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揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列的前n项和为，且,则数列的公差为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（4）设D为△ABC所在平面内一点，且,则
（A） （B） （C） （D）
（5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则
（A） （B） （C） （D）b与d是异面直线
（6）若命题：“”为假命题，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（7）函数的大致图象是
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
（A） （B） （C） （D）
（8）已知且，函数满足，，则
（A） （B） （C）3 （D）2
（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是
（A）1234 （B）2017 （C）2258 （D）722
（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中
任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
（11）直线与圆交于A、B两点，O为坐标
原点，若直线OA 、OB的倾斜角分别为、，则= 图1
（A） （B） （C） （D）
（12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为
（A）29 （B）25 （C）18 （D）16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~
第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）在的展开式中，常数项是 ．
（14）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到
椭圆上点的最大距离为，则分别以为实半轴长和
虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 .
（15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 .
（16）已知正项数列的首项，且对一切的正整数，
均有:，则数 图2
列的通项公式 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，、、分别为角、、所对的边，，且．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．
（18）（本小题满分12分）
如图3，在四棱锥中，，AD∥BC，AB⊥AD，
AO=AB=BC=1，PO=，．
(Ⅰ)证明：平面POC⊥平面PAD；
(Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值． 图3
（19）（本小题满分12分）
某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布，某天有1000位顾客，请估计消费额X
（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若，则，
．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：
一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
（20）(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）、C（0, -1），N为y轴上的点，MN垂直于y轴，且点M满足（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．
(Ⅰ)求曲线T的方程；
(Ⅱ)设点P（P不在y轴上）是曲线T上任意一点，曲线T在点P处的切线l与直线
交于点Q，试探究以PQ为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．
（21）（本小题满分12分）
设a >0，已知函数(x>0)．
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
(Ⅱ)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．
（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
设函数．
(Ⅰ)若，求函数的值域；
(Ⅱ)若，求不等式的解集．
揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
D
C
B
A
B
D
A
解析：（9） 输出结果为：；
（10）；
（11）设，由三角函数的定义得：
，由消去y得：，
则，即.
（12）由结合得
（当且仅当时等号成立）
故,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在
区域内，由围成的矩形区域（含边界）整点
有25个，加上圆与坐标轴的交点4个，共29个.
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
70
30
解析：（15）.
（16）由，
，则，.
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）由，结合余弦定理得：
，-------------------------------------------------------------------------------2分
，----------------------------------------------------------------------------------3分
则，-----------------------------------------------------5分
∵ ∴. ---------------------------------------------------------------------------7分
(Ⅱ) 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理知
，-------------------------------------------------------------------9分
故,-------------------------------------------------------------------------------------------10分
则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离.---------------------------------------------------------------12分
（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC中，
∵AO//BC，AO=BC，AB⊥AD，
∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，-----------------------2分
在△POC中，∵，∴OC⊥PO，-------4分
又，∴OC⊥平面PAD，
又平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；-------------6分
（Ⅱ）解法1：由O是AD中点，PA=PD，得PO⊥AD；
以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz， ---------- 7分
得，，，，，
得，，，
设是平面PAB的一个法向量，
则，得，取z=1，
得， ----------------------------------------------------------------------------------10分
设CD与平面PAB所成角为，
则，
∴，即CD与平面PAB所成角的余弦值为． ------------------------------12分
【解法2：连结OB，
∵OD//BC，且OD=BC ∴BCDO为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分
由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
∵AB平面，∴平面PAB⊥平面PAD，----------------------------------------------------8分
E
过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，
∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，----------------------10分
在Rt△OEB中，∵,,
∴,
即CD与平面PAB所成角的余弦值为． --------------------------------------------------12分】
（19）解：（Ⅰ）依题意得，，得，， ------------ 1分
消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分
人数约为=477人， ------------------------3分
其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，
三人中中奖人数服从二项分布，
，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分
故的分布列为
0
1
2
3
P
0.064(或)
0.288(或)
0.432(或)
0.216(或)
-----------8分
（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分
B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分
方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分
（20）解：（Ⅰ）设点，依题意知，
∵，---------------------------2分
由得，即，
∴所求曲线T的方程为------------------- 4分
（Ⅱ）解法1：设，
由得
则---------------------------5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为--------6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，
得以PQ为直径的圆的方程为：------①-----------8分
在①中，令得，------------------------②
， -----------------------------------------------------------③
由②③联立解得或 --------------------------------------------------------------10分
将代入①式，左边==右边，
即以PQ为直径的圆过点，--------------------------------------------------------------------11分
将代入①式，左边右边，
∴以为直径的圆恒过点，该定点的坐标为--------------------------------------------12分
【解法2：设，由得
则 -----------------------------------------------------------------------------------------5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为-------------------------------------------6分
设是以PQ为直径的圆上任意一点，则由，
得以PQ为直径的圆的方程为：------①------------8分
假设以PQ为直径的圆过定点，
则，
，
，
，
令，上式恒成立，
∴以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为----------------------------------------------12分】
【解法3：设，由得
则------------------------------------------------------------------------------------------5分
∴直线l的方程为：
令得，即点Q的坐标为------------------------------------------6分
假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设，
则由得------① --------------------------------------8分
，，
∴，即以为直径的圆恒过定点，该点的坐标为--------------------------12分】
（21）解：（Ⅰ），----------------------------------------------------------------1分
，
，
设，则，
①当时，，，即，
∴在上单调递增； -----------------------------------------------------------------3分
②当时，，
由得，
， -----------------------------------------------------------------------------4分
可知，由的图象得：
在和上单调递增； --------------------5分
在上单调递减． ---------------------------------6分
（Ⅱ）解法1：函数在上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分
假设函数有两个零点，由（Ⅰ）知，，
因为，则，即，
由知，所以，
设，则（＊）， -----------------------------------------------------------------9分
由，得，
设，得， -------------------------------------------------10分
所以在递增，得，即，
这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分
所以上假设不成立，即函数没有两个零点． ------------------------------------------12分
【解法2：函数在上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分
由（Ⅰ）知当时，函数在上单调递增，
∴函数在上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分
当时，∵，
由（Ⅰ）知当时，有极小值，
，---------------------9分
令则，，
设，得，------------------------------------------------------10分
∴在单调递增，得，即，
可知当时，函数在不存在零点；
综上可得函数在上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）直线l经过定点，-----------------------------------------------------------------2分
由得，
得曲线的普通方程为，化简得；---5分
（Ⅱ）若，得，的普通方程为，----------------------------------6分
则直线的极坐标方程为，------------------------------------------------8分
联立曲线：．
得，取，得，所以直线l与曲线的交点为．------------10分
（23）解：（Ⅰ）当时，-------------------------------------------------1分
∵，-------------------------------------------------3分
，函数的值域为；------------------------------ 5分
（Ⅱ）当m=－1时，不等式即，------------------------------- -6分
①当时，得，解得，； --------------------- 7分
②当时，得，解得，； --------------- 8分
③当时，得，解得，所以无解； ------------------------9分
综上所述，原不等式的解集为． -----------------------------------------------------10分
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