www.ks5u.com
肇庆市中小学教学质量评估
2017届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设复数满足，为虚数单位，则复数的虚部是
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知满足约束条件，则的最小值为
（A）1 （B）-1 （C）3 （D）-3
（4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的，
则输出的属于
（A） （B） （C） （D）
（6）下列说法中不正确的个数是
①“”是“”的必要不充分条件；
②命题“”的否定是“”；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
（7）若的展开式中含有常数项，则的最小值等于
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（8）已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为
（A） （B） （C） （D）
（9）已知，，，若点是 所在平面内一点，且，当变化时， 的最大值等于
（A）-2 （B）0 （C）2 （D）4
（10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
2
2
2
2
2
正视图
俯视图
侧视图
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）等比数列的前项和为，已知，则公比= ▲ .
（14）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ▲ .
（15）已知，分别是的两个实数根，则 ▲ .
（16）若定义域为的偶函数满足，且当时，，则方程在内的根的个数是 ▲ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
（18）（本小题满分12分）
设数列{}的前项和为，且.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）若，且数列的前项和为，求.
（19）（本小题满分12分）
某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；
（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（III）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.
参考数据：若，则，，.
（20）（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，.
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若是的中点，且与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.
（21）（本小题满分12分）
已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（Ⅰ）直接写出的普通方程和极坐标方程，直接写出的普通方程；
（Ⅱ）点在上，点在上，求的最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）当，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
2017届高中毕业班第二次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
A
D
D
B
C
C
B
A
C
C
二、填空题
13．或（答1个得3分，答2个得5分） 14． 15． 16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知以及正弦定理，得， （2分）
即. （3分）
所以， （5分）
又，所以. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， （8分）
又，所以， （9分）
所以，即. （11分）
所以周长为. （12分）
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，有 ①，
当时，，即. （1分）
当时， ②，
①-②得 ，即. （3分）
所以是2为公比，1为首项的等比数列，即. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得， （6分）
所以. （8分）
所以 （9分）
= （10分）
= （11分）
= （12分）
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可估计该校高三年级男生平均身高为：
.
（2分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，可得这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为：
（0.02+0.02+0.01）´4´50=10. （4分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，
∴P(ξ≥180)= =0.0013， （5分）
0.0013×100000=130，∴全市前130名的身高在180cm以上. （6分）
这50人中180cm以上的人数为：0.01´4´50=2，
因此随机变量ξ可取0，1，2. （7分）
P(ξ=0)= =，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=， （10分）
∴E(ξ)=0×+1×+2×=. （12分）
（20）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以. （1分）
又，且是中点，所以. （2分）
，所以. （3分）
又，所以. （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是在面上的射影，
所以是与面所成的角. （5分）
在Rt△BOE中，，，所以.
在Rt△PEO中，，，所以.
所以，又，
所以，所以. （6分）
又，所以. （7分）
方法一：
过做于，由（Ⅰ）知，所以，所以，
，所以是二面角的平面角. （9分）
在△PAC中，，所以，即.
所以. （10分）
，得， （11分）
，，所以二面角的余弦值为. （12分）
方法二：
如图，以建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
. （9分）
设面的法向量为，则 ，即，得方程的一组解为，即. （10分）
又面的一个法向量为， （11分）
所以，所以二面角的余弦值为. （12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） （1分）
（i）当时，
函数在单调递减，在单调递增． （2分）
∵，
取实数满足且，则，
（3分）
所以有两个零点． （4分）
（ii）若，则，故只有一个零点． （5分）
（iii）若，由（I）知，
当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；
当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，
，故不存在两个零点． （6分）
综上所述，的取值范围是． （7分）
（Ⅱ）不妨设.
由（Ⅰ）知，，则等价于.
因为函数在单调递减，
所以等价于，即证明. （8分）
由，得，
， （9分）
令，. （10分）
，在单调递减，又，所以，
所以，即原命题成立. （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）的普通方程是 ， （2分）
的极坐标方程 ， （4分）
的普通方程. （6分）
（Ⅱ）方法一：
是以点为圆心，半径为2的圆；是直线. （7分）
圆心到直线的距离为，直线和圆相离. （8分）
所以的最小值为. （10分）
方法二：
设，因为是直线， （7分）
所以的最小值即点到直线的距离的最小值，， （9分）
所以最小值为. （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当时，不等式，即.
可得，或或 （3分）
解得，所以不等式的解集为. （6分）
（Ⅱ），当且仅当时等号成立. （8分）
由，得或，即a的取值范围为 （10分）
微信/支付宝扫码支付