2018年中考数学试题分类汇编知识点37解直角三角形及其应用.doc

1 知识点 37 解直角三角形及其应用 一、选择题 1. （2018 四川绵阳，10，3 分） 一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向， 继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是 （结果保留小数点后两位）（参考数据： ， ） A.4.64 海里 B.5.49 海里 C.6.12 海里 D.6.21 海里 【答案】B. 【解析】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作 BD⊥AC 于点 D，以点 B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设 BD=x， 则 AB=BE=CE=2x，AD=DE= x， ∴AC=AD+DE+CE=2 x+2x， ∵AC=30， ∴2 x+2x=30， 解得：x= ≈5.49. 故选 B. 732.13 ≈ 414.12 ≈ 3 3 3 2 1315 -2 【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定， 含 30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用 2.（2018·重庆 B 卷，9，4）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端 B 出发，先沿水平 方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为 i＝1﹕0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D，然 后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E（A，B，C，D，E 均在同一平面内）．在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24 °，则建筑物 AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） （ ） A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米 【答案】A． 【解析】过点C 作 CN⊥DE 于点 N，延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，则 BM⊥DE 于点 M，则 MN＝BC＝20 米．∵斜坡 CD 的坡比 i＝1﹕0.75，∴令 CN＝x，则 DN＝0.75x．在 Rt△CDN 中，由勾股定理，得 x2＋(0.75x)2＝102，解得 x ＝8，从而 CN＝8 米，DN＝6 米．∵DE＝40 米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66 米，AM＝(AB＋8)米．在 Rt△AME 中，tanE ＝ ， 即 ，从而 0.45＝ ，解得 AB＝21.7，故选 A． 【知识点】解直角三角形 坡度 1. （2018·重庆 A 卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直， 在教学楼底面 E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE＝7 米，升旗台坡 面 CD 的坡度 i＝1﹕0.75，坡长 CD＝2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC＝1 米，则旗杆 AB 的高度 为 （ 参 考 数 据 ： sin58 ° ≈ 0.85 ， cos58 ° ≈ 0.53 ， tan58 ° ≈ 1.6 ） （ ） A．12.6 米 B．13.1 米 C．14.7 米 D．16.3 米 AM EM 8 tan 2466 AB + = ° 8 66 AB +3 【答案】B． 【解析】过点 C 作 CN⊥DE 于点 N，延长 AB 交 ED 的延长线于点 M，则 BM⊥DE 于点 M，则 MN＝BC＝1 米． ∵斜坡 CD 的坡比 i＝1﹕0.75，∴令 CN＝x，则 DN＝0.75x．在 Rt△CDN 中，由勾股定理，得 x2＋(0.75x)2＝22， 解得 x＝1.6，从而 DN＝1.2 米．∵DE＝7 米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2 米，AM＝(AF＋1.6)米．在 Rt△AME 中，tan ∠AEM＝ ，即 ，从而 1.6＝ ，解得 AB＝13. 12≈13.1（米），故选 B． 【知识点】解直角三角形 坡度 二、填空题 1. （2018 山东潍坊，18，3 分）如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30°方向，同时测得岛礁 P 正东 方向上的避风港 M 在北偏东 60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里 /小时的速度继续航行 小时即可到达.（结果保留根号） 【答案】 【思路分析】过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 M. 设 PQ=MN=x，解 Rt△APQ 和 Rt△BPQ 求 NM 教 学 楼 ED CB A AM EM 1.6 tan589.2 AB + = ° 1.6 9.2 AB + 18 6 3 5 +4 得 x 的值，再解 Rt△BMN 求出 BM 的长度，利用路程÷速度=时间解答即可. 