2018年中考数学试题分类汇编知识点38相似、位似及其应用.doc

1 知识点 38 相似、位似及其应用 一、选择题 1. （2018 山东滨州，6，3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，8）、B（10，2）．若 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩短为原来的 后得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为（ ） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 【答案】C 【解析】根据题意：点 C 的坐标为(6× ，8× )，即 C(3，4)， 【知识点】以原点为位似中心的两个位似图形的坐标特征 2. （2018 四川泸州，10 题，3 分）如图 4，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ） A. B. C. 　 D. 第 10 题图 【答案】C 【解析】因为正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以设边长为 4a，则 AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延长 BE、CD 交于点 M，易得△ABE∽△MDE，可得 MD= ，因为△ABG∽△MFG，AB=4a，MF= ，所以 第 10 题解图 【知识点】相似三角形 1 2 1 2 1 2 AG GF 4 3 5 4 6 5 7 6 G F E D CB A a3 4 a3 10 5 6== MF AB GF AG2 3. （2018 四川内江，8，3）已知△ABC 与△A1B1C1 相似，且相似比为 1：3，则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为（ ） A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】D 【解题过程】解：∵△ABC∽△A1B1C1 相似，∴ ＝( )2＝ ．故选择 D． 【知识点】相似三角形的性质 4. （2018 山东潍坊，8，3 分）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为（ ） A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（－2m，－2n） C．（ ， ） D．（ ， ）或（ ， ） 【答案】B 【解析】当放大后的△A′OB′与△AOB 在原点 O 同侧时，点 P 对应点坐标为（2m，2n），当放大后的△A′OB′ 与△AOB 在原点 O 两侧时，点 P 对应点坐标为（－2m，－2n），故选择 B. 【知识点】图形的位似 5. （2018 四川省达州市，9，3 分）如图， E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE＝CF＝ AC，连接 DE、DF 并延长，分别交 AB、BC 于点 G、H，连接 GH，则 的值为（ ）． A． B． C． D．1 第 9 题图 ABC A B C S S ′ ′ ′   1 3 1 9 1 2 m 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 m− 1 2 n− 1 4 ADG BGH S S   1 2 2 3 3 4 G HF E C A B D3 【答案】C． 【解析】如图，过点 H 作 HM∥AB 交 AD 于 M，连接 MG． 设 S 平行四边形 ABCD＝1．∵AE＝CF＝ AC， ∴S△ADE＝ S△ADC＝ S 平行四边形 ABCD＝ ，S△DEC＝ ． ∴S△AEG＝ S△DEC＝ ． ∴S△ADG＝S△ADE＋S△AEG＝ ＋ ＝ ． ∵ ＝ ，∴S△AMG＝ S△ADG＝ ． ∵ ＝ ，∴S△GBH＝2 S△AMG＝ ． ∴ ＝ ＝ ． 故选 C. 【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等 6.（2018 四川省南充市，第 10 题，3 分）如图，正方形 的边长为 2， 为 的中点，连结 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 . 下列结论正确的是（ ） 1 4 1 4 1 8 1 8 3 8 1 9 1 24 1 8 1 24 1 6 CH AD 1 3 2 3 1 9 AG CD 1 3 2 9 ADG BGH S S   1 6 2 9 3 4 M G H F E C A B D ABCD P CD AP B BE AP⊥ E CE AD F C CH BE⊥ G AB H HF4 A． B． C． D． 【答案】D 【思路分析】1.利用平行四边形的判定和性质，求得 AH 的值，再利用平行线分线段成比例，得到 BG=EG，利用 垂直平分线的性质，可得 CE=BC；2.根据角之间的关系，推出AE=EF，设 AB=EF=x，进而利用勾股定理求出 EF 的 长度；3.利用∠7=∠1，易得 cos∠CEP=cos∠1，在 Rt△BDP 中，求得 cos∠CEP；4.在 Rt△FAH 中，利用勾股定 理求出 HF2，在 Rt△CDF 中，求得 CF 的长度，即可得证. 