四川省自贡市2017年高考数学一诊试卷（理科） Word版含解析.doc

‎2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（　　）‎ A．[1，3] B．[1，3） C．[﹣3，∞） D．（﹣3，3]‎ ‎2．已知复数，则z在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；q：M是函数f（x）的最小 值，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　）‎ A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5‎ ‎5．已知，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）‎ A．6 B．32 C．33 D．34‎ ‎7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（　　）‎ A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0‎ ‎8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几 组对应数据如表所示：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ a 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（　　）‎ A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5‎ ‎9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单 调递增区间（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（bmodm），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（　　）‎ A．20 B．21 C．22 D．23‎ ‎12．设函数f（x）=ex（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0使得f（x0）≤0，则a的取值范 围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=　　．‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　　．‎ ‎15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　．‎ ‎16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，‎ 设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果 计算： =　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求c的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．‎ ‎18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=anbn，求{cn}的前n项和Sn．‎ ‎19．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：‎ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4‎ 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7‎ ‎（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；‎ ‎（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至 第13次射击中获得获得优秀的次数ξ的分布列和期望．‎ ‎20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．‎ ‎21．已知函数f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+的导数，e为自然对数的底数）g（x）=+ax+b（a∈R，b∈R）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式及极值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求的最大值．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（　　）‎ A．[1，3] B．[1，3） C．[﹣3，∞） D．（﹣3，3]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合={x|﹣3≤x＜3}，‎ B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜3}=[1，3）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数，则z在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数=+i=，则z在复平面内对应的点在第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；q：M是函数f（x）的最小 值，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；‎ 能推出q：M是函数f（x）的最小值，充分性成立；‎ 由q：M是函数f（x）的最小值，推出p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；必要性成立，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　）‎ A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先根据等差中项的性质可排除C；然后可令an=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；‎ 若令an=n，则a1a8=1•8＜20=4•5=a4a5∴排除D，A．‎ 故选B ‎　‎ ‎5．已知，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角和差的三角公式求得 cosα=cos[（α+）﹣]以及sinα=sin[（α+）﹣]的值，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵，∴sin（α+）==，‎ 而 cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，‎ ‎∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，‎ 则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（　　）‎ A．6 B．32 C．33 D．34‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案．‎ ‎【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，‎ 但集合B、C中有相同元素1，‎ 由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，‎ 故所求的个数为36﹣3=33个，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（　　）‎ A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．‎ ‎【解答】解：设，其定义域为R，‎ ‎==﹣f（x），‎ ‎∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，‎ 故函数f（x）在R上是单调递增，‎ 那么：a+b≥0，即a≥﹣b，‎ ‎∴f（a）≥f（﹣b），‎ 得f（a）≥﹣f（b），‎ 可得：f（a）+f（b）≥0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几 组对应数据如表所示：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ a 若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（　　）‎ A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），‎ 则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得： =3.5，‎ 由==3.5，解得：a=4.5，‎ 表中a的值为4.5，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单 调递增区间（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由周期公式可求函数的周期T==π，利用三角函数的图象变换规律可求函数f（x）解析式，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：∵函数的周期T==π，‎ ‎∴将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣），‎ ‎∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，则函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=3×4=12，再求出函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率．‎ ‎【解答】解：∵a∈{0，1，2}，b∈{﹣1，1，3，5}，‎ ‎∴基本事件总数n=3×4=12，‎ 函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数，‎ ‎①当a=0时，f（x）=﹣2bx，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1；‎ ‎②当a≠0时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，‎ ‎∴函数f（x）=ax2﹣2bx在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（bmodm），例如10=2（bmod4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（　　）‎ A．20 B．21 C．22 D．23‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：‎ ‎①被3除余1，‎ ‎②被5除余2，‎ 最小两位数，‎ 故输出的n为22，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）=ex（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0使得f（x0）≤0，则a的取值范 围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a≥0，求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，‎ 则g′（x）=ex（3x+2），‎ ‎∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎∴x=﹣，取最小值﹣3e﹣，‎ ‎∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），‎ g（1）﹣h（1）=2e＞0，‎ 直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，‎ ‎∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a≥0，‎ ‎∴a≥，‎ a＜1，‎ ‎∴a的取值范围[，1）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=　﹣　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．