南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（文科） 2017.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．命题“若a＝b，则|a |＝|b|”的逆否命题是 ▲ ．
2．双曲线x2－＝1的渐近线方程是 ▲ ．
3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 ▲ ．
4．在平面直角坐标系xOy中，点(4，3)到直线3x－4y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是
▲ ．
5．曲线y＝x4与直线y＝4x＋b相切，则实数b的值是 ▲ ．
6．已知实数x，y满足条件则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2＝4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF＝5，则点P的横坐标是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2＋y2＝r2(r＞0)与圆M:(x－3)2＋(y＋4)2＝4相交，则r的取值范围是 ▲ ．
9．观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
依此规律，
当n∈N*时，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝ ▲ ．
10．若“x∈R，x2＋ax＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数f(x)＝(x2＋x＋m)ex(其中m∈R，e为自然对数的底数)．若在x＝－3处函数f (x)有极大值，则函数f (x)的极小值是 ▲ ．
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的充要条件；
②“a＝1”是“直线l1:ax＋y－1＝0与直线l2:x＋ay－2＝0平行”的充分不必要条件；
③“函数f (x)＝x3＋mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是 ▲ ．
13．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，左焦点为F，点M的坐标为(－2c，0)．若椭圆E上存在点P，使得PM＝PF，则椭圆E离心率的取值范围是 ▲ ．
14．已知t＞0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．
(1)求BC边上的中线所在直线的方程；
(2)求BC边上的高所在直线的方程．
16．（本题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
(2)若z1＝(z2)2，求m，n的值．
17．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，且圆M与直线
x＋y－1＝0相切于点P(2，－1)．
(1)求圆M的方程；
(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
18．(本题满分16分)
某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图)．设
∠AOF＝θ，其中O为圆心．
(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f(θ)；
(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
A
B
C
F
D
E
（第18题图）
O
θ
19．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，两个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，点M(－1，0)，且3＝，过点M斜率为k(k≠0)的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若BC⊥CD，求k的值；
(3)记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
x
A
B
y
C
M
O
(第19题图)
D
20．（本题满分16分）
已知函数f (x)＝ax－lnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f (x)的最小值；
(2)已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f (x)＝1成立，求a的取值范围；
(3)若对任意的x∈[1，＋∞)，有f (x)≥f ()成立，求a的取值范围．
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷
高二数学（文科）参考答案及评分标准 2017．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．若|a |≠|b|，则a≠b 2．y＝±2x 3．2 4．±5 5．－3 6．9 7．4
8．(3，7) 9． 10．(－∞，0]∪[4，＋∞) 11．－1 12． ②④
13．[，] 14．(3，4)
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
解：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， ………………2分
所以AD的斜率为k＝＝8， ……………… 5分
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，
即8x－y－48＝0． ……………… 7分
（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝＝1，…… 9分
所以BC边上的高所在直线的斜率为－1， ………………… 12分
所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，
即x＋y－15＝0． ………………………… 14分
16．（本题满分14分）
解：（1） 当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i， ………………4分
所以|z1＋z2|＝＝． ………………6分
（2）若z1＝(z2)2，则m－2i＝(1－ni)2，
所以m－2i＝(1－n2)－2ni， ……………10分
所以 ………………12分
