广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）Word版含答案.docx

‎2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题 命题人、审题人：程生根，陈诗茵 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ 1． 答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．‎ ‎2．请将答案正确填写在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线x+‎3‎y-2=0‎的倾斜角为（ 　 　）‎ A． 150° B． 120° C． 60° D． 30°‎ ‎2．在空间直角坐标系O-xyz中，若点A‎1,2,1‎，B‎-3,-1,4‎，点C是点A关于xOy平面的对称点，则BC‎=‎（ ）‎ A． ‎22‎ B． ‎26‎ C． ‎42‎ D． ‎‎5‎‎2‎ ‎3.若直线‎(1-a)x+ay-3=0‎与‎(2a+3)x+(a-1)y-2=0‎互相垂直，则a等于（ ）‎ A． -3 B． 1 C．1或－3 D． 0或‎-‎‎3‎‎2‎ ‎4.如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 ‎1 cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）‎ A. ‎6‎cm B. 8cm C. ‎2‎1+‎‎3‎cmD. ‎‎2‎1+‎‎2‎cm ‎5.设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥nB. 若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 ‎m∥n C. 若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥βD. 若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 ‎α⊥β ‎6.过点p(5,3)‎作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）A.B.‎ C.D.‎ ‎7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为（）(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积．‎ 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 参考公式：V=‎1‎‎3‎(S上+S下+S上S下)h,‎其中S上‎,‎S下分别表示上、下底面的面积,h为高)‎ A． 2 寸 B． 3 寸 C． 4 寸 D． 5 寸 ‎8.已知两点 A‎0,-3‎，B‎4,0‎，若点 P 是圆 x‎2‎‎+y‎2‎-2y=0‎ 上的动点，则 ‎△ABP 面积的最小值是（ ）‎ A. ‎6‎B. ‎11‎‎2‎C. ‎8‎D.‎‎21‎‎2‎ ‎9.已知过球面上、、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,AB=BC=CA=2,则球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知圆C:x‎2‎+y‎2‎=3‎，从点A‎-2,0‎观察点 B‎2,a，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是 （ ）‎ A.‎-∞,-‎‎4‎‎3‎‎3‎‎∪‎‎4‎‎3‎‎3‎‎,+∞‎B. ‎‎-∞,-2‎‎∪‎‎2,+∞‎ C. ‎-∞,-2‎‎3‎‎∪‎‎2‎3‎,+∞‎D. ‎‎-∞,-4‎‎3‎‎∪‎‎4‎3‎,+∞‎ ‎11.已知圆 C:x‎2‎+y‎2‎=2‎，直线 l:x+2y-4=0‎，点 Px‎0‎‎,‎y‎0‎ 在直线l上，若存在圆 C 上的点Q，使得‎∠OPQ=‎‎45‎‎∘‎（O 为坐标原点），则 x‎0‎ 的取值范围是 （ ）‎ A. ‎0,1‎B. ‎0,‎‎8‎‎5‎C. ‎-‎1‎‎2‎,1‎D. ‎‎-‎1‎‎2‎,‎‎8‎‎5‎ ‎12.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将‎△ADE沿直线 DE翻转为‎∆A‎1‎DE．若M为线段A‎1‎C的中点，则在‎△ADE翻转过程中，有下列命题：‎ ‎① BM 是定值； ‎ ‎②点M 在圆上运动；‎ ‎③一定存在某个位置，使 DE⊥A‎1‎C；‎ ‎④若，则MB∥平面A‎1‎DE．‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.圆的一条经过点（-2，1）的切线方程为  ．‎ 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 ‎14.设圆C‎1‎的方程为‎(x-5)‎‎2‎‎+‎(y-3)‎‎2‎=9‎，圆C‎2‎的方程x‎2‎‎+y‎2‎-4x+2y-9=0‎，则两圆的关系为___________.‎ ‎15.已知圆锥的顶点为S，母线 SA，SB 互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 ‎30‎‎∘‎，若‎△SAB 的面积为 ‎8‎，则该圆锥的体积为  ．