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大庆铁人中学高三年级上学期期末考试
数 学 试 题
命题人： 张兴 张晶波 审题人： 车卫东
试卷说明：
1、 本试卷满分150分，考试时间120分钟
2、 请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2、 若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3、正项等差数列的前项和为，已知，则 ( )
A． B． C． D．
4、下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．“若，则”的否命题是“若，则”
C．已知是的两个内角，则“”是“”的充要条件
D．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
5、已知直线，平面且，给出下列四个命题中，正确命题的个数为( )
(1) 若，则 (2) 若，则
(3) 若，则 (4) 若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
6、为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7、若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
8、如图，在中，,则的值等于（ ）
A． B．
C． D．
9、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A. B. 4
C. 2 D.
10、在三棱锥中， ,则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
11、如图，为双曲线（）的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
12、已知函数，且在处取得最小值，则以下各式正确的序号为（ ）
① ② ③
④ ⑤
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13、= .
14、若是等比数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若是等差数列，是互不相等的正整数，则有正确的结论： .
15、已知抛物线，过焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若，则 .
16、关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为 .
三、解答题：（第17题10分，18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、 （本小题满分10分）已知，，其中，若的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.
（1） 求的对称中心；
（2） 若在区间上存在两个不同的零点，求实数的取值范围.
18、（本小题满分12分）已知分别为锐角的三个内角的对边，且.
（1） 求的大小；
（2） 若，求面积的取值范围.
19、 （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，，求数列的前项和为.
20、如图，棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
21、椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，是椭圆上的一点，已知内切圆半径为1，内心为，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的左焦点做两条互相垂直的弦，求的最小值.
22、（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若当时，成立，求实数的取值范围.
大庆铁人中学高三年级上学期期末考试
数 学 试 卷 答 案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
C
D
C
B
D
C
D
B
C
D
B
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13、 14、
15、 2或18 16、
三、解答题：（第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
因为的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，且，
所以的对称中心为
（2）的单调递增区间为，单调递减区间为，
因为在区间上存在两个不同的零点，
所以在区间上有两个不等的实数根，
18、因为
由正弦定理得：
即
化简得
所以
因为，所以
所以，即 6分
（2） 7分
因为是锐角三角形
11分
所以的面积的取值范围是 12分
19、（1）由
时，， 1分
时，……………………………①
………………………………②
②-①得
所以 4分
所以是以2为首相，2为公比的等比数列，所以的通项公式为，6分
（2）， 7分
10分
12分
20、(1)证明 设BD与AC交于点O，因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，连接A1O，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD, 平面AA1C1C∩平面ABCD=AC, BD平面ABCD
∴BD⊥平面AA1C1C
∵AA1平面AA1C1C
∴BD⊥AA1 4分
(2)在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA，∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD. 6分
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
设为平面的法向量,
∴,取,得 8分
设为平面的法向量,
∴,取,得 10分
∴
二面角的平面角的余弦值为 12分
21、（1）设所求椭圆方程为：
因为内切圆半径为1，且.
（2）①设直线AB的方程为，直线CD的方程为，
直线AB与椭圆方程联立可得：
解得弦长 6分
同理可得弦长 7分
所以=+=
设
=
当 10分
②当时，= 11分
综上：. 12分
22、（1）由题意知
，即，所以 4分
（2） 对于恒成立
即对于恒成立
令,
，当时
所以对于恒成立，所以在单调递增 6分
1）当，即时，且尽在时等号成立，所以在单调递增，从而，满足题意 8分
2）当即时，
，且在单调递增，所以，使得， 10分
当时，，所以在单调递减
当时，，所以在单调递增
因此，当时，，不合题意
综上所述： 12分
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