1
知识点 35 与圆的有关计算
一、选择题
1. （2018 山东滨州，8，3 分）已知半径为 5 的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为∠ABC＝25°，故劣弧 所对应的圆心角∠AOC＝50°，故劣弧 的长为： ·2π·5＝
．
【知识点】圆心角与圆周角的关系、弧长公式
2. （2018 四川绵阳，9，3 分） 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成， 若用毛毡搭建一个底面圆面积为
25πm2，圆柱高为 3m，圆锥高为 2m 的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A.（ ）πm2 B.40πm2 C.（ ）πm2 D.55πm2
【答案】A.
【解析】解：∵蒙古包底面圆面积为 25πm2，
∴底面半径为 5 米，
∴圆柱的侧面积为π×2×5×3=30πm2.
∵圆锥的高为 2m，
∴圆锥的母线长为 m，
∴圆锥的侧面积为π×5× =5 πm2，
∴需要毛毡的面积为 30π+5 π=（30+5 ）πm2.
故选 A.
【知识点】勾股定理，圆面积公式，扇形面积公式，圆柱的侧面积
3. （2018 四川省成都市，9，3）如图，在ABCD 中，∠B＝60°，⊙C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【答案】C
【解题过程】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，∴
阴影部分的面积＝ ＝3π．故选择 C．
【知识点】平行四边形的性质；扇形面积
4. （2018 四川广安，题号 9，分值 3）如图，已知⊙O 的半径是 2，点 A，B，C 在⊙O 上，若四边形 OABC 为菱形，
25
36
π 125
36
π 25
18
π 5
36
π
AC AC 50
360
°
°
25
18
π
29530 + 21530 +
2925 22 =+
29 29
29 29
2120 3
360
π ×2
则图中阴影部分的面积为（ ）
A. π-2 B. π- C. π-2 D. π-
第 9 题图
【答案】C.
【思路分析】首先连接 AC，再结合菱形的性质及圆的知识得△ABO 是等边三角形，可知∠AOC=120°，进而根据
勾股定理求出 AC，然后根据扇形的面积公式和菱形的面积公式计算，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积-菱
形的面积得出答案即可.
【解题过程】如图所示.连接 AC，交 BD 于点 D，
∵四边形 OABC 是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AB，AC=2AD，BO=2DO.
∵AO=BO，
∴AO=BO=AB，
∴△ABO 是等边三角形，则∠AOB=60°，同理∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°.
∵AO=2，DO=1，
在 Rt△ADO 中，AD= .
可知 BO=2，AC=2 ，
∴S 扇形 AOC= = ，S 菱形 OABC= ×2×2 =2 .
则阴影部分的面积= S 扇形 AOC-S 菱形 OABC= - .
第 9 题图
【知识点】菱形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质
5. （2018 山东省淄博市，9，4 分）如图，⊙O 的直径 AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧 AC 的长为
（A）2π （B） （C） （D）8
3
π 3
4
π 4
3
π3
【答案】D
【思路分析】连接 OC，通过∠BAC 的度数求出∠AOC 的度数，进而通过弧长公式求解.
【解题过程】连接 OC，∵∠BAC=50°，∴∠AOC=80°，∴ ，故选 D.
【知识点】弧长公式；圆周角与圆心角关系
6.（2018 宁波市，9 题，4 分） 如图，在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4，以点 B 为圆心，BC 长为半径画
弧，交边 AB 于点 D，则 的长为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=30°
∴∠B=60°;AD=BD=BC
∴lCD=
【知识点】特殊角的三角函数、弧长公式
1. （2018 湖南益阳，7，4 分）如图，正方形 ABCD 内接于圆 O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（ ）
（第9题图）
A
O B
C
80 3 4
180 3ACl
π π× ×= =
（第9题答案图）
A
O B
C
D
C
A B4
A．4π－16 B．8π－16 C．16π－32 D．32π－16
【答案】B
【解析】连接 OA，OB．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠AOB=90°．
设 OA=OB=r，则 r2＋r2=42．
解得: r= ．
S 阴影=S⊙O－S 正方形 ABCD
=
=8π－16
故选择 B．
【知识点】与圆有关的计算，正多边形与圆
2. （2018 四川遂宁，6，4 分） 已知圆锥的母线长为 6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为 120
°，则扇形的面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【答案】C.
【解析】解：根据题意可得扇形的面积为 .
故选 C.
【知识点】扇形的面积计算公式
3. （2018 甘肃天水，T5，F4）已知圆锥的底面半径 2cm，母线长为 10cm，则这个圆锥的面积是（ ）
A.20πcm2 B.20cm2 C.40πcm2 D.40cm2
【答案】A.
【解析】S 圆锥侧= Rl= ×10×2×π×2=20π（cm2）.
2 2
22 2 4 4π × − ×（ ）
ππ 126360
120 2 =×°
°5
【知识点】圆锥侧面积
4. （2018 甘肃天水，T7，F4）如图所示，点 A、B、C 在⊙O 上.若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A.π-4 B. π-1 C.π-2 D. π-2
【答案】C.
【解析】∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°.
则 S 扇形 BOC= =π，
SRt△BOC= BO·CO= ×2×2=2.
则阴影部分的面积为 S 扇形 BOC- SRt△BOC=π-2.
