2018年中考数学试题分类汇编知识点36锐角三角函数.doc

1 知识点 36 锐角三角函数 一、选择题 1. （2018 浙江金华丽水，8，3 分）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹 竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】由锐角三角函数的定义，得 AB= ，AB= ，∴AB 与 AD 的长度之比为 ，故选 B． 【知识点】锐角三角函数 2. （2018 浙江衢州，第 9 题，3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知 BC=6cm，圆锥的面积为 15π cm2，则 sin∠ABC 的值为（ ） A． B． C． D． 第 9 题图 【答案】C 【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义．因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾股 tan tan α β sin sin β α sin sin α β cos cos β α 第8题图 β α F E D C B A sin AC α sin AC α sin sin β α 3 4 3 5 4 5 5 32 定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。∵圆锥侧面积为 15π，则母线长 L=2×15π÷6π=5，利用勾 股定理可得 OA=4，故 sina∠ABC= 故选 C。 【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义 3. （2018 江苏无锡，9，3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tan∠AFE 的值（ ） A.等于 B.等于 C.等于 D. 随点 E 位置的变化而变化 【答案】A 【思路分析】利用平行线的性质将∠AFE 转化为∠GAF，然后利用相似三角形的对应边成比例确定 GF、AG 的关系， 进而得到 tan∠AFE 的值. 【解题过程】∵E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，AB=3，BC=4， ∴ =tan∠EAH=tan∠ACB= = , ∴ . ∵正方形 EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上， ∴FG=EH=HG，EF∥HG， ∴∠AFE=∠GAF， ∴tan∠AFE=tan∠GAF= = = = = . 4 5 3 7 3 3 3 4 EH AH AB BC 3 4 4= 3AH EH FG AG EH AH EH+ 4 3 EH EH EH+ 7 3 EH EH 3 73 【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义 4. （2018 年山东省枣庄市，11，3 分）如图，在矩形 中，点 是边 的中点， ，垂足为 ， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路分析】设 EF=a，由平行和点 是边 的中点得到 AF 与 EF 的关系以及 BF、DF 的关系，利用△BEF 与△ ABF 相似，得到 BF、EF、AF 的关系，表示出 BF，从而表示出 DF，求得 的值． 【解题过程】设 EF=a，在矩形 中，AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴ ，又∵点 是边 的中点，∴ ，∴AF=2EF=2a，又∵ ，∴△BEF∽△ABF，∴ ，∴ ，∴BF= ，∴DF= ， = ，故选 A. 【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数 5. （2018 山东省淄博市，6，4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米， 在科学计算器求坡角 α 的度数时，具体按键顺序是 ABCD E BC BDAE ⊥ F BDE∠tan 4 2 4 1 3 1 3 2 E BC BDE∠tan ABCD EF BF BE AF DF AD = = E BC 1 2 EF BF BE AF DF AD = = = BDAE ⊥ EF BF BF AF = 2 a BF BF a = 2a 2 2a BDE∠tan 2 42 2 EF a DF a = = （第6题图） α =2ndF1.0tan =51.0cos2ndF =2ndF1.0Sin =51.0Sin2ndF4 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项. 【知识点】利用计算器计算 6.（2018 天津市，2，3） 的值等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值．熟记锐角三角函数值，即可得结果. 解： ＝ 故选 B. 【知识点】特殊角的三角函数值 1. （2018 湖北黄冈，2 题，3 分）下列运算结果正确的是 A. B. C. D. 【答案】D cos30° 2 2 3 2 3 cos30° 3 2 3 2 63 2 6a a a⋅ = ( )2 22 4a a− = − 2tan 45 2 = 3cos30 2 = 5 55 【解析】A.原式=6a5，错误；B.原式=4a2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选 D 【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值 2. （2018 湖南益阳，8，4 分）如图，小刚从山脚 A 出发，沿坡角为 α 的山坡向上走了 300 米到达 B 点，则小 刚上升了（ ） A．