【解题过程】过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 M. AB=60×1.5=90 海里 设 PQ=MN=x，由点 P 在点 A 的东北方向可知，∠PAQ=45°，∴AQ=PQ=x，BQ=x－90 在 Rt△PBQ 中，∠PBQ=90°－30°=60° 解得： . 在 Rt△BMN 中，∠MBN=90°－60°=30° ∴BM=2MN=2x= ∴航行时间为: 小时. 【知识点】解直角三角形的应用 2. （2018 山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线 L 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的 正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60°的方向上.从 B 站测得船 C 在北偏东 30°的方向上，则船 C 到海岸线 L 的距离是_______km. tan 60 390 x x ° = =− 135 45 3x = + 2 135 45 3 270 90 3× + = +（ ） 270 90 3 18 6 3 75 5 + +=5 【答案】 【解析】首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得 BC 的长为 2km，然后由点 C 作 CD⊥AB 于点 D，构造直 角三角形 CBD，应用边角之间的三角函数关系确定 CD=BC•sin60°，求得结果． 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km， 在 Rt△CBD 中，CD=BC•sin60°=2× = （km），因此，答案为： ． 【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形 3. （2018 宁波市，16 题，10 分） 如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直 线上，则这条江的宽度 AB 为 米(结果保留根号)． 【答案】 【解析】解：∵CD∥HB ∴∠CAH=45°；∠HBC=30° 在 Rt△CHA 中， 北 西 30°60° C A 东 南 B 北 西 D 30°60° C A 东 南 B 3 3 2 3 3 30° BA D H C （第 16 题图）6 ∴AH=CH=1200 在 Rt△CHB 中， ∴HB= ∴AB=HB-AH= 【知识点】解直角三角形 1. （2018 湖北荆州，T14，F3 值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底 低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为 40 米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 A 处测得塔顶的仰角为 30°，再向古塔方向行进 米后到达 处，在 处测得塔顶的仰角为 45°（如图所示）， 那么 的值约为_________米（ ，结果精确到 0．1）． 【答案】33( 【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在 Rt∆BCD 中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在 Rt∆ACD 中 tan∠CAD·AD=CD,即 ，解得，a=33( 【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形. 三、解答题 1. （2018 湖北鄂州，21，8 分） 如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A 处测得北偏东 30°方向距离 a B B a 3 173≈ ． )13 − 33)33(3 3 =+a )13 −7 为 40 海里的 B 处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东 75°方向前往监视巡 查，经过一段时间在 C 处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC 的度数； （2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC 的长）？（结果精确到 0．1 海里， ， ） 【思路分析】（1）过点B 作 BD⊥AD 于 D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC 的度数；（2）过点 B 作 BE⊥AC 于 E，过点 C 作 CF⊥AF 于 F，构造直角三角形，先求出 AD 和 AE 的长，设 BE＝ x，则 AC＝ ，再证明△BEC∽△CFA，得到 ，求出 CE 的长，从而得出 AC 的长度． 