【知识点】扇形面积，圆周角定理
5. （2018 贵州遵义，8 题，3 分）若要用一个底面直径为 10，高为 12 的实心圆柱体，制作一个底面半径和高分
别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为
A.60π B.65π C.78π D.120π
【答案】B
【解析】圆锥的侧面是一个扇形，该扇形面积可以用 来求，其中，l 为扇形的弧长，即圆柱的地面周长，
所 以 l=10π ， r 为 扇 形 的 半 径 ， 即 圆 柱 底 面 圆 心 到 另 一 个 底 面 圆 周 上 一 点 的 距 离 ， 如 图 所 示
，所以 ，选 B
【知识点】勾股定理，扇形面积
1
2S lr=
2
2 1012 132r = + =
1 1= 10 13=652 2S lr π π= ⋅ ⋅
12
106
6.（2018 山东德州，9，3 分）如图,从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，则此扇形
的面积为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】连接AC，因为∠ABC=90°，所以 AC 为⊙O 的直径，所以 AC=2，所以 AB= ，所以扇形的面
积为 . 故选 A.
【知识点】圆周角定理的推论，扇形面积
7. （2018 四川自贡，11，4 分）已知圆锥的侧面积是 ，若圆锥底面半径为 ，母线长为 ，
则 关于 的函数图象大致是（ ）
【答案】A
【解析】∵圆锥的侧面积公式为 ，∴ ， ，故选择 A.
【知识点】圆锥的侧面积，反比例函数的图象
2m
2
2 m
π 23
2 mπ 2mπ 22 mπ
2 22 AC =
2
290 ( 2)
360 2 m
π π× =
28 cmπ ( )R cm ( )l cm
R l
ππ 8=Rl 8=Rl )0(8 >= llR
第 9 题图
第 9 题答图
l
R
O
A
l
R
O
B
l
R
O
C
l
R
O
D7
8. （2018 四川凉山州，11，4 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 C，OA＝OB，⊙O 的直径为 6cm，AB＝6 cm，则阴
影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接 OC，∵AB 与⊙O 相切于点 C，则可得 OC 垂直于 AB,又因为 OA=OB,则 AC=BC(三线合一),BC＝
cm,⊙O 的直径为 6cm，∴BC＝3，再根据三角形面积公式，计算则阴影部分的面积为，∵可判定出∠COB=60°，
得∠AOB=120°， 则阴影部分的面积为：△AOB 的面积与圆面积的三分之一的差.故答案为 C.
(第 11 题答图)
【知识点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面积公式.
9.（2018 广西玉林，11 题，3 分）圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇
形的圆心角是
A.90° B.120° C.150° D.180°
【答案】
【解析】因为圆锥的主视图与左视图都是边长为 4 的等边三角形，所以圆锥的底面直径为 4，底面周长为 4π，
即侧面展开图扇形的弧长，同时可得出该扇形的半径为 4，设圆心角为 n，由弧长公式可得 ，所以
n=180，故选 D
【知识点】三视图，弧长公式
二、填空题
1. （2018 浙江金华丽水，16，4 分）如图 1 是小明制作的一副弓箭， 点A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，
弓弦 BC=60cm．沿 AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图 2，当弓箭从自然状
态的点 D 拉到点 D1 时，有 AD1=30cm， ∠B1D1C1=120°．
（1）图 2 中，弓臂两端 B1，C1 的距离为 cm．
3
( ) 29 3 cmπ− ( ) 29 3 2 cmπ− ( ) 29 3 3 cmπ− ( ) 29 3 4 cmπ−
3 3
4 4180
n π π⋅ ⋅ =8
（2）如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2 为半圆，则 D1D2 的长为 cm．
【答案】（1）30 ；（2）10 －10．
【解析】（1 ）连结B1C1 交 AD1 于 E ，则 AD1 垂直平分 B1C1 ．在 Rt △B1D1E 中, ∵∠ B1D1C1=120° ，∴∠
B1D1E=60°．∵B1D1=30，∴B1E=15 ．∴B1C1 =30 ．故答案为 30 ；
（2）图 2 中，∵AD1=30cm， ∠B1D1C1=120°，∴弓臂 B1AC1 的长= =20π．
图 3 中，∵弓臂 B2AC2 为半圆，∴20π= dπ，∴半圆的半径 d =20．
连结 B2C2 交 AD2 于 E1，则 AD2 垂直平分 B2C2．
在 Rt△B2D2E1 中, D2E1 = = =10 ．∴AD 2=10 ＋20．
∵AD1=30cm，∴D1D2 = AD 2－AD1=10 －10．故答案为 10 －10．
【知识点】勾股定理；特殊角的锐角三角函数值；弧长公式；
2. （2018 甘肃白银，17，4）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一
段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形。若等边三角形的边长为 ，则勒洛三角形的周长为： 。
【答案】
【思路分析】每段圆弧的半径等于 ，圆心角都等于 60°，由弧长公式可求，然后再乘以 3 即可。
【解题过程】如图，∵AB=BC=CA= ，∠A=∠B=∠C=60°。
3 5
3 3 3
120 30
180
π⋅ ⋅
1
2
1
2
2 2
2 2 2 1( ) ( )D E B E− 2 230 20− 5 5
5 5
a
aπ
a
a
第 16 题图
D1
图 1 图 2 图 3
B1
A
C
D
B
C1
A
C
B
D
B
C
A
D1 D2D
B1B2
C1
C2
第 17 题图9
弧 BC 的半径为 ，圆心解为∠A=60°，由弧长公式得：弧 BC= =
所以勒洛三角形的周长= ×3= 。
故填 。
【知识点】弧长公式，等边三角形的性质，新概念的理解。
3. （2018 江苏连云港，第 13 题，3 分）一个扇形的圆心角是 120°，它的半径是 3cm，则扇形的弧长为
__________cm.
【答案】2π
【解析】解：由弧长公式，得： =2π，故答案为：2π.