300sinα B．300cosα C．300tanα D． 【答案】A 【思路分析】上升的高度为 BC，为∠α 的对边，AB 是斜边，故用正弦求解． 【解析】解：∵ ，∴BC＝AB sinα＝300sinα，故选择 A． 【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用 3. （2018 湖北宜昌，14，3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点 ，测得 米， ，则小河宽 等于( ) (第 14 题图) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】∵ 米， ，∴在 Rt△PAC 中， = ，故选择 C. 【知识点】正弦，正切. 300 tanα sin BC AB α = P A, PA PB C 100PC = 35PCA∠ =  PA 100sin35 100sin55 100tan35 100tan55 100PC = 35PCA∠ =  PA 100tan356 4. （2018 山东省日照市，10，3 分）如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点 上，则∠BED 的正切值等于（ ） A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】如图，在 RtABC 中，AB=2，BC=1，∴tan∠BAC= = .∵∠BED=∠BAD，∴tan∠BED= .故选 D. 【知识点】正方形网格 三角函数 5. （2018 广东广州，12，3 分）如图，旗杆高 AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长 BC＝16m，则 tanC＝_______． 【答案】 1 2 【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角C 的对边与邻边的比叫做∠C 的正切，所以 tanC ＝ AB BC＝ 8 16＝ 1 2． 【知识点】锐角三角函数的定义 6.（2018 山东德州，16，4 分）如图，在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点 5 52 5 52 2 1 AB BC 2 1 2 1 A BC 4 4× ABC∆7 都在格点上,则 的正弦值是 ． 【答案】 【 解 析 】 因 为 ， ， ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以 . 【知识点】网格，直角三角形的边角关系 7. （2018 湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中， 经过三点 ，点 是 上的一动点当点 到弦 的距离最大时， 的值是（ ） A．2 B．3 C.4 D．5 【答案】B 【思路分析】 【解析】如图所示，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，DE⊥OB.连接 AB，由题意可知 AB 为⊙P 的直径， ∵A（8，0），∴OA=8，B（0，6）∴OB=6，∴OE=BE= =3，在 Rt∆AOB 中，AB= =10，∴BP= ×10=5，在在 Rt∆PEB 中，PE= =4，∴DE=EP+DP=4+5=9， ∴tan∠DOB= ，故选 B 【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理. BAC∠ 5 5 2 5AC = 5BC = 5AB = 2 2 2AC BC AB+ = 90ACB∠ = ° 5sin 5 BCBAC AB ∠ = = P 8 0 0 0 0 6A O B（ ，）， （ ，），（ ，） D P D OB tan BOD∠ OB2 1 22 OBOA + 2 1 2 1 =AB 22 BEBP − 33 9 == OE DE8 8. （2018 湖北省孝感市，4，3 分）如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据勾股定理可得 BC= = =6. 根据三角函数的定义可得 sinA= = = .故 选 A. 【知识点】勾股定理. 锐角三角函数的定义. 9.（2018 四川凉山州，10，4 分）无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B、C 的俯角分别为 ，此时 无人机的高度是 h，则河流的宽度 BC 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A Rt ABC∆ 90C∠ =  10AB = 8AC = sin A 3 5 4 5 3 4 4 3 2 2AB AC− 2 210 8− BC AB 6 10 3 5 70 =40α β=  、 ( )50 20h −tan tan  ( )50 20h +tan tan  1 1 70 40 h −    tan tan  1 1 70 40 h +    tan tan 9 【解析】设过 A 作 AD BC 的直线交 CB 的延长线于点 D， 则 Rt△ACD 中，∠CAD=50°，AD=h ∴CD= AD tan50° =htan50°． 又∵Rt△ABD 中，∠BAD=20°，可得 BD= AD tan20° =htan20° ∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-htan20°) .故答案为 A. (第 10 题答图) 【知识点】余角定义，锐角三角函数——余弦的应用. 