【解析】解：（1）如下图（1），过点 B 作 BD⊥AD 于 D，则∠ADB＝90°，由题意得∠DAB＝30°， ∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°； （2）如下图（1），过点 B 作 BE⊥AC 于 E，过点 C 作 CF⊥AF 于 F，则在 Rt△ABD 中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴ AD＝AB·cos30°＝40× ＝20 ，∵∠ADB＝∠DAF＝∠CFA＝90°，∴四边形 ADCF 是矩形，∴CF＝AD＝ 20 ，DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝ 45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40× ＝20 ，设 BE＝x，则 AC＝ ，∴AF＝ ，∵∠BCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴△BEC∽△CFA，∴ ，即 ， ， 3 1.732≈ 2 1.414, 6 2.449≈ ≈ 20 2 x+ BE CE CF AF = 3 2 3 3 2 2 2 20 2 x+ ( ) ( )2 2 20 2 20 3x+ + BE CE CF AF = ( ) ( ) 20 2 2 220 3 20 2 20 3 x x = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 23 20 2 20 3 x x = + +              8 ， ，解得 ， ∴ ， ，∴AC＝ ＝ ≈133．42 或 35．86， ∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42 海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为 133．42 海里． 【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定 和性质 2. （2018 湖北黄冈，21 题，7 分）如图，在大楼 AB 正前方有一斜坡 CD，坡角∠DCE=30°，楼高 AB=60 米，在 斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，其中点 A,C,E 在同一直 线上. （1）求坡底 C 点到大楼距离 AC 的值； （2）求斜坡 CD 的长度. 第 21 题图 【思路分析】（1）在 Rt△ABC 中，已知∠ACB 和 AB，利用三角函数可求得 AC；（2）设 CD=x，在 Rt△BDF 和△DCE 中，利用三角函数表示出 BF、DF 和 DE、CE， 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，AB=60 米，∠ACB=60°，所以 米，答：求坡底 C 点到大楼距 离 AC 长 米； ( ) ( ) 22 2 23 20 2 20 3 x x = + + 2 80 2 800 0x x− + = ( )2 80 2 80 2 4 800 80 2 40 6 2 2 x ± − × ±= = 40 2 20 6= ± 40 2 20 61x = + 40 2 20 62x = − 20 2 x+ 60 2 20 6± 20 3tan 60 ABAC = =  20 39 （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，则四边形 FAED 为矩形，所以 AF=DE，DF=AE，设 CD=x 米，在 Rt△EDC 中，因为∠DCE=30 ° ， 则 ， 在 Rt △ BDF 中 ， ∠ BDF=45 ° ， 所 以 ， 因 为 DF=AE=AC+CE，所以 ，解得 ，答：斜坡 CD 长 【知识点】三角函数的应用 3. （2018 湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度 AD，小亮通过操 控器指令无人机测得桥头 B、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且 D，B，C 在同一水平线上，已知桥 BC=30 米，求无人机飞行高度 AD.（精确到 0.01 米，参考数据： ， ） 【思路分析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，构造 Rt△ACD 和 Rt△ABD ，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解 方程可得无人机飞行高度． 【解析】解：由题意，易得：AE∥CD，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设 AD= ， 在 Rt△ACD 中， ，CD= ； 在 Rt△ABD 中， ，BD= ； ∵CD-BD=BC，BC=30 米，∴ ， （米）. 答：无人机飞行高度 AD 约为 25.98 米. 1 3 2 2DE x CE x= =米， 米 1=60 2BF x− 米 3 120 3 602 2x x+ = − 80 3 120x = − 米 (80 3 120)− 米 2 1.414≈ 3 1.732≈ x tan30 AD CD ° = 3x tan 60 AD BD ° = 3 3 x 33 303x x− = 15 3 25.98x = ≈10 【知识点】解直角三角形的应用 4. （2018 内蒙古呼和浩特，21，8 分）如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 米，且这段斜坡的坡度 i=1:3(沿 斜坡从 B 到 D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面 B 处得山顶 A 的仰角为 33°，在斜坡 D 处 测定山顶 A 的仰角为 45°，求山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式 表示即可） 【思路分析】过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度 i=1:3，先求出∠BD，利用 sin∠DBF，cos ∠DBF 中比值关系。求出 DF,BF 的值；设 AE=DE=CF=x ，，则 B BC=BF+CF=180 +x ，AC=AE+CE=AE+DF=x+60 ，再根据在 Rt△ABC 中，AC=BCtan33 ゜,，列出方程求出 x 的值，即可求出 AC 的高度． 