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
3．已知f（x）=ex﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（ ）
A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0
B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0
C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0
D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0
【考点】全称命题；特称命题．
【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．
【解答】解：f′（x）=ex﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，
∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．
g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，
则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．
则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，
￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，
综上只有C成立，
故选：C
4．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2α+20tanα﹣7=0，解方程求得tanα的值．
【解答】解：若，且，则cos2α﹣sin2α=（cos2α+sin2α），
∴cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα=0，即 3tan2α+20tanα﹣7=0．
求得tanα=，或 tanα=﹣7（舍去），
故选：B．
5．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则C（2，3），B（2，5），
则x≥3，y≥4不成立，
作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，
由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，
恒成立的是x+2y﹣8≥0，
故选：C．
6．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．
【解答】解：∵，
∴由，∴，
令．
故选：C．
7．设函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，下列结论正确的是（ ）
A．f（2x）min=f（0） B．f（2x）max=f（0）
C．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递减，无极值 D．f（2x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，推出结果即可．
【解答】解：，f（x）在（﹣∞，+∞）上递增，无极值．
故选：D．
8．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
9．若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+a≥a2，又a≥0，从而解得a的范围．
【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a≥2+a；
（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）；
故当x=1时取得最小值2+a，
∵f（0）是函数f（x）的最小值，
∴当x≤0时，f（x）=（x﹣a）2单调递减，
故a≥0，
此时的最小值为f（0）=a2，
故2+a≥a2，
解得，﹣21≤a≤2．
又a≥0，可得0≤a≤2．
故选：D．
10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（ ）
A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】令x∈，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=﹣log2x，从而可得答案．
【解答】解：设x∈，则x﹣1∈，
根据题意，f（x）=f（﹣x+1）
=﹣f（x﹣1）
=﹣log2（x﹣1+1）
=﹣log2x，
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分25分）
11．已知函数的定义域是，则实数a的值为 ．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．
【解答】解：∵函数的定义域是，
∴当x＞时，1﹣＞0；
即＜1，
∴a＜2x，
∴x＞log2a；
令log2a=，
得a==；
∴实数a的值为．
故答案为：．
12．直线y=m（m＞0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2），下列结论正确的是 ①②④ （填序号）
①0＜x1＜1＜x2；②x1x2=1；③2+2＜4；④2+2＞4．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】分别画出两函数的图象，根据图象的性质和基本不等式解题．
【解答】解：画出f（x）的图象，该函数先减后增，在x=1处取得最小值0，
再画出直线y=m，两图象交于A，B，如右图（A在B左边），
此时，A（x1，y1），B（x2，y2），由图可知，0＜x1＜1＜x2，
因为y1=y2，所以，﹣log2x1=log2x2，
解得x1x2=1，所以x1+x2≥2，
根据基本不等式：≥2≥2=4，
且x1≠x2，所以，＞4，
综合以上分析：
①正确；②正确；③错误，④正确；
故填：①②④
13．设，则= ．
【考点】微积分基本定理．
【分析】由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．
【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，
则=
==
=，
故答案为．
14．若对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，则a的最小值为 ，b的最大值为 1﹣ ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】分类讨论，并构造函数，f（x）=1﹣，证明f（x）在（0，1]为减函数，问题得以解决．
【解答】解：对任意的x∈[0，1]，不等式1﹣ax≤≤1﹣bx恒成立，
当x=0时，不等式显然成立，
设f（x）=1﹣，
当x∈（0，1]时，等价于恒成立，
显然f（x）在（0，1]上为增函数，
∵f（x）=（1﹣）==•=，
∴f（x）在（0，1]为减函数，
∴1﹣≤f（x）＜，
∴a≥，且b≤1﹣
∴a的最小值为，b的最大值为1﹣，
故答案为：，1﹣
15．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＜1，当x∈[0，2π]时，不等式f（2cosx）＜2cos2﹣的解集为 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】设g（x）=f（x）﹣x，可得g（x）在R上递减，求出g（1），运用二倍角余弦公式，将原不等式化为f（2cosx）﹣cosx＜，即g（2cosx）＜g（1），由单调性可得2cosx＜1，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：设，，
不等式，
可化为，
由于，
当x∈[0，2π]时，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题满分75分）
16．已知是函数图象的一条对称轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
（2）化简函数f（x），求出a的值，得出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间；
（3）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象即可．
【解答】解：（1）=asinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x，
则函数的最大值为，
若是函数图象的一条对称轴，
则|f（）|=，
即|sin+cos|=|×+×|=||=，
平方得=++，
|整理得a2﹣2a+3=0，
即（a﹣）2=0，
解得a=．
（或者∵x=是函数f（x）图象的一条对称轴，∴f（0）=f（），
即=sin2（）+cos2（），
解得a=）
（2）∵a=，
∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（3）列表如下，
x
0
π
2x+
π
2π
f（x）
1
0
﹣1
0
画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象如图所示．
17．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=sin2x﹣cos2x的图象做怎样的平移变换可以得到函数f（x）的图象；