10. （2018 陕西，6，3 分）如图，在△ABC 中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平 分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵BE 平分∠ABD，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBD=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDA=90°． ∴DE= BE． ⊥ 4 23 2 2 8 23 3 2 1 210 ∵∠BAD=90°－60°=30°． ∴∠BAD=∠ABE=30°． ∴AE=BE=2DE ∴AE= AD． 在 Rt△ACD 中， sinC= , AD=ACsinC= ． ∴AE= ，故选择 C． 【知识点】解直角三角形 二、填空题 1. （2018 山东滨州，15，5 分）在△ABC 中，∠C＝90°，若 tanA＝ ，则 sinB＝__________． 【答案】 【解析】设 BC＝x,则 AC＝2x,根据勾股定理可知 AB＝ x,故 sinB＝ ＝ ＝ ． 【知识点】勾股定理和三角函数 2. （2018年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 的倾斜角为 ， 的长为12米， 则大厅两层之间的高度为 米.（结果保留两个有效数字） 【参考数据： 】 2 3 AD AC 28 4 22 × = 2 84 2 23 3 × = 1 2 2 5 5 5 AC AB 2 5 x x 2 5 5 AB 031 AB 601.031sin,857.031cos,515.031sin 000 ===11 【答案】6.2 【解析】运用锐角三角函数： ，即 ，BC=12×0.515=6.18≈6.2 米，故填 6.2. 【知识点】解直角三角形 3. （2018 年山东省枣庄市，16，4 分）如图，在正方形 中， ，把边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则三角形 的面积为 . 【答案】9－5 ． 【思路分析】如图，过点 P 作 PF⊥CD 于点 F，过点 P 作 PG⊥BC 于点 G．先证明△ABP 是等边三角形，再应用特 殊角的三角函数值求出 PF、CE 的长，即可解得△PCE 的面积． 【解题过程】解：如图，过点P 作 PF⊥CD 于点 F，过点 P 作 PG⊥BC 于点 G．则 BP= ，在 Rt△BGP 中，∵∠PBC ＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝ ，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－CG＝ －3，则 PF＝ －3，∵∠PBC ＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP 是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠PAD＝30°， ∴DE＝AD·tan∠PAD＝2，∴CE＝DC－DE ＝ －2，∴S △PCE＝ PF·CE＝ ×( －3)×( －2)＝9 －5 ． 【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值 sinBC BACAB = ∠ sin3112 BC = ° ABCD 32=AD BC B 030 BP AP CD E PC PCE 3 32 3 32 32 32 1 2 1 2 32 32 312 4. （2018 浙江湖州，13，4）如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O．若 tan∠BAC＝ ，AC＝6，则 BD 的长是 ． 【答案】2 【解析】∵菱形的对角线互相垂直，∴AB⊥CD．∵tan∠BAC＝ ，∴ ＝ ．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝ 1．∴BD＝2BO＝2．故填 2. 【知识点】菱形的对角线，正切 5. （2018 宁波市，18 题，4 分） 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点 E，M 是 AB 的中点连 结 MD，ME,若∠EMD=90°，则 cosB 的值为 ． 【答案】 【解析】解：延长 EM，交 DA 的延长线与点 G，连接 ED ∵M 是 AB 中点， ∴AM=BM 又∵菱形 ABCD ∴GD∥BC ∴∠GAB=∠ABC ∴易证△ACD≌△BCE(SAS) ∴GM=EM；AG=BE 3 1 3 1 AO BO 3 1 M DA EB C G M DA EB C13 又∵MD⊥GE；GM=EM ∴DG=DE 设 BE=x ∴DE=x+2 在 RT△ABE 中， AE2=AB2-BE2 在 Rt△ADE 中， AE2=DE2-AE2 ∴AB2-BE2=DE2-AE2，即 22-x2=(x+2)2-22 解得：x= 在 Rt△ABE 中 cosB= 【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形 1. （2018 甘肃天水，T12，F4）已知在 Rt△ABC 中，∠C=90 °，sinA= ，则 tanB 的值为____. 【答案】 . 【解析】在 Rt△ABC 中，由 sinA= ，令 a=12，c=13， 根据勾股定理，得 b=5. ∴tanB= . 【知识点】锐角三角函数14 2. （2018 广西玉林，17 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则 AD 的取值范 围是_______ 第 17 题图 【答案】2