【解析】 解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F， ∴BF:DF=3：1，设 DF=k，则 BF=3k，由勾股定理可得 BD= ， ∴sin∠DBF= ，cos∠DBF= ， ∴DF=BDsin∠DBF=60 ，BF=BDcos∠DBF=180 ， ∵∠ADE=45 ゜,∴AE=DE=CF， 设 AE=DE=CF=x， ∴BC=BF+CF=180 +x，AC=AE+CE=AE+DF=x+60 ， 10 10 10k 10 1010 DF k BD k = = 3 3 101010 BF k BD k = = 10 10 10 1011 在 Rt△ABC 中，AC=BCtan33 ゜, ∴x+60 =tan33 ゜（180 +x） ∴ ， ∴AC=AE+CE= . . 【知识点】解直角三角形的应用 5.(2018 山东菏泽，18，6 分)2018 年 4 月 12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全 程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 处的俯角为 30°， 处的俯角为 45°，如果此时直升机 镜头 处的高度 为 200 米，点 、 、 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留 根号） 【思路分析】在 Rt△ACD 中，求出 BD 的长，在 Rt△ACD 中，用 tanA 求出 AD 的长，相减即可得解． 【解析】 解：由题意得∠A=30°，∠CBD=45°，∠CDB=90°． 在 Rt△CBD 中，∠CBD=45°，CD=200 米，∴BD=200 米． E F D A B C 10 10 180 10 tan33 60 10 1 tan33x ° −= − ° 180 10 tan33 60 10 tan33 180 10 60 10 tan331 tan33 1 tan33 ° − ° −= °− ° − ° A B C CD A B D12 在 Rt△ACD 中，∠A=30°，∵tanA=tan30°= = ， ∴AD= CD=200 (米)． ∴AB=AD－BD=200 －200(米)． 答：A、B 两点间的距离为(200 －200)米． 【知识点】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 6.（2018 四川遂宁，24，10 分）如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在底面 A 处测得山顶 B 的仰角 45°， 然后沿着坡度为 i=1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC（结 果保留根号） 【思路分析】首先过点 D 作 DF⊥AC，根据坡度以及锐角三角函数的定义可得出 DF 的长，进而得出 CE 的长，然 后根据∠BAC=45°，BC⊥AC 可得出 AD=BD，最后在 Rt△BDE 中，利用锐角三角函数的定义可得 sin∠BDE= ， 进而求出 BE 的长，进而得出山高 BC 的长. 【解析】 解：如图所示，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F， CD AD 3 3 3 3 3 3 3 BD BE13 ∵坡面 AD 的坡度 i=1： ，且 AD=200 米， ∴tan∠DAF= , ∴∠DAF=30°， ∴DF= AD= ×200=100， ∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°， ∴四边形 DECF 是矩形， ∴EC=BF=100（米） 又∵∠BAC=45°，BC⊥AC， ∴∠ABC=45°， ∵∠BDE=60°，DE⊥BC， ∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°， ∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°， ∴∠ABD=∠BAD， ∴AD=BD=200 米， 3 3 3 3 1 == AF DF 2 1 2 114 在 Rt△BDE 中，sin∠BDE= , ∴BE=BDsin∠BDE=200×sin60°=200× =100 ∴BC=BE+EC=100+100 ∴山高为（100+100 ）米. 【知识点】锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质 7. （2018 甘肃天水，T20，F10）超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明等三名同学运用自己所学的知识检测 车速，他们将观测点设在距成纪大道 100 米的点 C 处，如图所示，直线 l 表示成纪大道.这时一辆小汽车由 成纪大道上的 A 处向 B 处均速行驶，用时 5 秒.经测量，点 A 在点 C 的北偏西 60°方向上，点 B 在点 C 的北 偏西 45°方向上. （1）求 A，B 之间的路程（精确到 0.1 米）. （2）请判断此车是否超过了成纪大道 60 千米/小时的限制速度？（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）. 【思路分析】对于（1），根据特殊角的三角函数值求出 AD，BD，进而根据 AB=AD-BD 得出答案； 对于（2），求出该汽车的速度，再与 60 千米/小时比较得出答案. 