（3）若方程上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
【分析】（1）根据图象得到振幅和A=2，ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（，2）代入得到φ=．
（2）由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
（3）通过正弦函数的图象和性质，数形结合可得，要有两个不相等的实根，即可求出m的取值范围得到表达式．
【解答】解：（1）根据图象得到：A=2，由=﹣=，可得T=π，
∴由=π，可得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
将点（，2）代入得到2sin（+φ）=2，|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）]，
f（x）=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]=2sin[2（x﹣+）]，
∴将函数y=sin2x﹣cos2x的图象沿x轴向左平移可以得到函数f（x）的图象．
（3）∵f（x）=2sin（2x+）．
∵x∈[﹣，0]，可得：2x+∈[﹣，]，
方程f（x）=m在区间∈[﹣，0]内有两个不相等的实数根x1，x2，
如图：结合正弦函数的图象和性质，
∴要有两个不相等的实根，m∈（﹣2，﹣]．
18．设函数f（x）=cos2x﹣asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．
【考点】三角函数的最值．
【分析】令sinx=t，问题转化为t2+at+2≥0对于任意的t∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：由题意可得cos2x﹣asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，
∴1﹣sin2x﹣asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，
∴sin2x+asinx+2≥0对于任意的实数x恒成立，
令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，
∴t2+at+2≥0对于任意的t∈[﹣1，1]恒成立，
当﹣≤﹣1即a≥2时，（﹣1）2+a（﹣1）+2≥0，
解得a≤3，综合可得2≤a≤3；
当﹣≥1即a≤﹣2时，（1）2+a（1）+2≥0，
解得a≥﹣3，综合可得﹣3≤a≤﹣2；
当﹣1＜﹣＜1即﹣2＜a＜2时，（﹣）2+a（﹣）+2≥0，
解得﹣2≤a≤2，综合可得﹣2＜a＜2；
综上可得实数a的范围为[﹣3，3]
19．设函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex（a＜0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=﹣1时，函数y=f（x）与g（x）=x3+x2+m的图象有三个不同的交点，求实数m的范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x﹣1）ex=ax（x+）ex，从而分类讨论以确定函数的单调性；
（2）当a=﹣1时，m=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2），再令h（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2），从而求导可得．
【解答】解：（1）∵f（x）=（ax2+x﹣1）ex，
∴f′（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x﹣1）ex
=（ax2+（2a+1）x）ex
=ax（x+）ex，
当a=时，f′（x）≤0恒成立，
故函数f（x）在R上单调递减；
当a＜时，
x＜﹣时，f′（x）＜0；﹣＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；
故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当＜a＜0时，
x＜0时，f′（x）＜0；0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；当x＞﹣时，f′（x）＜0；
故函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减；
（2）当a=﹣1时，
f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2+m），
故m=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2），
令h（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2），
则h′（x）=﹣（x2+x）ex﹣（x2+x）=﹣x（x+1）（ex+1），
故当x＜﹣1时，h′（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0；
h（﹣1）=﹣﹣，h（0）=﹣1，
故﹣﹣＜m＜﹣1．
20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）f′（x）=﹣2x+1，（x＞0）．令f′（x）＜0，即﹣2x+1＜0，解出即可得出；
（2）x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1化为：a＞=g（x），可得：对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，⇔a＞g（x）max，x＞0．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x+1，（x＞0）．
令f′（x）＜0，即﹣2x+1＜0，解得1＜x．
∴函数f（x）的单调递减区间是[1，+∞）．
（2）∵x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1化为：a＞=g（x），
∴对于任意的x＞0，不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，⇔a＞g（x）max，x＞0．
g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜e，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得e＜x，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=e时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（e）==．
∴a．
∴整数a的最小值为1．
21．设函数f（x）=x2﹣2x+alnx
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2（x1＜x2），①求实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）①已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2可化为f′（x）==0有两个不同的正根x1，x2，从而解得a的范围；
②由根与系数的关系可得，x1+x2=1，x1x2=a，从而a=2x2（1﹣x2），代入化简可得f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1）令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），求导判断函数的单调性，从而证明上式成立．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2x+2lnx的导数为f′（x）=2x﹣2+，
f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，﹣1），
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x﹣1），
即为2x﹣y﹣3=0；
（2）①函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
∵函数f（x）=x2﹣2x+alnx+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．
∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，
∴，
解得，0＜a＜；
②证明：由（1）知，
x1+x2=1，x1x2=a，则a=2x2（1﹣x2），
因此，f（x1）=（x1﹣1）2+alnx1﹣1
=x22+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣1（＜x2＜1），
=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣（＜x2＜1），
令h（t）=t+2（1﹣t）ln（1﹣t）﹣，（＜t＜1），
则h′（t）=1+2[﹣ln（1﹣t）﹣1]+ =﹣2ln（1﹣t），
∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln（1﹣t）＜0，
∴h′（t）＞0，
即h（t）在（，1）上单调递增，
则h（t）＞h（）=﹣﹣ln2，
即有＞﹣﹣ln2．
2017年1月4日
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