【知识点】弧长公式
4. （2018 山东聊城，15，3 分）用一块圆心角为 216°的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略
不计），那么这个扇形铁皮的半径是 cm.
【答案】50
【解析】设这个扇形铁皮的半径是 xcm，则圆锥的底面半径是 （cm），由题意得
，
∴x=50（-50 舍去），
即这个扇形铁皮的半径是 50cm.
【知识点】圆的周长公式、扇形的弧长公式、勾股定理
5. （2018 山东潍坊，17，3 分）如图，点 A1 的坐标为（2，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l： 于点
B1，以原点 O 为圆心，OB1 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2；再过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2，
以原点 O 为圆心，以 OB2 的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3；…．按此作法进行下去,则 的长
是 .
a 60
180 180
n r aπ π=
3
aπ
3
aπ aπ
aπ
120π 3
180
×
216 3
360 5x x=
2 2 23( ) 405x x− =
3y x=
2019 2018A B
第 17 题答图10
【答案】
【思路分析】根据直线 l 的解析式先求出圆心角的度数，结合 OA1，OA2，OA3 的长度得出 OA2019 的长度，即扇形
的半径，利用弧长公式进行计算即可.
【解题过程】把 x=2 代入 可得 ， ，∴∠A1OB1=60°.
由 OA1=2，得 OB1=2OA1=4，故 OA2=4，同理可得 OA3=8，以此类推，可得 OA2019=22019
∴ 的长=
【知识点】弧长计算，规律探索，一次函数
6.（2018 浙江绍兴，13，3 分） 如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪， ， 是圆上的点， 为圆心，
，从 到 只有路 ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路 .通过计算
可知，这些市民其实仅仅少走了 步（假设 1 步为 0.5 米，结果保留整数）．（参考数据： ，
取 3.142）
（第 13 题图）
【答案】15
【解析】过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，由 ，可得∠A=30°在△AOB 中，∠A=30°OA=20m，可得 AC=
，即 AB= ≈34.64m≈69 步； = ≈41.89m≈84 步， -AB=84-69=15 步。
20192
3
π
3y x= 2 3y = 1 1
2 3tan 32AOB∠ = =
2019 2018A B
2019 201960 2 2
180 3
π π⋅ =
A B O
120AOB∠ = A B AB AB
3 1.732≈
π
120AOB∠ =
10 3 20 3 AB 120 3.142 20
180
× ×
AB11
（第 13 题答图）
【知识点】解直角三角形、弧长公式、弦的垂直平分线的性质
7. （2018·重庆 B 卷，14，4）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交对角
线 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 π）．
【答案】8－2π．
【解析】∵正方形 ABCD 的边长为 4，
∴∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，AB＝AD＝4．
∴S 阴影＝SRt△ABD－S 扇形 BAE＝ ×4×4－ ＝8－2π．
【知识点】圆的有关计算 扇形面积 正方形
8. （2018 江苏省盐城市，15，3 分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分．右
图中，图形的相关数据：半径 OA＝2cm, ∠AOB＝120°．则右图的周长为 ___________cm（结果保留 π）.
【答案】
【解析】∵半径 OA＝2cm, ∠AOB＝120°∴ 的长＝ ＝ ， 的长＋ 的长＝ ，∴右图的周
长＝ ＋ ＝ .
【知识点】弧长公式
9.(2018 山东青岛中考，13，3 分)如图， ，∠B=90°，∠C=30°， 为 上一点， ，以 为圆
1
2
245 4
360
π ⋅
BA
O
8
3
π
AB 120 2
180
π⋅ ⋅ 4
3
π
AO OB 4
3
π
4
3
π 4
3
π 8
3
π
Rt ABC∆ O AC 2OA = O
14 题图12
心，以 为半径的圆与 相切于点 ，与 相交于点 ，连接 ，则图中阴影部分的面积
是 ．
【答案】
【解析】如图，作 OG⊥AB 于 G ，∵∠B=90° ，∠C=30° ，∴∠A=60° ．∵OA=OF ，∴△OAF 是等边三角形，
∴AF=OA=2 ，AG=1 ，∠AOF=60°，∴OG= ．∵BC是⊙O 的切线，∴OE⊥BC ，∴四边形 OEBG 是矩形．∴BG=OE=2 ，
∴AB=3 ． ∵tanC= ， 即 = ， ∴BC=3 ． S 阴 影 = ×3×3 － ×2× － =
．
【知识点】切线的性质；等边三角形的性质与判定；矩形的判定与性质；锐角三角函数；扇形面积公式；阴影
部分面积的计算；
10. （2018 山东烟台，18，3 分）如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，点 M 为 AF 的中点．以点 O 为圆心，以
OM 的长为半径画弧得到扇形 MON，点 N 在 BC 上；以点 E 为圆心，以 DE 的长为半径画弧得到扇形 DEF．把扇形 MON
的两条半径 OM，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为 ；将扇形 DEF 以同样的方法围成圆锥的底面半
径记为 ，则 = .