【解析】（1）如图，根据题意可知 CD=100 米，∠ACD=60°，∠BCD=45°…………1 分 在 Rt△ACD 中，tan60°= ，即 AD=100 ≈173.2（米）……………………………….3 分 在 Rt△BCD 中，tan45°= ，即 BD=100（米）……………………………………………5 分 所以 AB=AD-BD=173.2-100=73.2（米）……………………………………………………..6 分 BD BE 2 3 3 3 315 （2 ）AB 之间的路程为 73.2 米，所用时间为 5 秒，可知其行驶速度为 73.2 ÷5=14.64 （米/ 秒）=14.64 × 3.6=52.704（千米/小时）………………………………………………….8 分 因为 52.704＜60，………………………………………………………………………………9 分 所以没有超速………………………………………………………………………………….10 分 【知识点】解直角三角形的应用 8. （2018 贵州遵义，21 题，8 分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与 水 平 线 的 夹 角 为 64° ， 吊 臂 底 部 A 距 地 面 1.5m （ 计 算 结 果 精 确 到 0.1m 。 参 考 数 据 sin64°≈0.90 ， cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） （1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5m 时，吊臂 AB 的长为______m （2）如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的 高度忽略不计） 第 21 题图 【思路分析】（1）在 Rt△ABC 中，已知∠BAC 和 AC，可通过三角函数可求得 AB 长度；（2）在 Rt△ABC 中，已 知∠DAE 和 AD，可通过三角函数可求得 DE 长度，加上车的高度可得。16 【解析】（1）Rt△ABC 中，cos∠BAC= ，∠BAC=64°，AC=5m，所以 AB= =11.4m； （ 2 ） 过 点 D 作 DE⊥AC 延 长 线 于 点 E ， Rt△ADE 中 ， sin∠DAE= ， ∠DAE=64° ， AD=20m ， 所 以 ，所以从地面上吊起货物的最大高度为 18+1.5=19.5m 第 21 题解图 【知识点】三角函数的应用 9.（2018 湖南省湘潭市，19，6 分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018 年 4 月 12 日，中央军委在 南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到 A 处时，该舰 在观测点 P 的南偏东 45°的方向上，且与观测点 P 的距离 PA 为 400 海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间 后，到达位于观测点 P 的北偏 东 30°方向上的 B 处，问此时巡逻舰与观测点 P 的距离 PB 为多少每里？（参考数据： ≈1.414， ≈1.732， 结果精确到 1 海里）． 【思路分析】先根据 Rt△ACP 中∠APC 的余弦关系求出 PC 的长，然后再根据 Rt△BCP 中∠BPC 的余弦关系求出 BP 的长. 【解析】解：在△APC 中，∠ACP=90°，∠APC=45°，∴cos∠APC= ， ∵AP=400 海里， ∴PC=400× =200 海里． AC AB cos AC BAC∠ DE AE sin 18DE AE DAE m= ⋅ =∠ 2 3 PC AP 2 2 217 又∵在直角△BPC 中，∠PCB=90°，∠BPC=60°， ∴PB= =2PC=400 ≈565.6（海里）． 答：此时巡逻舰与观测点 P 的距离 PB 约为 565.6 每里． 【知识点】解直角三角形 10. （2018 江苏淮安，23，8）为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路 l 的距离，某数学兴趣小组在公路 l 上的 点 A 处，测得凉亭 P 在北偏东 60°的方向上；从 A 处向正东方向行走 200 米，到达公路 l 上的点 B 处，再 次测得凉亭 P 在北偏东 45°的方向上，如图所示，求凉亭 P 到公路 l 的距离。（结果保留整数，参考数据： ) 【思路分析】本题考查解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于 CD 的方程是解题关键．先过点 作 ，垂足为 ，利用矩形的性质得到 CD=BE=AB-AE，然后利用解直角三角形分别求出 AB 与 AE 即可得结 果． 【解析】 过 P 作 PC⊥AB 于 C， cos60 PC  2 1.73231.414,2 == D DE AB⊥ E18 在 Rt△ACP 中， ,即 同理可得，BC=PC, 答：凉亭 P 到公路 l 的距离约为 273 米. 【知识点】解直角三角形的应用-方位角问题 11. （2018 江西，19，8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴 固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图 2 是其俯视简化示意图，已知轨道 AB＝120 cm，两扇活页门的宽 OC ＝OB＝60 cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位)． (1)若∠OBC＝50°，求 AC 的长； (2)当点 C 从点 A 向右运动 60 cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长． 参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π 取 3.14. 