解得 ………………14分
17．（本题满分14分）
解：（1）过点(2，－1)且与直线x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－3＝0，……2分
由 解得
所以圆心M的坐标为(1，－2)， ………………4分
所以圆M的半径为r＝＝， ………………6分
所以圆M的方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝2． ………………7分
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，
所以圆心M到直线l的距离为d＝＝， ……………9分
若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，则弦长为2，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
由d＝＝， ………………11分
整理得k2＋8k＋7＝0，
解得k＝－1或－7， ………………13分
所以直线l的方程为x＋y＝0或7x＋y＝0． ………………14分
18．（本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH＝cosθ，AB＝2OH＝2cosθ，AH＝sinθ， ……………2分
则六边形的面积为f (θ)＝2×(AB＋CF)×AH＝(2cosθ＋2)sinθ
＝2(cosθ＋1)sinθ，θ∈(0，)． ………………6分
（2）f ′(θ)＝2[－sinθsinθ＋(cosθ＋1)cosθ]
＝2(2cos2θ＋cosθ－1)＝2(2cosθ－1)(cosθ＋1)． ………………10分
令 f ′(θ)＝0，因为θ∈(0，)，
所以cosθ＝，即θ＝， ……………………12分
当θ∈(0，)时，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，)上单调递增；
当θ∈(，)时，f ′(θ)＜0，所以f (θ)在(，)上单调递减， …………14分
所以当θ＝时，f (θ)取最大值f ()＝2(cos＋1)sin＝． …………15分
答：当θ＝时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．
…………………………16分
19．（本题满分16分）
解：（1）因为3＝，
所以3(－1＋a，0)＝(a＋1，0)，解得a＝2． ………………2分
又因为＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1． ………………4分
（2）方法1
设点C的坐标为(x0，y0)，y0＞0,
则＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．
因为BC⊥CD，所以(－1－x0)( 2－x0)＋y02＝0． ① ……………6分
又因为＋y02＝1， ②
联立①②，解得x0＝－，y0＝， ………………8分
所以k＝＝2． ………………10分
方法2
因为CD的方程为y＝k(x＋1)，且BC⊥CD，
所以BC的方程为y＝－(x－2)， ………………6分
联立方程组，可得点C的坐标为(，)， ………………8分
代入椭圆方程，得＋()2＝1，
解得k＝±2．
又因为点C在x轴上方，所以＞0，所以k＞0，
所以k＝2 ………………10分
（3）方法1
因为直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝， …………………12分
所以k1k2＝＝ …………………14分
＝＝＝－，
所以k1k2为定值． ……………16分
方法2
因为直线BC的方程为y＝k1(x－2)，
由得C(，)， ………………12分
同理D(，)，
由于C，M，D三点共线，故，共线，
又＝(＋1，)＝(，)，
＝(＋1，)＝(，)，
所以×＝×， ……………14分
化简得12k12k2－k2＝12k1k22－k1，即(12k1k2＋1)(k1－k2)＝0，
由于k1≠k2，否则C，D两点重合，于是12k1k2＋1＝0，即k1k2＝－，
所以k1k2为定值． ……………16分
方法3
设C(x0,y0)，则CD：y＝(x+1)(－2＜x0＜2且x0≠－1)，
由消去y，
得[(x0＋1)2＋4y02]x2＋8y02x＋4y02－4(x0＋1)2＝0. ………………12分
又因为＋y02＝1，所以得D(，)， ………………14分
所以k1k2＝·＝
＝＝＝－，
所以k1k2为定值． ………………16分
20．（本题满分16分）
解：（1）a＝1时，f(x)＝x－ln x , 则f '(x)＝1－＝，
令f '(x)＝0，则x＝1． ……………………2分
当0＜x＜1时，f '(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，f '(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ………………3分
所以当x＝1时，f (x)取到最小值，最小值为1． …………………4分
（2）因为 f (x)＝1，所以ax－lnx＝1，即a＝＋， ………………6分
设g(x)＝＋，x∈[，e]，则g '(x)＝，
令g '(x)＝0，得x＝1．
当＜x＜1时，g '(x)＞0，所以g(x)在(，1)上单调递增；
当1＜x＜e时，g '(x)＜0，所以g(x)在(1，e)上单调递减； ………………8分
因为g(1)＝1，g()＝0，g(e)＝，所以函数g (x)的值域是[0，1]，
所以a的取值范围是[0，1]． ……………………10分
（3）对任意的x∈[1，＋∞)，有f(x)≥f()成立，
则ax－lnx≥＋lnx，即a(x－)－2lnx≥0．
令h(x)＝a(x－)－2lnx，则h'(x)＝a(1＋)－＝，
①当a≥1时，ax2－2x＋a＝a(x－)2＋≥0，
所以h'(x)≥0，因此h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以x∈[1，＋∞)时，恒有h(x)≥h(1)＝0成立，
所以a≥1满足条件． ………………12分
②当0＜a＜1时，有＞1，若x∈[1，]，则ax2－2x＋a＜0，
此时h'(x)＝＜0，
所以h(x)在[1，]上单调递减，所以h()＜h(1)＝0，
即存在x＝＞1，使得h(x)＜0，所以0＜a＜1不满足条件．……………14分
③当a≤0时，因为x≥1，所以h'(x)＝＜0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，所以a≤0不满足条件．
综上， a的取值范围为[1，＋∞). ………………16分
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