OA CB E AB F OE OF、
7 3 4
2 3
p-
3
AB
BC
3
BC
3
3 3 1
2 3 1
2 3
2120 2
360
p´
7 3 4
2 3
p-
1r
2r 1 2:r r13
【答案】
【解析】连接 AO，OF，由题意，∠MON=∠DEF=120°，△AOF 为等边三角形．设 AF=2a=DE，∴AM=MF=a，∴
OM= ．∵2πr1= ，2πr2= ，∴ = ．
【知识点】正多边形的计算；圆锥的有关计算公式；弧长公式.
11. （2018 浙江温州，12，5）. .已知扇形的弧长为 2π，圆心角为 60°，则它的半径为 .
【答案】6
【解析】利用扇形的弧长公式 所以得 ，所以 r=6
【知识点】扇形的弧长公式
1. （2018 湖北鄂州，13，3 分） 一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，若该圆锥的底面圆的半径
为 4cm，则圆锥的母线长为 ．
【答案】24cm．
【解析】设母线长为 R，由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得， ，
解得 R＝24，即圆锥的母线长为 24cm．
【知识点】圆锥侧面展开图；弧长公式；圆面积公式
2. （2018 湖北鄂州，15，3 分）在半径为 2 的⊙O 中， 弦 AB＝2，弦 AC＝2 ，则由弦 AB、AC 和∠BAC 所对的
圆弧 围成的封闭图形的面积为 ．
3 : 2
3a 120 3
180
ap´ 120 2
180
ap´
1 2:r r 3 : 2
180
π= n rl 602 180
ππ = r
120 2 4
180
Rπ π× = ×
3
BC14
【答案】2 ＋2 ．
【解析】如下图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝2 ，AC＝4，则 AB2＋BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理得△ABC 是直
角三角形，且∠ABC＝90°，则由圆周角定理的推论可得 AC 是⊙O 的直径，故由弦 AB、AC 和∠BAC 所对的圆弧
围成的封闭图形的面积为 S△ABC ＋ S⊙O＝ AB·BC＋ ·R2＝ ×2×2 ＋ ·22＝2 ＋2 ．
【知识点】圆的面积；勾股定理的逆定理；三角形的面积
3. （2018 湖南郴州，15，3）如图，圆锥的母线长为 10 ，高为 8 ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧
长为 .（结果用 表示）
【答案】12
【解析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆周长＝π×底面半径×2，把相应数值代入即可求
解．∵圆锥的高是 8cm，母线长 10cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为 6cm，∴该圆锥的侧面展开图（扇形）的
弧长为：2×6π=12πcm．
【知识点】圆锥的侧面开展图的弧长
4. （2018·重庆 A 卷，14，4）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝2，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，
交 AB 于点 E，图中阴影部分的面积是 （结果保留 π）．
【答案】6－π．
3 π
3
BC
1
2
1
2
1
2
π 1
2
3 1
2
π 3 π
cm cm
cm π
π
14 题图15
【解析】∵S 阴影＝S 矩形 ABCD－S 扇形 ADE＝3×2－ ＝6－π，∴答案为 6－π．
【知识点】．圆的有关计算；扇形面积
5.（2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，12，5 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为 2，则图中阴
影部分的面积是 ．
【答案】 π．
【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠A＝60°．∴∠BOC＝2∠A＝120°．∵⊙O 的半径为 2，∴S 阴影＝S
扇形 OBC＝ ＝ π．故答案为 π．
【知识点】圆的有关计算；扇形面积；等边三角形；圆周角定理
6.（2018 贵州安顺，T16，F4）如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，∠BOC = 60°, ∠BCO =
90°, 将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B’OC',点 C'在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部 分）的
面积为______cm2.(结果保留π)
第 16 题图
【答案】
【解析】∵∠BOC=60°，△B＇OC'是△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的，∴∠B＇OC'=60°，△BOC≌△B＇OC'.∵∠
BCO=90°，∴∠B＇C'O=90°，∠B＇OC=60°，∠C' B＇O=30°.∴∠B＇OB=120°.∵AB=2cm，cos∠BOC=
,∴OB=1cm，OC=OC’= .∴ cm²， cm².
∵阴影部分的面积= + -( + )= - = cm².故答案为 .
【知识点】旋转的性质，扇形面积的计算，特殊角的三角函数值.
290 2
360
π ⋅
4
3
2120 2
360
π⋅ ⋅ 4
3
4
3
4
π
1
2
OC
OB
= 1
2
π × π= =
2
扇形 '
120 1
360 3B OBS
π × π= =
2
扇形 '
1120 ( )2
360 12C OCS
扇形 'B OBS △ ' 'B OCS △BOCS 扇形 'C OCS
π
3
π
12
π
4
π
416
7. （2018 湖北荆门，15，3 分）如图，在平行四边形 中， ， ， ，以 为
直径的 交 于点 ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】 .
【解析】解：连接 OE，过 O 点作 OF⊥BE，垂足为 F.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠D=∠A=30°，
∴OB=2.
∵OF⊥BE，
∴OF=1，BF= ，∠BOF=60°，
∴∠BOE=120°，BE=2 ，
∴S 阴影=S 扇形 OBE-S△OBE= = .
故答案为 .