【解题过程】解：由 BE⊥AP，BE⊥CH，可证 AP∥CH，又∵CP∥AH，∴四边形 CPAH 是平行四边形，∴AH=CP= CD=1， ∴BH=1，又∵BH=AH，GH∥AP，∴BG=EG，∴BC=CE=2，故 A 错误；∵CH∥AP，∴∠2=∠4，∵∠2+∠1=90°，∠ 4+∠5=90°，∴∠1=∠5，由 BC=CE，BG⊥CG，可知∠5=∠6，又∵CH∥AP，∴∠6=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴ AF=EF，设 AF=EF=x，则由勾股定理，可知 CD2+DF2=CF2，即 22+(2－x)2=(2+x)2，解得：x= ，即 EF=AF= ， 故 B 错误；在Rt△ADP 中，AP= = ,由∠7=∠1，可得：cos∠CEP=cos∠1= = = ，故 C 错误；在Rt△FAH 中，AH=1，AF= ，∴HF2=AH2+AF2=1+ = ，在Rt△CDF 中，CD=2，DF= ，∴CF= = = ，∴CF•EF= × = =HF2.故 D 选项正确.故选 D. 5CE = 2 2EF = 5cos 5CEP∠ = 2HF EF CF= ⋅ 1 2 1 2 1 2 2 2AD DP+ 5 AD AP 2 5 2 5 5 1 2 1 4 5 4 3 2 2 2CD DP+ 94 4 + 5 2 5 2 1 2 5 45 【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数 7. （2018 浙江绍兴，7，3 分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直 距离 为（ ） （第 7 题图） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知△ABO ∽△CDO ，根据相似三角形的性质可得 ， ， ， ， ， ，故选 C。 【知识点】相似三角形的性质 8. （2018 江苏泰州，6，3 分）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，垂足为 ，点 BD O AC AB BD⊥ CD BD⊥ B D 4AO m= 1.6AB m= 1CO m= C CD 0.2m 0.3m 0.4m 0.5m AO AB CO CD = 4AO m= 1.6AB m= 1CO m= CD 6.1 1 4 = 4.0416.1 =÷×=CD xOy A ( )0,6 AB y⊥ B6 从原点 出发向 轴正方向运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 到达点 时，点 、 同时停 止运动，若点 与点 的速度之比为 ，则下列说法正确的是( ) A.线段 始终经过点 B.线段 始终经过点 C.线段 始终经过点 D.线段 不可能始终经过某一定点 【答案】A 【解析】连接AO 交 PQ 于点 C，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，∵AB⊥y 轴，∴AB∥x 轴，∴∠A=∠COP，∠AQC=∠OPC，∴△ AQC∽△OPC，∴ ，∴ ，同上得 ， ，∵点 A 的坐标为 （9，6），∴点 C 的坐标为（3，2）. 故选 A. 【知识点】双动点，相似，定点 9.（2018 山东临沂，6，3 分）如图，利用标杆 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高 1.2m，测得 AB＝1.6m，BC ＝12.4m．则建筑物 CD 的高是( ) 第 6 题图 A．9.3m B．10.5m C.12.4m D．14m 【答案】B 【解析】由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴ ，即 ，解得 CD=10.5（m），故选 B. 【知识点】相似三角形的判定和性质 解直角三角形 10. （2018 山东威海，11，3 分）矩形 ABCD 与 CEFG 如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF， P O x Q A B Q B P Q P Q 1: 2 PQ ( )2,3 PQ ( )3,2 PQ ( )2,2 PQ 2AC AQ OC OP = = 2 3 AC AO = 2 43CD BO= = 2 63AD AB= = BE E D CBA AC AB CD BE = 4.126.1 6.12.1 += CD7 取 AF 的中点 H，连接 GH，若 BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则 GH＝( ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路分析】若要求 GH 的长，应先将其转化到三角形中，过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M，在 Rt△GHM 中，只要 求出 GM、HM，即可解决问题． 【解题过程】过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M，设 AF 交 CG 于点 O． 根据题意可知△GOF∽△DOA，∴ ，所以 OF＝ OA＝ AF，即 AF＝3OF，因为点 H 是 AF 的中点， 所以 OH＝ AF－ AF＝ AF，即 AF＝6OH，所以 OH＝ OF．根据已知条件可知△HOM∽△GOF，可以推出 HM＝ ； 同 理 ， 通 过 △ HOM ∽ △ AOD ， 可 以 推 出 DM ＝ DG ， 即 GM ＝ DG ＝ ， 在 Rt △ GHM 中 ， GH ＝ 。故选 C． 【知识点】三角形相似的性质与判定、勾股定理 11. （2018 四川省德阳市，题号 12，分值：3）如图，四边形 AOEF 是平行四边形，点 B 为 OE 的中点，延长 FO 至点 C，使 FO=3OC，连接 AB，AC，BC，则在△ABC 中，S△ABO:S△AOC:S△BOC（ ） A.6:2:1 B.3:2:1 C.6:3:2 D.4:3:2 1 2 3 2 2 5 2 O H G F E D M CB A GF OG OF 1= = =AD OD OA 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2HM +GM = 28 【答案】B. 