‎ ‎【解答】解：∵，∴D为BC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎=）‎ ‎==﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，‎ 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（5，2）‎ 将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　3π　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，‎ 其底面为边长为1的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，‎ 将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，‎ ‎∴球的表面积为=3π．‎ 故答案为：3π．‎ ‎　‎ ‎16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，‎ 设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果 计算： =　76　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2﹣x）=8，由此能够求出所给的式子的值．‎ ‎【解答】解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，‎ 得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，‎ 令g″（x）=0，解得：x=1，‎ ‎∴函数g（x）的对称中心是（1，4），‎ ‎∴g（2﹣x）+g（x）=8，‎ 故设=m，‎ 则g（）+g（）+g（）+…+g（）=m，‎ 两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，‎ 故答案为：76．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求c的值；‎ ‎（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5，‎ ‎∴由余弦定理可得：c===7…6分 ‎（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===，‎ 又∵B∈（0，π），可得：sinB==，‎ ‎∴cos（B﹣C）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分 ‎　‎ ‎18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=anbn，求{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（I）由数列{bn}满足，anbn+1﹣bn+1=nbn．n=1时，可得a1b2﹣b2=b1，即﹣=1，解得a1．可得an=2n+1．代入anbn+1﹣bn+1=nbn．利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）cn=anbn=（2n+1）×．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵数列{bn}满足，anbn+1﹣bn+1=nbn．∴n=1时，可得a1b2﹣b2=b1，‎ 即﹣=1，解得a1=3．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎∴[（2n+1）﹣1]bn+1=nbn，可得bn+1=bn，‎ ‎∴数列{bn}是等比数列，公比为．‎ ‎∴bn=．‎ ‎（II）cn=anbn=（2n+1）×．‎ ‎∴{cn}的前n项和Sn=+7×+…+（2n+1）×．‎ ‎∴=+…+（2n﹣1）×+（2n+1）×，‎ ‎∴=3+﹣（2n+1）×=1+﹣（2n+1）×，‎ ‎∴Tn=10﹣‎ ‎　‎ ‎19．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：‎ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4‎ 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7‎ ‎（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；‎ ‎（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，以频率作为概率，请依据上述数据估计，求甲在第11至 第13次射击中获得获得优秀的次数ξ的分布列和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）利用平均数与方差计算公式可得s甲2，s乙2．即可比较出．‎ ‎（II）甲运动员命中8环及以上环数的概率P=，则甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ取值为0，1，2，3．可得P（ξ=k）=．‎ ‎【解答】解：（I）：∵x甲=（7+8+…+4）=7，‎ x乙=（9+5+…+7）=7．‎ ‎∴s甲2= [（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4，‎ s乙2= [（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]=1.2．‎ ‎∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定．‎ ‎（II）甲运动员命中8环及以上环数的概率P=，‎ 则甲在第11至第13次射击中获得获得优秀的次数ξ取值为0，1，2，3．则P（ξ=k）=，‎ P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴Eξ=3×=1.2．‎ ‎　‎ ‎20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）作AC的中点O，由A1A=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性质可得A1O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由=0，可得AC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）平面AA1C的一个法向量为，设平面A1CB的一个法向量，求出，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：作AC的中点O，∵A1A=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，‎ 又侧面AA1C1C⊥底面ABC，其交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴A1O⊥底面ABC，‎ 以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0）．‎ 则有：，，‎ ‎∵=0，∴AC⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）解：平面AA1C的一个法向量为．‎ 设平面A1CB的一个法向量，‎ 由，取z=1，得．‎ ‎∴cos＜＞=．‎ ‎∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+的导数，e为自然对数的底数）g（x）=+ax+b（a∈R，b∈R）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式及极值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出f′（1）=e，求出函数的导数，得到函数的单调性求出f（0）的值即可；‎ ‎（Ⅱ）令h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出的最大值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，‎ 令x=1，得：f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，‎ 即f（0）=1，‎ ‎∵f（0）=，‎ ‎∴f′（1）=e，‎ 从而f（x）=ex﹣x+x2，‎ ‎∴f′（x）=ex+x﹣1，‎ 又f′（x）=ex+x﹣1在R递增，且f′（0）=0，‎ ‎∴当x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，‎ 故x=0为极值点，‎ ‎∴f（0）=；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≥x2+ax+b⇔h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，‎ 得：h′（x）=ex﹣（a+1），‎ ‎①当a+1≤0时，h′（x）＞0，‎ 故y=h（x）在x∈R上递增，‎ x∈﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾，‎ ‎②当a+1＞0时，h′（x）＞0，‎ ‎∴x＞ln（a+1），h′（x）＜0，‎ ‎∴x＜ln（a+1），‎ 故x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，‎ 即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，‎ ‎∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0），‎ 令F（x）=x3﹣x2lnx（x＞0），则F′（x）=x（1﹣2lnx），‎ ‎∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜，F′（x）＜0，解得：x＞，‎ x=时，F（x）max=，‎ 即当a=﹣1，b=时，‎ ‎（a+1）b的最大值为，‎ ‎∴的最大值为：．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C转化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．‎ 由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得 x2+（y﹣2）2=4；‎ ‎（Ⅱ）由x2+（y﹣2）2=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，‎ 则圆心到直线的距离为：d==3，‎ 而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），‎ 所以点P到直线l的距离最小值为3﹣2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．‎ ‎【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；‎ ‎（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|‎ ‎∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，‎ ‎∴a=3；‎ ‎（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，‎ ‎∵m＞n＞0，‎ ‎∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，‎ ‎∴2m+﹣2n≥3，‎ 即2m+≥2n+a．‎ ‎　‎ ‎2017年1月12日