【知识点】平行四边形的性质，含 30°角的直角三角形的性质，扇形面积计算公式，三角形面积计算公式
8. （2018 湖南省永州市，16，4）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1，1)，以点 O 为旋转中心，将点 A 逆
时针旋转到点 B 的位置，则弧 AB 的长为 ．
ABCD AB AD< 30D∠ = 4CD = AB
O BC E
33
4 -π
3
3
2
1322360
120 2 ××°
°
-π 33
4 -π
33
4 -π
x
y
A
B
O17
【答案】 π
【解析】由点 A（1，1），可得 OA= = ，点 A 在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧
长公式计算，弧 AB 的长为 π= π．因此，本题填： ．
【知识点】弧长的计算 坐标与图形变化 图形的旋转
9.（2018 河南，14，3 分）如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△
,其中点 B 的运动路径为弧 BB′，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【思路分析】本题是计算阴影部分的面积，解题的关键是观察出阴影
部分的面积表示. 连接 和 BD，由旋转及勾股定理可得 ＝BC
＝2， ＝ＣD＝1, ＝BD＝ ＝ ，也易得四边形
是梯形，再根据 ＝ + ― ― ＝ ―
，然后利用扇形及梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解题过程】解法一：如图所示，连接 和 BD．
∵∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,将△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△
∴ ＝ＣD＝1, ＝BC＝2,∠ ＝∠ ＝∠ ＝90°, △ ≌△BCD
∴ ＝BD＝ ＝ .ＣD∥
∴ ＝ + ― ―
＝ ―
＝ ―
＝
故答案为
解法二：如图所示，连接 、BD、 ．
∵∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,将△ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90°得到△
2
4
2 21 1+ 2
45 2
180
× 2
4
2
4
A B C′ ′ ′
3
2
－5 π4
B D′ B C′ ′
C D′ B D′ 2 21 2+ 5 B C DC′ ′
S阴影 BDBS ′扇形 B C DS ′ ′△ B C DCS ′ ′梯形 BCDS△ BDBS ′扇形
B C DCS ′ ′梯形
B D′
A B C′ ′ ′
C D′ B C′ ′ CDC′ C′ B DB′ B C D′ ′
B D′ 2 21 2+ 5 B C′ ′
S阴影 BDBS ′扇形 B C DS ′ ′△ B C DCS ′ ′梯形 BCDS△
BDBS ′扇形 B C DCS ′ ′梯形
( )2
90 5
360
π ( )1 1+2 12
× ×
－5 3π4 2
－5 3π4 2
B D′ B B′
A B C′ ′ ′
B'
A'
C'
D
B
C
A
（第 14 题）
B'
A'
C'
D
B
C
A
（第 14 题）18
∴ ＝ＣD＝1, ＝BC＝2,∠ ＝∠ ＝∠ ＝90°,
∴ ＝BD＝ ＝ .ＣD∥
＝ ＝ ＝
∴ ＝ ― +
＝ ― +
＝
故答案为
【知识点】旋转的性质，勾股定理，扇形面积的计算，梯形面积的计算
10. （2018 湖北省孝感市，12，3 分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： ），根据图中数据计算，
这个几何体的表面积为 ．
【答案】16π
【解析】由三视图可判断出该几何体是圆锥，该圆锥的母线长为 6cm，底面半径为 2cm，故该圆锥的表面积=
πrl+＋π =π×2×6+π× =16π.
【知识点】由三视图判断几何体；圆锥的表面积.
11. （2018 江苏省宿迁市，13，3）已知，圆锥的底面半径为 3cm，高为 4cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
【答案】15π
【解析】∵圆锥的底面半径为 3cm，高为 4cm，∴母线长为 5，底面周长是 6π．∴侧面积为 ×5×6π＝15π
（cm2）．故填 15π．
【知识点】圆锥的侧面积
12. （2018 江苏省宿迁市，18，3）如图，将含有 30°角的直角三角板 ABC 放入平面直角坐标系中，定点 A，B
分别落在 x，y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点 A 的坐标为（1，0）．将三角板 ABC 沿 x 轴向右作无滑动的
滚动（先绕点 A 按顺时针方向旋转 60°，再绕点 C 按顺时针方向旋转 90°…）．当点 B 第一次落在 x 轴上时，
则点 B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是 ．
C D′ B C′ ′ CDC′ C′ B DB′
B D′ 2 21 2+ 5 B C′ ′
B C′ A C′ A B′ ′ 2
S阴影 BDBS ′扇形 BDBS ′△ B BCS ′∆
( )2
90 5
360
π 1 5 52
× × 1 2 22
× ×
－5 3π4 2
－5 3π4 2
cm
2cm
2r 22
2
1
B'
A'
C'
D
B
C
A
（第 14 题）19
【答案】
【解析】∵∠OAB＝60°，OA＝1，∴AB＝2，BC＝ ．∴扇形 ABB1 的面积为 π×22＝ π，扇形 C1BB2 的面
积为 π×（ ）2＝ π．△OAB 与△ABC 的面积之和为 ，∴点 B 运动的路径与两坐标轴围成的图形面积
是 π＋ π＋ ＝ ．故填 ．
π
12
173 +
3 6
1
3
2
4
1 3 4
3 3
3
2
4
3 3 π
12
173 + π
12
173 +
O x
y
A
C
B
第 18 题图20
A1C1B2OxyACB 第 18 题答图B121
【知识点】图形的旋转，扇形的面积
三、解答题
1. （2018 四川省达州市，22，8 分）已知，如图，以等边△ABC 的边 BC 为直径作⊙O，分别交 AB、AC 于点 D、
E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为 8，求由 、DF、EF 围成的阴影部分的面积.