【思路分析】(1)过 O 作 OD⊥AB，在 Rt△OBD 中运用三角函数解答；(2)找到点 O 的运动轨迹为弧 CO，故转化为 求弧长，再利用等边三角形特殊角来求． 【解析】(1)如解图①，过 O 作 OD⊥BC，垂足为 D， ∵OC＝OB， ∴BC＝2BD， 在 Rt△OBD 中，OB＝60 cm，∠OBC＝50°， ∴BD＝OBcos50°≈60×0.64＝38.4 cm， PC ACAPC =°=∠ 60tantan PC3PCtan60=AC =° 273 2003 ≈∴ =−=−= PC PCPCBCACAB19 ∴BC＝2BD＝76.8 cm， ∴AC＝AB－BC＝120－76.8＝43.2 cm； 第 19 题解图② (2)∵B 为固定点，OB＝60 cm 为定长， ∴O 点在以 B 为圆心，BO 长为半径的圆上， 如解图②，点 C 从点 A 运动 60 cm 后，恰好在 AB 中点位置，这个过程中 O 点的运动轨迹即为CO︵ ， 所以此时只需求CO︵ 的长， 此时有：OC＝OB＝60 cm，BC＝ 1 2AB＝60 cm， ∴△OBC 为等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∴lCO︵ ＝ 60 360×2π×60＝20π≈20×3.14＝62.8 cm 【知识点】等边三角形性质、直角三角形的性质和锐角三角函数 12. （2018 山东德州，21，10 分）如图,两座建筑物的水平距离 为 ｍ.从 点测得 点的仰角 为 53° , 从 点测得 点的俯角 为 37° ,求两座建筑物的高度(参考数据: )． 【思路分析】在 中，用 可求ＡＢ的长，. 过点 作 交 于点 ，得 ｍ，再用 得 的长， 根据 可得 的长． 【解析】解：过点 作 交 于点 ，则 . BC 60 C A α A D β 3 437 , 37 5 5sin cos≈ ≈  ， 337 , 53 4 4tan sin≈ ≈  , 3 453 355 3cos tan≈ ≈ ， Rt ABC∆ tan AB BC α = D DE AB⊥ AB E 60DE BC= = tan AEADE DE ∠ = AE CD BE AB AE= = − CD D DE AB⊥ AB E 60DE BC m= =20 ∵ . 在 中， . ∴ ,即 . 解得： . 又∵ . 在 中， . ∴ ,即 . 解得： . ∵ . ∴ － . ∵ . ∴ . 答：建筑物 的高度为 .建筑物 的高度为 . 【知识点】锐角三角函数的应用 13. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，20，10）如图，在教学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆 AB 的高 度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°．已知旗杆与教学楼 的距离 BD＝9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）． 453 ,tan53 3a = ≈  Rt ABC∆ tan AB BC α = 4 3 AB BC = 4 60 3 AB = =80AB m 337 ,tan37 4ADE β∠ = = ≈  Rt ADE∆ tan AEADE DE ∠ = 3 4 AE DE = 4 60 3 AE = 45AE m= BE AB AE= − 80BE m= 45 35m m= BE CD= 35CD m= AB 80m CD 35m21 【思路分析】（1）过点C 作 CE⊥AB 于点 E，将问题转化解直角三角形问题；（2）在 Rt△BCE 中，由 tan∠BCE＝ ，得 BE＝CE•tan45°＝9×1＝9（m）；在 Rt△ACE 中，由 tan∠ACE＝ ，得 AE＝CE•tan30°＝9× ＝3 （m）；（3）利用线段和的定义即可求出 AB 的长． 【解析】解：如下图，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，则∠ACE＝30°，∠BCE＝45°，CE＝BD＝9m． 在 Rt△BCE 中，由 tan∠BCE＝ ，得 BE＝CE•tan45°＝9×1＝9（m）； 在 Rt△ACE 中，由 tan∠ACE＝ ，得 AE＝CE•tan30°＝9× ＝3 （m）． ∴AB＝AE＋EB＝(9＋3 )（m）． 答：旗杆的高度为(9＋3 )m． 【知识点】解直角三角形；仰角、俯角 45° 30° D C B A BE CE AE CE 3 3 3 E 45° 30° D C B A BE CE AE CE 3 3 3 3 322 14. （2018 贵州安顺，T21，F10）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的髙 BC 是 10 米，坡面 AC 的 倾斜角∠CAB=45°，在 距 A 点 10 米处有一建筑物 HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使 新坡面 DC 的倾 斜角∠BDC=30°，若新坡面下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 米宽的人行道，问该建筑物是否需 要拆除 (计算最后结果保留一位小数）.(参考数据： =1.414, =1.732) 【思路分析】根据题意，得 AH=10 米，BC=10 米，在 Rt△ABC 中，由于∠CAB=45°，可得 AB=BC=10 米.在 Rt△DBC 中利用锐角三角函数求出 DB，进而可以求出 DH 的长，即可得出结论. 【解题过程】解：由题意得，AH=10 米，BC=10 米， 在 Rt△ABC 中，∠CAB=45°， ∴AB=BC=10 米. 