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南昌二中2019届高三第三次考试
数学（文）试卷
命题人：张 婷 审题人：白 田
一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1.已知集合A=,B=,则( )
A. B C. [0,10] D. (0,10]
2.已知是虚数单位，复数，若在复平面内，复数与所对应的点关于虚轴对称，则
3．已知，则的大小关系为（ ）
A B． C． D．
4．给出下列四个命题：
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题，则；
④命题“，使得”的否定是：“均有”.
其中不正确的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6．已知数列的前项和为,则数列的前10项和为 （ ）
A.56 B.58
C.62 D.60
7. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为（ ）
A. B.
C. D.
8．在中,为的中点,点在线段(不含端点)上,且满足，若不等式对恒成立，则的最小值为（ ）
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
9．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中,若不同的两点在函数的图象上,则称是函数的一组关于轴的对称点(与视为同一组),则函数关于轴的对称点的组数为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
11.在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A． B． C．3 D．
12．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13．已知平面向量，，且，则 ．
14. 已知实数满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）．
15. 对于正项数列，定义为的“光”值，现知
某数列的“光”值为，则数列的通项公式为 .
16.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵（qiàn dǔ），斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑(biē nào) ”这里所谓的“鳖臑”就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥是一个“鳖臑”， 平面，，且，，，则三棱锥外接球的表面积为____________.w
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
已知向量， ，函数，且在轴上的截距为，与轴最近的最高点的坐标是．
（1）求和的值；
（2）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．
18.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，若，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2求数列的前项和.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
20．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角所对的边分别为，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.
21.(本小题满分12分)
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数.
（1）求函数的极值；
（2）设，若对任意的恒成立，求实数的最小值.
南昌二中2019届高三第三次考试数学（文）试卷参考答案
一、 选择题
1.D 2.A 3． A 4．C 5．C 6.D 7. C 8．B 9．C 10. C 11. A 12．A
二、 填空题
13.5 14．
15． 16..c
三、 解答题
17．已知向量， ，函数，且在轴上的截距为，与轴最近的最高点的坐标是．
（1）求和的值；
（2）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．
【答案】（1）， ；（2）．
试题解析：（1），
由，得，
此时， ，代点，得到，
∴， ．
（2）函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象，
所以（），（），
因为，所以的最小值为．
18.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，若，，数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面，求三棱锥的体积.
19.解：（1）∵平面平面，
∴．
∵四边形是菱形，∴．
又∵，∴平面．
而平面，
∴平面平面；
（2）连接，∵平面，平面平面，
∴．∵是的中点，∴是的中点．
取的中点，连接，∵四边形是菱形，，
∴，又，∴平面，且，
故
20．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.
【答案】(1)，.(2).
解析：（1）
.
令，，得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2），，
因为，所以，，
所以，则，又上的中线长为，所以，
所以，即，
所以，①由余弦定理得，
所以，②由①②得：，
所以.
21.(本小题满分12分)
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，
∴椭圆的方程为 ……………………4分
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线.
由得，.
令得，.
联立与，化简得.
设A()，B()，则
∴，而原点O到直线的距离
∴.
当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，
∴.
综上所述，的面积为定值6. ……………………12分
22. 已知函数，其中均为实数，为自然对数的底数.
（1）求函数的极值；
（2）设，若对任意的恒成立，求实数的最小值.
22.解： （1）由题得，，令，得．，
列表如下：
1
大于0
0
小于0
极大值
∴当时，取得极大值，无极小值；
（2）当时，，∵在区间
上恒成立，
∴在区间上为增函数，设，
∵在区间上恒成立，
∴在区间上为增函数，不妨设，
则等价于，
即，设，
则在区间上为减函数，
∴在区间上恒成立，
∴在区间上恒成立，
∴，
设，
∵，
∴，则在区间上为减函数，
∴在区间上的最大值，∴，
∴实数的最小值为．
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