【解析】∵四边形 AOEF 是平行四边形， ∴AF∥EO， ∴∠AFM=∠BOM，∠FAM=∠MBO， ∴△AFM △BOM， ∴ . 设 S△BOM=S，则 S△AOM=2S. ∵FO=3OC，OM= FM， ∴OM=OC， ∴S△AOC=S△AOM=2S，S△BOC=S△BOM=S， ∴S△ABO:S△AOC:S△BOC=3:2:1. 【知识点】相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质 12. （2018 四川省宜宾市，6，3 分）如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C' 的位置，已知△ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA'=1,则 A'D 等于（ ）9 A. 2 B.3 C. 2 3 D. 3 2 【答案】A 【解析】如图， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且 AD 为 BC 边的中线， ∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ， ∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB，∴（ ）2= ，即（ ）2= ， 解得 A′D=2 或 A′D= （舍去），故选：A． 【知识点】平移的性质；相似三角形的性质；三角形中线的性质 1. （2018 湖北鄂州，10，3 分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线 分别与 x 轴、y 轴交于点 P、 Q，在 Rt△OPQ 中从左向右依次作正方形 A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4…AnBnCnCn+1，点 A1、A2、A3…An 在 x 轴 上，点 B1 在 y 轴上，点 C1、C2、C3…Cn+1 在直线 PQ 上，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一 个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左到右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为 S1、S2、S3…Sn，则 Sn 可表示为（ ） C' B' A' DB C A 1 2 1 2 9 2 'A D AD ADE ABD S S △ △ ' ' 1 A D A D + 9 2 2 2 5 − 1 13 3 3 y x= − +10 A． B． C． D． 【答案】A． 【思路分析】首先由一次函数关系式求得点P 和点 Q 的坐标，用勾股定理求得 PQ 的长度，利用等面积法求得 ON 的长度，然后由△O A1B1∽△OPQ 求得正方形 A1B1C1C2 的边长 a1 的值，从而得出 S1＝10；在利用勾股定理和△O A1B1 ∽△OPQ ，得出正方形 A2B2C2C3 的边长 a2 ＝ a1 ，以此类推，得到 Sn ＝10 × Sn-1 ＝10 × × ＝ ． 【解析】 如下图（1），当 x＝0 时，y＝ ，故点 Q 的坐标为（0， ），OQ＝ ；当 y＝0 时， ，解得 x＝ 13，故点 P 的坐标为（13，0），OP＝13，在 Rt△OPQ 中，则 PQ＝ ，过点 O 作 ON⊥PQ 于点 N，交 A1B1 于点 M，则 S△OPQ＝ OP·OQ＝ ON·PQ，则 ON＝ ， 设正方形 A1B1C1C2 的边长为 a1，∵四边形 A1B1C1C2 是正方形，∴A1B1∥PQ，则△O A1B1∽△OPQ，∴ ， 2 23 2 34 n n − − 13 24 n n − − 3 14 n n− 23 2 14 n n− 3 4 3 4 3 4 ( )2 13 4 n−    2 23 2 34 n n − − 13 3 13 3 13 3 1 13 0 3 3 x− + = 213 13 102 2 213 3 3 OP OQ+ = + =    1 2 1 2 1313 13 13 103 13 101010 3 OP OQ PQ ×⋅ = = = 1 1A BOM ON PQ =11 即 ，解得 a1＝ ，则 S1＝ ＝10，∵△OA1B1∽△OPQ，∴ ，令 OB1 ＝m，则 OA1＝3m，则在 Rt△OPQ 中， ，解得 m＝1，故 OB1＝m＝1，OA1＝3m＝3，则 S1＝ ＝10，设正方形 A2B2C2C3 的边长为 a2，则 A1C2＝A2B2＝a2，∵四边形 A2B2C2C3 是正方形，∴∠A1B2A2＝∠A1OB1＝90 °，∴∠OB1 A1＋∠OA1B1＝90°，∠OA1B1＋∠B2A1A2＝90°，∴∠OB1 A1＝∠B2A1A2，又∵∠A1OB1＝∠A1 B2A2＝90 °，∴△O A1B1∽△A1A2B2，∴ ，∴ ＝3 ，∴ ＝ ＝ a2，又∵A1B2＋B2C2＝ A1C2，∴a2＋ a2＝a1，解得 a2＝ a1，S2＝10× ，同理可得 an＝ an-1，Sn＝10× Sn-1＝10× × ＝ ，故选 A． 