在 Rt△DBC 中，∠CDB=30°， ∴DB= 米. ∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10- +10=20- ≈2.7（米）. ∵2.7 米＜3 米， ∴该建筑物需要拆除. 【知识点】解直角三角形的应用—坡度，锐角三角函数的定义. 15. （2018 湖北荆门，21，10 分） 数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭 之间的距离.如图，无人机所在位置 与岚光阁阁顶 、湖心亭 在同一铅垂面内， 与 的垂直距离为 米， 与 的垂直距离为 米，在 处测得 、 两点的俯角分别为 、 ，且 ， ， 试求岚光阁与湖心亭之间的距离 .（计算结果若含有根号，请保留根号） 2 3 10 3tan∠ =BC CDB 10 3 10 3 P A B P B 300 A B 150 P A B α β 1tan 2 α = tan 2 1β = − AB23 【思路分析】首先过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，过点 A 作 AE⊥PD 于点 E，根据题意可得∠PBD=β，∠PAE=α， AC=150，PD=300，然后利用锐角三角函数的定义得出 BD 和 EA 的长，最后根据勾股定理得出 AB 的长即可. 【解题过程】解：过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，过点 A 作 AE⊥PD 于点 E，由题意可得： ∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300， 在 Rt△PBD 中，BD= = = =300( ). ∵∠AED=∠EDC=∠ACD=90°， ∴四边形 EDCA 是矩形， ∴DC=EA，ED=AC=150， ∴PE=PD-ED=300-150=150， 在 Rt△PEA 中，EA= ， ∴BC=BD-CD=BD-EA=300( )-300=300 ， 在 Rt△ACB 中,AB= (米). 答：岚光阁与湖心亭之间的距离 AB 为 450 米. PBDtan PD ∠ βtan 300 12 300 - 12 + 300 2 1 150150 ===∠ αtanPAEtan PE 12 + 2 4502300150 2222 =+=+ )(BCAC24 【知识点】锐角三角函数定义，勾股定理，矩形的性质 16.（2018 河南，20，9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器 材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示，底座上 A,B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm,高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm,已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°,高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°.求高、低杠之间的水平距离 CH 的长.（结果精确到 1cm. 参考数据： ≈0.991, ≈0.132 ， ≈7.500, ≈0.983, ≈0.168, ≈5.850） 【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是构造出联系已知与未知的直角三角形． sin82.4° cos82.4° tan82.4° sin80.3° cos80.3° tan80.3° H D C BAE F25 “化斜为直”是此类问题的常用方法，本题在解答时通过已经做好的辅助线，即可得到两个有已知边和已知角的 直角三角形，再结合这两个直角三角形中的边与角的关系（三角函数）即可得到相应的等式或方程，进而可解． 利用解直角三角形解决实际问题的步骤是：（1）认真分析题意，找到直角三角形 Rt△CAE 和 Rt△DBF，转化为 解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程（组）来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往 要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（2） 根据条件的特点，适当选用锐角 三角函数等去解直角三角形．（3）按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解， 并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位． 【解题过程】在 Rt△CAE 中, …………………3 分 在 Rt△DBF 中, ………………6 分 ∴EF = AE +AB+ BF ≈20. 7+90+40 =150.7≈151． ∵四边形 CEFH 为矩形,∴CH = EF = 151． ……………………………8 分 即高、低杠间的水平距离 CH 的长约是 151cm． ………………………9 分 【知识点】三角函数．解直角三角形的应用 17. （2018 湖北省襄阳市，18，6 分） 为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇 到汉江水域考察水情，以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向东行驶.在 A 处测得岸边一建筑物 P 在 北偏东 30°方向上，继续行驶 40 秒到达 B 处时，测得建筑物 P 在北偏西 60°方向上，如图所示，求建筑物 P 到赛道 AB 的距离(结果保留根号). 