‎ ‎16.M是直线x+2y-4=0‎上的一个动点，点A、B的坐标分别为（-1，0）、B（1，0），则|MA|+|MB|的最小值为. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 第17题图 P B A M D C 如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,,‎ 底面,且,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面；‎ ‎（Ⅱ）求证:.‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ 如图,已知四边形是矩形,是坐标原点,、、、按逆时针排列,的坐标是‎(4,3)‎,.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求所在直线的方程；‎ ‎（3）求DABC的外接圆方程.‎ 第18题图 19. ‎(本小题满分12分)‎ 已知图 ‎1‎ 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB 于 M 、交 EF 于点 N，DN=3‎‎3‎，MN=‎‎3‎，现将梯形 DCFE 沿 EF 折起，记折起后 C，D 为 Cʹ‎，Dʹ‎ 且使 DʹM=2‎‎6‎，如图 ‎2‎ 示．‎ ‎（1）证明：DʹM⊥平面ABFE；‎ ‎（2）若图 ‎1‎ 中，‎∠A=‎‎60‎‎∘‎，求点 M 到 平面 AEDʹ‎ 的距离．‎ 第19题图 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 ‎20、(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是平形四边形，设，，点为的中点，且.‎ ‎（1）若，求二面角的正切值；‎ ‎（2）是否存在使，若存在求出，若不存在请说明理由。‎ 第20题图 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，E,F,G分别是AB,CC‎1‎,AD的中点.‎ ‎（1）求异面直线EG与B‎1‎C所成角的大小；‎ ‎（2）棱CD上是否存在点T，使AT//‎平面B‎1‎EF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 第21题图 ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图，过点E(1,0)‎的直线与圆O:x‎2‎+y‎2‎=4‎相交于A,B两点，过点C(2,0)‎且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．‎ ‎（1）当点B坐标为‎(0,-2)‎时，求直线CD的方程；‎ ‎（2）求四边形ACBD面积S的最大值．‎ 第22题图 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 佛山一中2018-2019学年高二上学期期中考试答案 数学（理科）‎ 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D C B D C A B A D B C 二、 填空题 ‎13. 2x-y+5=0 14. 相交 15. ‎8π 16. 4‎ 三、 解答题 ‎17. 解:(Ⅰ) 取的中点,连结,…………1分 ‎ 因为为的中点,所以,又…………2分 ‎ 所以,所以四边形为平行四边形, ‎ ‎ 所以,………………………………………4分 第17题答案图 E P B A M D C H ‎ 又平面,平面,‎ ‎ 所以平面.………………………………5分 ‎ （Ⅱ）在直角梯形中,,,‎ ‎,,过作于,‎ 由平几知识易得,‎ 所以,所以……………………7分 又 底面,底面,‎ 所以…………………9分 又,所以平面.‎ ‎，所以有.…………………10分 ‎18.解：（1）因为四边形是矩形,所在直线的斜率 ‎ 所以的斜率为,所在的直线方程为,………………1分 ‎ 因为,设,‎ 则, ……………………3分 所以(舍去),所以点的坐标为.……………………4分 ‎ 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 ‎（2）因为与平行, 所以所在直线的斜率…………6分 所以所在直线的方程为,即………8分 ‎（3）解法一：由题意知DABC的外接圆也是矩形ABCO的外接圆，所以线段AC的中点即为圆心，半径………………………………9分 因为，所以圆心坐标为…………………10分 又，所以半径……………11分 所以DABC外接圆的方程为…………………12分 解法二：因为AB所在直线方程为，即 联立直线AB与BC的方程得点B的坐标为 又线段BC的中点坐标为，其中垂线的斜率，‎ 故，同理得线段AB的中垂线 联立直线和的方程得DABC外接圆圆心坐标为，设半径为r,‎ 则 所以DABC外接圆的方程为 给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.‎ ‎19.