【知识点】一次函数性质；正方形的性质；等面积法；相似三角形的性质和判定；勾股定理；找规律 2. （2018 四川遂宁，10，4 分）已知如图，在正方形 ABCD 中，AD=4，E，F 分 别是 CD，BC 上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点 A 沿顺时针方向 旋转 90°后与△ABG 重合，连接 EF，过点 B 作 BM∥AG，交 AF 于点 M，则以 下结论：①DE+BF=EF，②BF= ，③AF= ，④S△MBF= 中正确的是 13 10 110 1 13 10 13 10 10 3 a a− = 10 ( )2 10 131 3131 3 OA OP OB OQ = = = ( ) ( )22 23 10m m+ = ( )2 10 2 2 1 3 1 2 1 A B OA A B OB = = 2 2A B 1 2A B 1 2A B 1 3 2 2A B 1 3 1 3 3 4 23 4     3 4 3 4 3 4 ( )2 13 4 n−    2 23 2 34 n n − − 7 4 7 30 175 3212 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D. 【解析】解：∵∠ABC=90°， ∴∠ABG=90°， 在△ADE 和△ABG 中， ， ∴△ADE≌△ABG（SAS）， ∴AE=AG，∠DAE=∠BAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=45°， ∴BAF+∠BAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF 和△AGF 中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=GF， ∵GF=BG+BF=DE+BF，    = °=∠=∠ = BGDE ABGD ABAD 90    = ∠=∠ = AFAF GAFEAF AGAE13 ∴EF=DE+BF． 故①正确； 设 BF=x，则 FC=4-x，GF=EF=3+x， 在 Rt△EFC 中， ∵FC2+EC2=EF2， ∴(4-x)2+12=(3+x)2，解得 x= ， 故②正确； 在 Rt△ABF 中， ∵AB2+BF2=AF2， ∴AF2=42+( )2= ， ∴AF= ， 故③错误； S△AGF= GF·AB= . ∵BM∥AG， ∴△BFM∽△GFA， ∵ , ∴S△MBF= ×S△AGF= . 故④正确. 故选 D. 【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质 3. （2018·重庆 A 卷，5，4）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 7 4 7 4 49 800 7 220 2 1 7 50 25 4= GF BF 2)25 4( 175 3214 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为 （ ） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【答案】 C． 【解析】设中另一个三角形的最长边为 xcm，根据相似三角形的性质，得 ，解得 x＝4.5，故选 C． 【知识点】相似三角形的性质 4. （2018 贵州遵义，10 题，3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB、 CD 于 E、F，连接 PB、PD，若 AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为 A.10 B.12 C.16 D.18 第 10 题图 【答案】C 【解析】矩形 ABCD 中，AB∥CD，所以∠EAP=∠FCP，因为∠APE=∠FCP，所以△APE∽△FCP，所以 ， 因 为 EF ∥ BC ， 所 以 EB=FC ， 所 以 EB · EP=AE · FP=16 ， 所 以 ， 因 为 DF=AE=2 ， ，所以 【知识点】矩形，相似三角形，三角形面积 5. （2018 湖北荆门，6，3 分） 如图，四边形 为平行四边形， 、 为 边的两个三等分点，连接 、 交于点 ，则 （ ） 2.5 9 5 x = AE EP FC FP = 1 82S EB EP= ⋅ ⋅ =△EBP 1 82S DF FP= ⋅ ⋅ =△DFP EBP DFP= + =16S S S△ △阴影 ABCD E F CD AF BE G :EFG ABGS S∆ ∆ =15 A． B． C. D． 【答案】 C. 【解析】解：∵E、F 为 CD 边的两个三等分点， ∴EF= CD. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∴EF= AB，△EFG∽△BAG， ∴ = . 故选 C. 【知识点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 6.（2018 湖南省永州市，8，4）如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边 AC 的长为 （ ） ] A．2 B．4 C.6 D．8 【答案】B 1:3 3:1 1:9 9:1 3 1 3 1 :EFG ABGS S∆ ∆ = 2)( BA EF 9 1 A B C D16 【解析】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4. 因此，本题选 B． 【知识点】相似三角形的条件 相似三角形的性质 7. （2018 四川攀枝花，9，3）如图 3，点 A 的坐标为(0,1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作 Rt△ ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大 致是( ) 【答案】C 【思路分析】可根据题意求出 y 与 x 的函数关系式，再由关系式判断函数的大致图像。 