【思路分析】本题考查了特殊三角函数的应用，题目本身易于理解，难度不大，属于简单题.过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 P 到赛道 AB 的距离即为 PC，在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，利用特殊角三角函数用 PC 表示出 AC 和 BC 的长，再利用 AC+BC=AB=400 米列出关于 PC 的方程，解方程即可求出答案. 【解题过程】解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，由题意知∠PAC=60°，∠PBC=30°. 155 155 20.7.tan tan82.4 7.500 CEAE CAE = ∠ °= ≈ ≈ 234 234 40.tan tan80.3 5.850 DFBF DBF = =∠ °= ≈26 在 Rt△PAC 中， , ∴ . 在 Rt△PBC 中， , ∴ . ∵AB=AC+BC = =10×40 =400， ∴PC=100 . 答：建筑物 P 到赛道 AB 的距离为 100 米. 【知识点】特殊角的三角函数、方位角、解直角三角形的应用 18. （2018 湖南张家界，22， 8 分） 2017 年 9 月 8 日—10 日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球 11 个国家的 16 名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面 1000 米高的 A 点出发（AB=1000 米），沿俯角为 的 方向直线飞行 1400 米到达 D 点，然后打开降落伞沿俯角为 的方向降落到地面上的 C 点，求该选手飞行 的水平距离 . PAC AC PC ∠= tan PCAC 3 3= PBC BC PC ∠= tan PCBC 3= PCPC 3 3 3 + 3 3 °30 °60 BC27 【思路分析】首先过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，解直角△ADE，得出 DE、AE 的长，求出 EB，再解直角△DFC，得出 FC 的长，进而求出 BC 即可． 【解题过程】解：过点 D 作 于 E， 于点 F. 由题意知 ， . 在 中. （m）， ， （m）. （m）. m， ， （m）. （m） . 答：求该选手飞行的水平距离 为 m. ABDE ⊥ BCDF ⊥ 70014002 1 2 1 =×== ADAE AD DEADECOS =∠ 37002 31400 =×=DE 3007001000 =−=−= AEABEB 300== BEDF DF FCCDF =∠tan 31003 3300 =×=FC 380031003700 =+=+=+=∴ FCDEFCBFBC BC 800 3 30=∠CDF30=∠ADE DAERt∆28 【知识点】解直角三角形的应用—仰角与俯角问题. 19.（2018 浙江省台州市，19，8 分） 图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图， 是可以伸缩的起重臂，其转动点 离地面 的高度 为 .当起重臂 长度为 ，张角 为 时，求操作平台 离地面的高度（结果保留小数点后一 位；参考数据： ， ， ）. 【思路分析】过点 C 作 CF⊥BD，垂足为 F，过点 A 作 AE⊥CF，垂足为 E，解直角三角形求出 CE 的长度，再求 CE 与 EF 的和即点 C 离地面的高度. 【解题过程】如图所示，过点 C 作 CF⊥BD，垂足为 F，过点 A 作 AE⊥CF，垂足为 E， AC A BD AH 3.4m AC 9m HAC∠ 118 C sin 28 0.47≈ cos28 0.88≈ tan 28 0.53≈29 ∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°，在 RTΔAEC 中， ，可得 ， ∵∠AHF=∠EFH=∠AEF=90°,∴四边形 AHFE 是矩形，∴EF=AH=3.4，∴CF=CE+EF=3.4+4.23=7.63≈7.6(米)， ∴操作平台 C 离地面的高度为 7.6 米. 【知识点】解直角三角形的运用；矩形的判定 20. （2018 江苏省宿迁市，25，10）如图，为了测量山坡上一棵树 PQ 的高度，小明在点 A 利用测角仪测得树顶 P 的仰角为 45°，然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 10m 到达点 B 处，测试测得树顶 P 和树底 Q 的仰角分别是 60 °和 30°．设 PQ⊥AB，且垂足为 C． （1）求∠BPQ 的度数； （2）求树 PQ 的高度（结果精确到 0.1m， ≈1.73）． 【思路分析】（1）利用△PBC 和△BCQ 均为直角三角形，且已知∠PBC 和∠QBC 的度数可求出∠BPQ 的度数；（2） 利用 AC＝PC，解 Rt△PBC 和 Rt△BCQ 可得 QC 的长度，进而求出 PQ 的高度． 【解题过程】（1）∵△PBC 为直角三角形，且∠PBC＝60°， ∴∠BPQ＝90°－60°＝30°． 4 分 （2）由（1）可知∠PBQ＝∠BQC－∠BPQ＝60°－30°＝30°． ∴BQ＝PQ． sin CAE CE AC =∠ sin 9 0.47 4.23CE AC CAE= ∠ = × = 330 设 CQ 的长度为 x，则 PQ＝BQ＝2x，BC＝ CQ＝ x． ∵∠A＝45°，∴AC＝PC． ∵AB＝10m，∴BP＝2x＋x＝3x＝10＋ x． ∴x＝ ． 4 分 ∴PQ＝2× ≈15.8（m）． 2 分 【知识点】解直角三角形 3 3 3 ( ) 3 335 + ( ) 3 335 +