第 22 题图
【思路分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一性质证点D 是 AB 的中点，然后根据三角形中位线定理得 OD∥AC，
又 DF⊥AC，所以 OD⊥DF，所以 DF 是⊙O 的切线；
（2）根据阴影部分的面积＝△DEF 的面积－ 所含的弓形面积列式计算可得．
【解题过程】解：（1）连接 OD，CD．
∵BC 是直径，∴∠BDC＝90°．∵等边△ABC，∴点 D 是 AB 的中点．∵点 O 是 BC 的中点，∴根据三角形中位线
定理得 OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接 OD，OE，DE．
∵点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点，∴DE 是△ADE 的中位线．
∵等边△ABC 的边长为 8，∴等边△ADE 的边长为 4．
∵DF⊥AC，∴EF＝2，DF＝2 ．
∴△DEF 的面积＝ ·EF·DF＝ ×2×2 ＝2 ．
∴△ADE 的面积＝△ODE 的面积＝4 ．
∴扇形 ODE 的面积＝ ＝ ．
∴阴影部分的面积＝△DEF 的面积－ 所含的弓形面积
DE
E
F
D
O
A
B C
DE
E
F
D
O
A
B C
E
F
D
O
A
B C
3
1
2
1
2 3 3
3
260 4
360
π⋅ ⋅ 8
3
π
DE22
＝2 －（ －4 ）＝6 － ．
【知识点】三角形中位线定理；切线的判定；扇形面积公式
2. （2018 湖南衡阳，23，8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D
作 DE⊥AC 分别交 AC、AB 的延长线于点 E、F.
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若 ， ，求 的长度.（结果保留 ）
【思路分析】（1）连接 OD，交 BC 于点 G，由 OA=OD 和 AD 平分∠EAB，可得到∠OAD=∠ODA，
进而得出 OD∥AE，结合 DE⊥AE，得到 OD⊥EF，故可证得结论；
（2）由题意和（1）中结论，可得到四边形 CEDG 是矩形，故 DG=CE=2，再证得 OG 是△ABC 的中位线，可得出 OG=
AC=2，故可得到⊙O 的半径为 4，进而得出∠BOD=60°，再用弧长公式求出 的长度即可.
【解题过程】解：（1）证明：如图，连接 OD，交 BC 于点 G..
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD 平分∠EAB，
∴∠OAD =∠DAE.
∴∠OAD=∠ODA.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，
∴OD⊥EF.
∴EF 是⊙O 的切线.
3 8
3
π
3 3 8
3
π
4AC = 2CE = BD π
1
2
BD23
（2）∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∴BC∥EF.
又∵OD∥AE.
∴四边形 CEDG 是平行四边形.
∵DE⊥AE，
∴∠E=90°.
∴四边形 CEDG 是矩形.
∴DG=CE=2.
∵OD⊥EF，BC∥EF，
∴OG⊥BC.
∴CG=BG..
∵OA=OB，
∴OG= AC=2，
∴OB=OD=4，
∴∠BOD=60°，
∴ 的长= ×4= .
【知识点】切线的判定、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式
3. （2018 江苏泰州，22，10 分）（本题满分 10 分）
如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D，DE⊥BC 于点 E.
（1）试判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，若 BE= ，DF=3，求图中阴影部分的面积.
【思路分析】（1）DE 与⊙O 的公共点为 D，所以连接 DO，证明 DE⊥OD 即可，（2）显然图中阴影部分的面积等于
扇形 AOD 的面积减去△DOF 的面积，然后去为求两个面积而准备条件.
【解题过程】
解：（1）DE 与⊙O 相切，
理由：连接 DO，
1
2
BD 60
180
π 4
3
π
3 3
第 22 题图24
∵AD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵D 为半径 OD 的外端，
∴DE 与⊙O 相切；
（2）∵AD 平分 ∠ABC，
DE⊥BC，
DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE= ，
∴ ，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABC=60°，
∴ ，
∴ ，
∴ = = ，
∴图中阴影部分的面积为 .
【知识点】直线与圆的位置关系，扇形面积
4. （2018 山东临沂，23，9 分） 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D， OB
与⊙O 相交于点 E.
(1)求证:AC 是⊙O 的切线;
3 3
3tan 3
DECBD BE
∠ = =
2 3sin
DFOD AOD
= =∠
3OF =
DOFAODS =S -S∆阴影部分 扇形
260 (2 3) 1 3 3360 2
π × − × × 3 32 2
π −
3 32 2
π −
第 22 题答图25
(2)若 BD＝ ，BE＝1，求阴影部分的面积.
第 23 题图
【思路分析】(1)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，证明 OF＝OD；
(2)根据 BD 和 BE 的长，由勾股定理推算出⊙O 的半径的长，结合三角函数推算出∠BOD、∠AOD 和∠AOF 的度数，
然后根据三角形和扇形的面积公式求解.
【解题过程】(1) 过点 O 作 OF⊥AC，垂足为点 F，连接 OD，OA.
∵△ABC 是等腰三角形，点 O 是底边 BC 的中点，
∴OA 也是△ABC 的高线，也是∠BAC 的平分线，
∵AB 是⊙O 的切线，
∴OD⊥AB，
又∵OF⊥AC，
∴OF＝OD，即 OF 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线.
(2)在 Rt△BOD 中，设 OD＝OE＝x，则 OB＝x＋1，由勾股定理，得：
(x＋1)2＝x2＋( )2，解得：x＝1，即 OD＝OF＝1.
∵tan∠BOD＝ ＝ ，∴∠BOD＝60°.
∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，
∴AD＝AF＝OD×tan∠AOD＝ .