【解析】如图，过点 C 作 CD ⊥ y 轴 ， 垂 足 为 D ， 易 证 △ AOB ∽ △ CDA ， 所 以 ， 由 ∠ BAC=90° ， ∠ ACB=30° ， 得 ， 所 以 ， ， 整 理 得 ： （ ），结 合 自 变 量 的 取 值 范 围 ， 可 知 y 与 x 的函数关系的图像大致应该选 C. AC AB AD OB = 3 1= AC AB 3 1= AD OB 3 1 1 =−y x 13 += xy ＞0x17 【知识点】平面直角坐标系，相似三角形，一次函数的图像 8. （2018 四川自贡，6，4 分）如图，在⊿ 中，点 分别是 的中点，若⊿ 的面积为 4，则是⊿ 的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】∵点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ ，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，且相似比 为 1:2，∴面积比为 1:4，∵△ADE 的面积为 4，∴△ABC 的面积为 16，故选择 D. 【知识点】相似三角形的性质与判定 9.（2018 湖北省孝感市，10，3 分）如图， 是等边三角形， 是等腰直角三角形， ， 于点 ，连 分别交 ， 于点 ， ，过点 作 交 于点 ，则下列结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . ABC D E、 AB AC、 ADE ABC ED B C A 2 1== AC AE AB AD ABC∆ ABD∆ 90BAD∠ =  AE BD⊥ E CD AE AB F G A AH CD⊥ BD H 15ADC∠ =  AF AG= AH DF= AFG CBG∆ ∆ ( 3 1)AF EF= − ED B C A ED B C A18 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由△ABC 是等边三角形可知:∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC．由△ABD 是等腰直角三角形且 AE⊥BD 可知：∠ADB=∠ABD=45°，∠BAD=90°，AB= AD．∴AC= AD，∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+60°=150°，所以∠ADC= ∠ACD= （180°-∠DAC）= ×（180°-150°）=15°，所以①说法正确.∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=45°-15°=30 °，∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG．∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°，∠AFG≠∠AGD，∴AF ≠AG，所以②说法错误. ∵ ，AC= AD，∴∠DAH=∠CAH= ∠DAC= ×150°=75°.∴∠BAH=∠CAH-∠BAC=75°-60°=15°=∠ADF．又∵∠DAF=90°-∠ADE=90°-45°=45 °=∠ABH．在△BAH 和△ADF 中， ∴AH=DF. ∴③说法正确. 在 △AFG 和△CBG 中， ∴④说法正确. ∵∠EAH=∠BAD-∠DAE-∠BAH=90° -45 ° -15=30 ° ， ∠ FDE= ∠ ADE- ∠ ADC=45 ° -10 ° =30 ° ， ∴ ∠ EAH= ∠ FDE. 在 △ AEH 和 △ DEF 中 ， ∴ EH=EF ． ∵ 在 Rt △ AEH 中 ， AH=2EH, ∴ AE= ∴AE= ∴AF=AE-EF= -EF= . ∴⑤说法正确.故选 B. 【知识点】等边三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；相似三角 形的判定定理及性质；全等三角形的判定定理及性质；勾股定理.． 1 2 1 2 AH CD⊥ 1 2 1 2 ∠ ∠ , , ∴△ ≌△ （ASA）. ∠ ∠ , BAH ADF AB AD BAH ADF ABH DAF  =  =  = ∠ ∠ ,∴△ ∽△ .∠ ∠ , AGF CGB AFG CBG AFG CBG  =  = ∠ ∠ , , ∴△ ≌△ （ASA）. ∠ ∠ 90 , EAH EDF AE DE AEH DEF AEH DEF  =  =  = = ° 2 2 2 2( 2 ) 3 .AH EH EH EH EH− = − = 3 .EF 3EF ( 3 1)EF−19 10. （2018 浙江省台州市，8，3 分） 如图，在 中 ， ， .以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ， 再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，射线 交 的延长线于点 ， 则 的长是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路分析】根据作图可知 CE 是∠BCD 的角平分线，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质即 可求出 AE 的长. 