佛山一中2019届高三年级期中考试题
数学（理科）
命题人：吴以浩、李维
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，集合，，则
A. B.
C. D.
2. 设命题：若定义域为的函数不是偶函数，则，．命题：在上是减函数，在上是增函数．则下列判断错误的是
A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为假
3. 已知，，则
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
5. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是
A. B. C. D.
6. 已知，为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与的夹角为，平面区域D由所有满足的点P组成，其中那么平面区域D的面积为
A. B. C. D.
7. 设命题p：实数满足，q：实数x，y满足，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 若实数a，b，c，d满足，则的最小值为
A. B. 2 C. D. 8
9. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
10. 已知点A，F，P分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若恒成立，则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.
11. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.定义在上的函数满足及，且在上有，则________．
14. △ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b＝3，c＝2． O为△ABC的外心，则________．
15. 已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为________．
16. 函数的零点个数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4．
（1）求∠ACP；
（2）若△APB的面积是，求．
18. （本小题满分12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若PA＝AB＝2，求二面角E-AF-C余弦值．
20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的动直线l与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与l无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）设函数，其中a∈R．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得
试判断与的大小关系并给出证明．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （本小题满分10分）已知曲线的参数方程(t为参数)．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若与相交于A、B两点，设点，求的值．
23. （本小题满分10分）已知函数．
(1)若，使得不等式成立，求实数m的最小值M；
(2)在(1)的条件下，若正数a，b满足，求的最小值．
佛山一中2019届高三年级期中考数学（理科）答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
D
B
D
A
D
B
C
D
A
二、填空题
13. 14. 15. 16. 2
三、解答题
17. （1）在中，因为，，，
由余弦定理得，…………………………2分
所以，
整理得，
解得．所以．…………………………………………………………………4分
所以是等边三角形．
所以．………………………………………………………………………………5分
（2）由于是的外角，
所以．……………………………………………………………………………6分
因为的面积是，
所以．………………………………………………………7分
所以．………………………………………………………………………………………8分
在中，
所以．…………………………………………………………………………………10分
在中，由正弦定理得，…………………………………11分
所以．……………………………………………………12分
18. (1)设，由题意得，的方程为．…………………1分
由得．……………………………………………………2分
，故．…………………………………………………………3分
所以．…………………………………………4分
由题设知，解得（舍去），．……………………………………………5分
因此的方程为．……………………………………………………………………………6分
(2)由(1)得的中点坐标为，
所以的垂直平分线方程为，即．……………………………………8分
设所求圆的圆心坐标为，则……………………………10分
解得或……………………………………………………………………………11分
因此所求圆的方程为或．……………………12分
19. （1）因为四棱锥，底面为菱形，，，分别是，的中点，
所以是等边三角形，
所以，…………………………………………1分
又因为在菱形中，，
所以，…………………………………………2分
因为，，所以，………………………………3分
因为，所以，………………………………………………………4分
因为，所以．……………………………………………………………5分
（2）由（）知，，两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，分别为，的中点，，所以，，，，，，，……………………………………………………6分
所以，，………………………………………………………7分
设平面的一个法向量为，则
取，得，……………………………………………………………………9分
因为，，，所以，
所以为平面的一个法向量．又，………………………………11分
所以．
因为二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………………12分
20.(1) 设椭圆的半焦距为c，则，且．由解得．……2分
依题意，，于是椭圆的方程为．…………………………………………………4分
(2)设，设，与椭圆方程联立得
则有……………………………………………………………………………6分
直线PA,PB的斜率之和
…………………9分
当时斜率的和恒为0，解得…………………………………11分
综上所述，所有满足条件的定点P的坐标为或．…………………………………12分
21.解 （1）函数f(x)的导函数………………2分
情形一 a⩽0．此时，于是f(x)在上单调递增；……………………………………3分
情形二 a>0．此时f(x)在上单调递增，在
上单调递减．………………………4分
（2）函数f(x)存在极值，因此a>0．根据题意，有
…………5分
而
…………6分
故只需要比较与的大小．
令，则．当时，，故在(1,＋∞)上单调递增．因此，当时，．
于是，，即．………………………………………………9分
于是………………………………………………………………………………10分
又在上单调递减，因此进而．……………………………12分
22.解：(1)∵曲线的参数方程为(t为参数)，，，
∴曲线的普通方程为
．…………………………………………………………………2分
∵曲线：，，，，
∴曲线的直角坐标方程为．………………………………………………………………5分
Ⅱ由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为，，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，，，…………………………………7分
，，，
．……………………………………………………………………………10分
23.解：(1)由题意，不等式有解，即．…………1分
，…………………………………………………………………3分
当且仅当时取等号，
．…………………………………………………………………………………………………5分
由得，
，…………………………………8分
当且仅当时取等号，………………………………………………………9分
故．…………………………………………………………………………………10分
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