∴S 阴影＝S 四边形 ADOF－S 扇形 DOF＝ AD×OD×2－ π×12＝ － ＝ .
【知识点】切线的判定和性质 勾股定理 阴影部分面积 扇形面积 三角函数
5. （2018 浙江湖州，21，8） 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交 AD 于点 E，连结
BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若 AB＝10，∠CBD＝36°，求 的长．
3
E
D
O CB
A
F
E
D
O CB
A
3
BD
OB
3
2
3
3
1
2
60
360
3
3 6
π 2 3
6
π−26
【思路分析】（1）根据三角形中位线的性质可证；（2）根据平行线和等腰三角形的性质求出∠AOC 的度数，然
后再根据扇形的弧长公式计算．
【解题过程】（1）证明 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°． ......................................2 分
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即 OC⊥AD．.......................................1 分
∴AE＝ED． .............................................................1 分
（2）解 由（1）得 OC⊥AD，
∴ ＝ ．∴∠ABC＝∠CBD＝36°．1
分
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°． ......................................1 分
∴ ＝ ＝2π． ............2 分
【知识点】圆，等腰三角形的性质，三角形的中位线，扇形的弧长 1. （2018 广东广州，25，14 分）如图，在
四边形 ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．
（1）求∠A+∠C 的度数；
（2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE2=BE2+CE2，求点 E 运动路径的长度．
【思路分析】（1）根据四边形内角和为 360°，结合已知条件即可求出答案；（2）将△BCD 绕点 B 逆时针旋转
60°，得到△BAQ，连接 DQ（如图），由旋转性质和等边三角形判定得△BDQ 是等边三角形，由旋转的性质根据角
的计算可得△DAQ 是直角三角形，根据勾股定理得 AD2＋AQ2＝DQ2， 即 AD2＋CD2＝BD2；（3）将△BCE 绕点 B 逆时
针旋转 60°，得到△BAF，连接 EF(如图)，由等边三角形判定得△BEF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角
形性质可得 AE2＝EF2＋AF2，即∠AFE＝90°，从而得出∠BFA＝∠BEC＝150°，从而得出点 E 是在以 O 为圆心，OB
为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC，根据弧长公式即可得出答案．
【解析】（1）∵在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，∠D＝30°．∴∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝270°．
（2）AD2＋CD2＝BD2．
理由：如图，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°，得△BAD′，连接 DD′．
A
C
B
O
E
D
第 21 题图27
∵BD＝BD′，CD＝AD′，∠DBD′＝60°，∠BAD′＝∠C．∴△BDD′是等边三角形．∴DD′＝BD．
又∠BAD＋∠C＝270°，∴∠ BAD′＋∠C＝270°．∴∠ DAD′＝90°．∴ AD2 ＋AD′2 ＝DD′2 ．即 AD2 ＋CD2 ＝
BD2．
（3）如图，将△BEC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BE′A，连接 EE′．
∵BE＝BE′＝EE′，CE＝AE′，∠EBE′＝60°，∠ BEC＝∠BE′A．∴△BEE′是等边三角形．∴∠BE′E＝
60°．∵AE2＝BE2＋CE2，BE＝EE′，CE＝AE′．∴AE2＝EE′2＋AE′2．∴∠AE′E＝90°．∴∠BE′A＝
150°．∴∠BEC＝150°．∴点 E 在以 BC 为弦，优弧 所对的圆心角为 300°的圆上．以 BC 为边在下方作
等边△BCO，则 O 为圆心，半径 BO＝1．∴点 E 运动路径为 ， ＝ ＝ ．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；全等三角形的性质与判定；多边形的内角和；弧长的
计算；旋转的性质；运动路径问题
2. （2018 山东德州，22，12 分）如图, 是 的直径,直线 与 相切于点 ,且与 的延长线交于
点 .点 是 的中点.
D'
A
C
B D
E'
O
A
B
C
DE
BC
BC BCl 60 1
180
π ×
3
π
AB O CD O C AB
E C BF28
(1)求证:
(2)若 . 的半径为 3，一只蚂蚁从点 出发，沿着 爬回至点 ,求蚂蚁爬过的路
程 结果保留一位小数.
【思路分析】(1)连接 ，由“点 是 的中点”得 ，结合 ，可证 ∥ ，
易得 ；(2)先求 的度数，再解直角三角形 和求 的长而得解．
【解析】(1)证明：连接 ，
∵直线 是 的切线，
∴ ，
∴ .
∵点 是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∥ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得:
AD CD⊥
30CAD∠ = O B BE CEC B− − B
( )3.14 3 1.73π ≈ ≈，
CO C BF CAD CAB∠ = ∠ OA OC= AD CO
AD CD⊥ COE∠ COE CB
OC
CD O
OC CD⊥
=90OCE∠
C BF
CAD CAB∠ = ∠
OA OC=
CAB ACO∠ = ∠
CAD ADO∠ = ∠
AD CO
= =90ADC OCE∠ ∠
AD CD⊥
=30CAD∠
=30CAB ACO∠ = ∠
+ 60COE CAB ACO∠ = ∠ ∠ =
=90OCE∠
180 90 60 30E∠ − ° ° = - =
2 =6OE OC=
=3BE OE OB= =
Rt OCE
第 22 题图
第 22 题答图29
，
的长 ．
∴蚁蚂爬过的路程 ．
【知识点】直线与圆的位置关系，圆中计算
3. （2018 湖北荆州，T23，F10）问题;已知 均为锐角, ,求 的度数.