【解题过程】如图所示， 根据作图过程可知 CE 是∠BCD 的角平分线，∴∠FCB=∠FCD，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，且 DC=AB=2，∴∠ DFC= ∠ FCB ， ∴ ∠ FCD= ∠ DFC ， ∴ DF=DC=2 ， ∴ AF=AD-DC=3-2=1 ， ∵ AF ∥ BC ， ∴ Δ EAF ∽ Δ EBC ， ∴ ，即 ，解得 AE=1 【知识点】角平分线的尺规作图；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质； ABCD 2AB = 3BC = C BC P CD Q P Q 1 2 PQ N CN BA E AE 1 2 6 5 3 2 EA AF EB BC = 1 2 3 AE AE =+20 11. （2018 广西玉林，6 题，3 分）两三角形的相似比是 2:3，则其面积比是 A. B.2:3 C.4:9 D.8:27 【答案】C 【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为相似比是 2:3，所以面积比为 4:9，故选 C 【知识点】相似性质 12. （2018 广西玉林，9 题，3 分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向移动，以 AC 为边在右侧作等边△ACD，连接 BD，则 BD 所在直线与 OA 所在直线的位置关系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 第 9 题图 【答案】A 【解析】设 AB 与 CD 相交于点 M，因为∠AOB=60°，OA=OB，所以△AOB 为等边三角形，因为△ACD 为等边三角形， 所以∠ADM=∠CBM=60°，因为∠AMD=∠CMB，所以△AMD∽△CMB，所以 ，所以 ，因为∠ AMC=∠DMB，所以△AMC∽△DMB，所以∠DBA=∠ACD=60°，所以∠DBA=∠BAO，BD∥OA，故选 A 【知识点】等边三角形，相似三角形，平行线 13. （2018 山东省泰安市，18，3）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题： “今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城， 东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门 15 步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位 于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为 步． 2 : 3 AM DM CM BM = AM CM DM BM = DEFG H GD K ED A A D AC KC21 【答案】 【思路分析】本题主要是考查学生建模思想，图中是两三角形相似中的基本图形，运用相似三角形的对应边成比 例可求 的长． 【解题过程】解：∵ 是正方形，∴DG∥KC， ∴ △AHD∽△AOC， ∴ 即 解得： 故答案是： 【知识点】相似三角形判定及性质 二、填空题 1. （2018 四川内江，25，6） 如图，直线 y＝－x＋1 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，将线段 OA 分成 n 等份， 分点分别为 ， ， ，…， ，过每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 ， ， ，…， ，用 ， ， ，…， ，分别表示 Rt△ O ，Rt△ ，…，Rt△ 的面积，则 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ． 2000 3 KC DEFG AH HD AO OC = 15 100 15 100 100 KC =+ + 2000 3KC = 2000 3 1P 2P 3P 1nP − 1T 2T 3T 1nT − 1S 2S 3S 1nS − 1T 1P 2T 1P 2P 1nT − 2nP − 1nP − 1S 2S 3S 1nS −22 【答案】 【思路分析】由 ， ， ，…， 为线段 OA 的 n 等分点，且每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 ， ， ，…， ，可以得到若干个“A”字型的相似三角形，利用这些相似可以依次将上述直角三角形中的平 行于 y 轴的直角边表示出来，由于这些直角三角形的一条直角边都是 ，所以提出将其整理就可以得到答案． 【解题过程】解：∵ ∥y 轴，∴△A ∽△ABO，∴ ＝ ，∵直线 y＝－x＋1 与两坐标轴 分别交于 A、B 两点，∴OA＝OB＝1，∴ ＝ ，∵O ＝ ，∴ ＝ × × ，同理 ＝ × × ，…， ＝ × × ，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ × ×（ ＋ ＋ ＋…＋ ） ＝ × × （n－1＋n－2＋n－3＋…＋1）＝ × × ＝ ． 【知识点】一次函数；相似三角形； 2. （2018 四川绵阳，18，3 分）如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点， 则 AB= 1 4 n n − 1P 2P 3P 1nP − 1T 2T 3T 1nT − 1 n 1T 1P 1T 1P 1 1T P OB 1 1AP n OA n −= 1T 1P 1n n − 1P 1 n 1S 1 2 1 n 1n n − 1S 1 2 1 n 2n n − 1nS − 1 2 1 n 1 n 1S 2S 3S 1nS − 1 2 1 n 1n n − 2n n − 3n n − 1 n 1 2 1 n 1 n 1 2 2 1 n ( )1 2 n n − 1 4 n n −23 【答案】 . 