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大庆铁人中学2015--2016高二年级上学期期末考试
数学（理）试题
命题人：郭晓梅 谷淑艳 审题人：车卫东
试卷说明：
1、本试卷满分100分，考试时间120分钟
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题：（每小题5分，共计60分，每题只有一个选项符合题目要求）
1.抛物线的准线方程是（ ）
A． B. C． D．
a=c
c=b
b=a
2．将两个数交换，使，下列语句正确的是( )
b=a
a=b
c=a
a=b
b=c
a=b
b=a
A． B． C． D．
第3题
3.如图，面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD中随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为350个，试估计阴影部分的面积为（ ）
A．1.4 B.1.6 C．2.6 D．2.4
4．已知向量，，且与互相垂直，则＝（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6. 执行右面的程序框图，若输入，则输出的的值是（ ）
第6题
A． 38 B. 39 C. 18 D. 19
7.在区间内随机取个实数，则直线，直线与轴围成的面积大于的概率是（ ）.
A. B. C. D.
8.下列说法正确的个数为（ ）
①统计中用相关系数r来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱。
②回归直线一定通过样本点的中心.
③为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是和。
④将一组数据中每个数都加上或者减去同一个常数后，方差恒不变。
A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9. 袋子中装有大小相同的4个球，其中2个红球和2个白球.游戏一，从袋中取一个球，若取出的是红球则甲获胜，否则乙获胜；游戏二，从袋中无放回地取一个球后再取一个球，若取出的两个球同色则甲获胜，否则乙获胜，则两个游戏（ ）
A.只有游戏一公平 B.只有游戏二公平 C.两个游戏都不公平 D.两个游戏都公平
10. 过点的直线与椭圆交于两点, 且点平分弦,则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
11. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点所在曲线的形状为( )
A B C D 12.已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则( )
A. B.
C. D.与关系不确定
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题：（本大题包括4小题，每小题5分，共计20分，把正确答案填写在答题卡的指定位置）
13.如图是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，甲乙两人中成绩较为稳定的是_______
第13题 第14题
14. 如图，在平行六面体中，
则=______________
15. 下列4个命题中，正确的是 （写出所有正确的题号）.
（1）命题“若则”的否命题为“若则”
（2）“”是“”的充分不必要条件
（3）命题“若,则”是真命题
（4）若命题则
16.设椭圆（）的左、右焦点分别为，，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为______________
三．解答题：（本大题包括6个小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．
18.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高二名学生进行了一次“钓鱼岛”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（满分分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
(1) 填写频率分布表中的空格，补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据；
(2) 请你估算该年级学生成绩的中位数;
（3）如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90）的人中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数都在[80,90）的概率.
20.（本小题满分12分）已知动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点，过点的直线交曲线于、两点，求证：直线与直线的斜率之积为定值．
21.（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点满足条件．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与曲线分别交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）．问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
大庆铁人中学2015--2016高二年级上学期期末考试
数学（理）试题答案
1-12 BBCBA DACAB CA
13.甲
14.
15.（2）（3）
16.
17.解：命题为真时：，即: ………………… 2分
命题为假时:
命题为真时:………………… 4分
命题为假时:
由为真，为假可知: 、一真一假………………… 6分
② 真假时: ………………… 7分
②假真时: ………………… 8分
综上所述: 或………………… 10分
18.（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点
D为AC中点，PD//，
又PD平面，//平面………………… 5分
（2）取AB中点为O,中点为E点，由于为等边三角形所以，又因为是正三棱柱所以
以为原点OA为x轴，OE为y轴OC为z轴，建立空间直角坐标系.
所求二面角的余弦值为………………… 12分
19.（1）
………………… 5分
（2）设中位数为,依题意得,解得． 所以中位数约为83.125. …………………7分
（3）由题意知样本分数在[60,70)有8人，样本分数在[80,90)有16人，用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90）的人中共抽取6人，则抽取的分数在[60,70)和[80,90）的人数分别为2人和4人。
记分数在[60,70)为在[80,90）的为.
从已抽取的人中任选两人的所有可能为：共种.
设“人分数都在[80,90）”为事件，则事件包括
共6种.………………… 8分
所以………………… 12分
20.（1）设点，则，
而动点在抛物线，
代入得的方程为：．…………………4分
（2）设过点的直线为
直线L交于P、Q两点设点，直线L与曲线C
联立方程有：，
显然．
∴．………………… 6分
∵，…………… 10分
即代入得………………… 12分
21. （1）因为底面是菱形，,
所以为中点.
又因为,
所以,
所以底面. ………………… 2分
由底面是菱形可得,
可知.
以为原点OA为x轴，OB为y轴OP为z轴，建立空间直角坐标系.
由是边长为2的等边三角形，，
可得.
所以.
所以,.
由已知可得
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的大小为. …………………6分
（2）设，则
.
若使∥平面，需且仅需且平面，
解得, 13分
所以在线段上存在一点，使得∥平面.
此时=.………………… 12分
22. （1）因为满足，整理得，
∴轨迹的方程为………………… 4分
（2）联立消去得，
，由得．
设，则，………………… 6分
由题意，不妨设，
的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合………………… 8分
∴，解得，………………… 10分
即存在定值，对于满足条件，且（据（*）的任意实数，
都有的面积与的面积相等．………………… 12分
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