探究:(1)用 6 个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为 1),请借助这个网格图求出 的
度数;
延伸:(2)设经过图中 三点的圆弧与 交于 ,求 的弧长.
【思路分析】①证三角形全等把∠α、∠β集中在一块②证三角形全等得到等腰直角三角形得到∠α+∠β=450
【解题过程】（1）解：如图 1 所示，连接 MH、AM，易证∆QGA≌∆HPM，∴∠α=∠MHP，∴∠α+∠β=∠AHM，易证∆ADM
≌∆MCH，∠AMD=∠MHC，又∵∠HMC+∠MHC=900，∴∠HMC+∠AMD=900，
又∵∠HMC+∠AMD+∠AMH=1800，∴∠AMH=900，又∵AM=HM，∴∠AHM=450,∴∠α+∠β=450.
（2）解：如图 2 所示，连接 OR，∵∠QMN=∠α, 又∵tanα= ,易知 O 为 QN 的中点，OM=
，由（1）可知∠ROM=900，弧 MR= πOM= π.
【知识点】三角形全等、弧长公式、等腰直角三角形.
4. （2018 四川攀枝花，22，8） (本小题满分 8 分)如图 11，在△ABC 中，AB=AC。以 AB 为直径的⊙O 分别与
2 2 2 26 3 3 3CE OF OC= − = − =
BC 60 3
180l
π π×= =
3+3 3+ 11.3π ≈
α β、 1 1tan ,tan2 3
α β= = α β+
α β+
M P H、 、 AH R MR
2
1
2
5)2
1(1 2222 =+=+ MNON 2
1
4
530
BC、AC 交于点 D、E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.(1)若⊙O 的半径为 3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)求证:∠EDF=∠DAC.
【思路分析】（1）要求阴影面积，需要先求圆心角的度数，然后套用弓形面积公式即可；（2）要证DF 是⊙O 的
切线，只要证明 OF⊥ DF 即 可 ； （ 3）作 ⊙O 的直径 DG，把 转化为 ，然后再利用切线的性质可证。
【解题过程】
（ 1） ∵ DF⊥ AC， ，∴ ,
∵ AB=AC， ∴ ， ，
连 接 OE， ∵ OA=OE,∴ ,∴ ，
∴ = 。
（ 2） 连接 OD、AD，∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴ ， ∴ AD⊥ BC,
又 ∵ AB=AC， ∴ BD=DC， OA=OB， ∴ OD∥AC，
∵ DF⊥ AC， ∴ DF⊥ OD， ∴ DF 是⊙O 的切线。
（ 3） 作直径 DG，连接 EG，则 ， ，
在 ，
∵ DF⊥ OD， ∴ ，
∴
【知识点】弓形的面积，切线的性质和判定，圆周角定理。
5. （2018 湖北省襄阳市，22，8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过
点 E 作直线 DC 分别交 AM、BN 于点 D、C,且 CB=CE，
DAC∠ G∠
°=∠ 15CDF °=°−°=∠ 751590C
°=∠=∠ 75CB °=∠ 30BAC
°=∠=∠ 30BACOEA °=∠ 120AOE
AOEAOE SSs ∆−= 扇形阴影 34
9π32
3332
13π360
120 2 −=××−××
°=∠ 90ADB
°=∠ 90DEG DACG ∠=∠
中，GDERt∆ GDEG ∠−°=∠ 90
GDEEDF ∠−°=∠ 90
DACEDF ∠=∠31
(1)求证：DA=DE；
(2)若 AB=6，CD= ，求图中阴影部分的面积.
【思路分析】考查圆的综合性质，包括切线的性质与判定，切线长定理，求阴影部分面积等，对于学生综合能
力，有一定要求，构造辅助线的方法比较常规，属于中档题；
（1）连接 OE，OC，先判定△OEC≌△OBC 得出∠OEC=∠OBC=90°，从而判定 CD 是⊙O 的切线，最后用切线长定
理即可判定 DA=DE;
（2）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，由切线长定理可知 DC=BC+AD= ①；由勾股定理计算 FC
的长为 ，即可得出 BC-AD= ②；联立①，②组成方程组即可求出 BC 的长，在 Rt△OBC 中，由 tan∠
BOC= 得到∠BOC=60°；由△OEC≌△OBC 得到∠BOE=2∠BOC=120°，最后根据 S 阴影部分=S 四边形 BCEO-S
扇形 OBE 计算出阴影部分的面积即可.
【解题过程】解：（1）证明：连接 OE，OC，
∵BN 且⊙O 于点 B，
∴∠OBN=90°.
∵OE=OB，OC=OC，CE=CB，
∴△OEC≌△OBC，
∴∠OEC=∠OBC=90°，
∴CD 是⊙O 的切线.
∵AD 切⊙O 于点 A，
∴DA=DE.
（2）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则四边形 ABFD 是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6。
∴DC=BC+AD= .
∵FC= .
∴BC-AD= ，
34
34
32 32
3=
BO
BC
34
3222 =− DFDC
3232
∴BC= .
在 Rt△OBC 中，tan∠BOC= ,
∴∠BOC=60°.
∵△OEC≌△OBC，
∴∠BOE=2∠BOC=120°.
∴S 阴影部分=S 四边形 BCEO-S 扇形 OBE
=
= .
【知识点】全等三角形的判定、切线的性质和判定、切线长定理、勾股定理、扇形的面积
33
3=
BO
BC
2
360
120·
2
12 OBOBBC ××−× π
π339 −
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