【解析】解：连接 DE，如图所示. ∵AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线， ∴DE∥AB，且 DE= AB， ∴ . 设 OD=a，OE=b，则 OA=2a，OB=2b， ∵AC=3，BC=4， ∴BD=2，AE=1.5. ∵AD⊥BE， ∴在 Rt△BOD 中，OB2+OD2=BD2，即 4b2+a2=4， 在 Rt△AOE 中，OE2+OA2=AE2，即 4a2+b2=2.25， ∴5a2+5b2=6.25，即 a2+b2=1.25. ∵在 Rt△AOB 中，AB2=OB2+OA2=4a2+4b2=5， ∴AB= . 5 2 1 2 1== OB OE OA OD 524 故答案为 . 【知识点】平行线分线段成比例定理，中位线的性质，勾股定理 3. （2018 安徽省，14，5 分）矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部，点 E 在边 BC 上,满足△PBE∽△ DBC，若△APD 是等腰三角形,则 PE 的长为______。 【答案】3 或 【解析】由题意知，点 P 在线段 BD 上，（1）如图所示，若 PD=PA,则点 P 在 AD 的垂直平分线上，则点 P 为 BD 中 点，故 PE= (2)如图所示，若 DA=DP，则 DP=8，在 Rt△BCD 中， ∴BP=BD-DP=2，∵△PBE∽△DBC，∴ ∴PE= 综上所述，PE 的长为 3 或 . 【知识点】相似三角形的性质，利用勾股定理求线段的长 4. （2018 湖南岳阳，15，4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步， 问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问 该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步． 【答案】 . 5 6 5 1 3;2 DC = 2 2 10,BD BC CD= + = 1 ,5 PE BP DC BD = = 1 6.5 5CD = 6 5 17 6025 【解析】解：如图. 设该直角三角形能容纳的正方形边长为 x，则 AD=12-x，FC=5-x 根据题意易得△ADE∽△EFC， ∴ ， ∴ ，解得：x= . 故答案为 . 【知识点】相似三角形的性质 5. （2018 江苏连云港，第 11 题，3 分）如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD:DB=1:2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__________. 【答案】1:9 【解析】解：∵DE∥BC，∴ ，△ADE∽△ABC，∴ ，故答案为：1:9. 【知识点】相似三角形的性质与判定 6.（2018 江苏连云港，第 16 题，3 分）如图，E、F、G、H 分别为矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 AC、HE、EC、GA、GF，已知 AG⊥GF，AC= ，则 AB 的长为__________. FC DE EF AD = x x x x −=− 5 12 17 60 17 60 1 3 AD AB = 1 9 ADE ABC S S =△ △ 626 【答案】2 【思路分析】根据相似三角形的判定，可得△GCF∽△ADG，进而可得 2GC2=AD2 ①，再根据勾股定理，可得 ∴AD2+DC2=6②，将①代入②，可得 GC 的长度，进而求得 AB 的长. 【解题过程】解：在矩形 ABCD 中，点 E、F、G、F 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，∴CF= BC = AD，∠D－ 90° ，∠DCB=90° ，∴∠1+∠3=90° ，∵AG⊥GF ，∴∠1+∠2=90° ，∴∠2=∠3 ，∴△GCF∽△ADG ，∴ ，即 ，解得：2GC2=AD2 ① ，∵AC= ，∴AD2+DC2=6② ，将①代入② ，得：2GC2+(2GC)2=6， 解得：GC=1，∴AB=DC=2，故答案为：2. 【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质和判定；勾股定理 7. （2018 四川省成都市，13，4）已知 ＝ ＝ ，且 a＋b－2c＝6．则 a 的值为 ． 【答案】12 【解析】解：设 ＝ ＝ ＝k，则 a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得 k＝ 2，∴a＝6k＝12． 【知识点】比例；一元一次方程 8. （2018 四川省南充市，第 15 题，3 分）如图，在 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交 的延长线于点 ， 1 2 1 2 GC CF AD DG = 1 2 ADGC AD GC = 6 6 a 5 b 4 c 6 a 5 b 4 c ABC∆ DE F27 若 AD=1，BD=2，BC=4，则 EF= ． 【答案】 【解析】解：∵DE∥BC, AD=1，BD=2，BC=4，∴ 即 ，解得：DE= ，∵BF 平分∠ABC，∴∠ ABF=∠FBC，又∵DE∥BC，∴∠FBC=∠F，∴∠ABF=∠F，∴BD=DF=2，∵DF=DE+EF，∴EF= .故答案为： . 【知识点】平行线分线段成比例；平行线的性质；等腰三角形的判定 9.（2018 江苏省盐城市，16，3 分）如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q 分别为边 AC、AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则 AQ＝___________． 