解：（1） 因为 AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB，‎ 所以 DM⊥EF，即 DʹN⊥EF，MN⊥EF，…………………1分 又 DʹN∩MN=N，MN⊂平面DʹMN，DʹN⊂平面DʹMN，‎ 所以 EF⊥平面MNDʹ‎，又因为 DʹM⊂平面DʹMN，‎ 所以 EF⊥DʹM，…………………3分 因为 DʹM=2‎‎6‎，DʹN=3‎‎3‎，MN=‎‎3‎，‎ 所以 DʹM‎2‎+MN‎2‎=Dʹ‎N‎2‎，所以 DʹM⊥MN，…………………5分 又 MN∩EF=N，MN⊂平面ABFE，EF⊂平面ABFE，‎ 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 所以 DʹM⊥平面ABFE．…………………6分 ‎（2） 在 Rt△ADM 中，因为 ‎∠A=‎‎60‎‎∘‎，DM=4‎‎3‎，‎ 所以 AM=4‎，AD=8‎，…………………7分 因为 EF∥AB，所以 DEAE‎=DNMN=3‎，‎ 所以 DE=6‎，AE=2‎，…………………8分 所以 VDʹ-AEM‎=‎1‎‎3‎S‎△AEM⋅DʹM‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2×sin‎60‎‎∘‎×2‎‎6‎‎=4‎2‎,‎‎…………………9分 在 Rt△ADʹM 中，ADʹ=AM‎2‎+Dʹ‎M‎2‎=2‎‎10‎，所以 DʹE‎2‎+AE‎2‎=AD‎ʹ‎‎2‎，‎ 所以 DʹE⊥AE，S‎△AEDʹ‎‎=‎1‎‎2‎AE⋅DʹE=6‎，…………………10分 设点 M 到平面 AEDʹ‎ 的距离为 h，‎ 则 VM-AEDʹ‎‎=‎1‎‎3‎S‎△AEDʹ‎⋅h=2h，‎ 所以 ‎2h=4‎‎2‎，解得 h=2‎‎2‎，‎ 所以点 M 到平面 AEDʹ‎ 的距离为 ‎2‎‎2‎．…………………12分 ‎20.解：（1）连接，因为是平形四边形，所以，‎ 又，，由余弦定理得，所以 所以，即…………………2分 又因为，，所以，‎ 又，所以 因为，所以 所以是二面角的平面角，…………………4分 在中，，即二面角的正切值为2.…6分 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 ‎（2）解法一：假设存在使 由（1）知，，所以，‎ 因为，所以…………………………8分 设在平行四边形中，‎ 所以……………………9分 设，由得 解得，故…………………10分 所以 所以有，故 即存在，使…………………12分 解法二：假设存在使 由（1）知，，所以，‎ 因为，所以，设 在中，‎ 在中，‎ 在平行四边形中，，所以 所以 因为，所以，‎ 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 即，解得 又，所以.‎ 即存在，使 ‎21.解：（1）连接BD,B‎1‎D,CD‎1‎.‎ 因为E,G分别是AB,AD的中点，所以EG//BD.………………2分 又因为B‎1‎D‎1‎‎//BD.所以‎∠CB‎1‎D‎1‎为异面直线EG与B‎1‎C所成角. ‎ 第21题答案图 在ΔCB‎1‎D‎1‎中，因为CB‎1‎=B‎1‎D‎1‎=CD‎1‎,所以‎∠CB‎1‎D‎1‎=60°‎.……………5分 ‎（2）在棱CD上取点T，使得DT=‎1‎‎4‎DC，则AT//‎平面B‎1‎EF.……………6分 证明如下:延长BC,B‎1‎F交于H，连EH交DC于K. …………………7分 因为CC‎1‎//BB‎1‎，F为CC‎1‎中点，所以C为BH中点.‎ 因为CD//AB，所以KC//AB，且KC=‎1‎‎2‎EB=‎1‎‎4‎CD. …………………9分 因为DT=‎1‎‎4‎DC，E为AB中点，所以TK//AE且TK=AE，‎ 即四边形AEKT为平行四边形，‎ 所以AT//EK，即AT//EH. …………………11分 又EH⊂‎平面B‎1‎EF，AT⊄‎平面B‎1‎EF，‎ 第21题答案图 所以AT//‎平面B‎1‎EF.此时…………………12分 ‎22.解：（1）当点B坐标为‎0,-2‎时，直线AB的斜率为‎0-‎‎-2‎‎1-0‎‎=2‎，‎ 因为CD与AB垂直，所以直线CD的斜率为‎-‎‎1‎‎2‎，…………………3分 所以直线CD的方程为y=-‎‎1‎‎2‎x-2‎，即x+2y-2=0‎．…………………4分 ‎（2）当直线AB与x轴垂直时，AB=2‎3‎,CD=4‎，‎ 所以四边形ACBD面积S=‎1‎‎2‎AB·CD=4‎‎3‎．…………………6分 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx-1‎，即kx-y-k=0‎，‎ 则直线CD方程为y=-‎‎1‎kx-2‎，即x+ky-2=0‎…………………7分 点O到直线AB的距离为‎|k|‎k‎2‎‎+1‎，‎ 所以AB=2‎4-‎‎(‎|k|‎k‎2‎‎+1‎)‎‎2‎=2‎‎3k‎2‎+4‎k‎2‎‎+1‎，‎ 点O到直线CD的距离为‎2‎k‎2‎‎+1‎，所以CD=2‎4-‎‎(‎2‎k‎2‎‎+1‎)‎‎2‎=4‎k‎2‎k‎2‎‎+1‎，………………9分 则四边形ACBD面积S=‎1‎‎2‎AB·CD=‎1‎‎2‎·2‎3k‎2‎+4‎k‎2‎‎+1‎·4k‎2‎k‎2‎‎+1‎=4‎‎(3k‎2‎+4)‎k‎2‎‎(k‎2‎+1)‎‎2‎，………10分 令k‎2‎‎+1=t>1‎（当k=0‎时四边形ACBD不存在），‎ 所以S=4‎3t+1‎t-1‎t‎2‎=4‎4-‎‎(‎1‎t+1)‎‎2‎∈‎‎0,4‎‎3‎，…………………11分 故四边形ACBD面积S的最大值为‎4‎‎3‎．…………………12分 佛山一中2018-2019学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题第10页共10页