【答案】 或 【解析】在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴A B＝ ＝10． 当 QP⊥AB 时，QP∥AC．∴ ＝ ．设 QP＝AQ＝x，则 QB＝10－x．∴ ＝ ．∴AQ＝x＝ ； 当 PQ⊥AB 时，△APQ 是等腰直角三角形．∵△ABC∽△PBQ, ∴ ＝ ,∴ ＝ ．∴AQ＝x＝ ． 【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例定理；分类讨论 2 3 BC DE AB AD = 43 1 DE= 4 3 3 2 3 42 =− 2 3 A C BP Q 15 4 30 7 2 26 8+ AB AC QB QP 10 6 10 - x x 15 4 AC BC PQ BQ 6 8 10 - x x 30 728 10. （2018 四川省宜宾市，16，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,CB=2,点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； ②当 E 为线段 AB 中点时，AF= 9 5； ③当 A、F、C 三点共线时，AE= 13 – 2 3 ； ④当 A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF. 【答案】①②③ 【思路分析】①中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；②中可以根据 AA 证明三角形相似，得到对 应边成比例，从而求出 AF 的长；③中可以设 BE=x，根据直角收纳侥幸 AEF 中三边满足勾股定理求出；④中可以 根据③中线段的长度大小判断三角形是否全等. 【解题过程】由折叠的性质可知 CF=CB，∠CFE=90°，∠CEB=∠CEF,∵E 为 BC 中点，∴BE=EF=AE= ，∴∠FAE= ∠AFE，∵∠FEB=∠FAE+∠AFE，∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF∥CE，故①正确；∵BE= ,BC=2，∴ CE= , 过 点 E 作 EM ⊥ AF 垂 足 为 M ， ∵ ∠ AFE= ∠ FEC,EM ⊥ AF ， ∠ CFE=90 ° ， ∴ △ MFE ∽ △ FEC ， ∴ ，即 ,∴MF= ,∴AF= 9 5；故②正确；∵A、F、C 三点共线，∴∠AFE=90°，AC= ，设 BE=x,则 EF=x,AE=3-x,AF= ，在 RT△AFE 中， ，解 F BA D C E 3 2 3 2 5 2 MF EF EF EC = 3 2 3 5 2 2 MF = 9 10 2 22 3 13+ = 13 2− ( ) ( )2 2213 2 3x x− + = −29 得 x= ,∴AE=3-x= 13 – 2 3 ，故③正确；∵AF= ，CF=2，∴AF≠CF，∴④错误. 【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质 11. （2018 浙江杭州，16，4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上 的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则 AD=___________. 【答案】 【思路分析】由①得四边形 AEFD 是正方形，将由③得 K 型相似，然后结合勾股定理列方程求解，但要注意对点 H 是落在线段 AE 上还是 BE 上分类讨论。 【解题过程】设 AD=x 由题意：四边形 AEFD 为正方形则 AD=AE,由翻折：△DHG≌△DCG，HG=GC （1） 当 H 落在线段 AE 上时 （2） 当 H 落在线段 BE 上时 【知识点】正方形的性质，折叠的性质，相似，勾股定理 2 13 4 3 − 13 2− 3 3 2 3+或 2 2 2 2 2 2 1 2 2, 2, K ADH BHG, 3 3=1 = 1 =3 = 3 3 3 3,3 = 3 2 3, 3 2 3 3 2 3 AD AHAB AD BE BH BG aEH AH a BH BG a a aRT BHG BH BG HG aa a a a a = + ∴ = ∆ ∆ ∴ = −∴ − ∴ − −∆ + = + − = + = − ∴ = +    由 型可得 又 ， ， ， 在 中 （ ） （ ） 解得： （舍） 2 2 2 2 2 2 1 2 2,EH 1 1, K ADH BHG, 1=1 = 1 =3 = 1 1,1 = 3, 1 3 AD AHAB AD BH BH BG aEH AH a BH BG a a aRT BHG BH BG HG aa a a a a = + = ∴ = ∆ ∆ ∴ = +∴ ∴ + ∴ + +∆ + = + − = = − ∴ =  由 型可得 ， ， ， 在 中 （ ） （ ） 解得： （舍）30 1. （2018 湖南益阳，16，4 分）如图，在△ ABC 中，AB=AC，D，E，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形 ADEF 为菱形，③ S△ADF︰S△ABC=1︰4．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路分析】①利用ASA 即可证明；②利用中位线得到平行及相等的关系，利用一组邻边相等的平行四边形是菱 形进行证明；③利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答． 【解析】解：∵DF∥BC，∴∠ADF=∠C，同理∠CFE=∠A ∵F 为 AC 中点，∴AF=FC ∴△ADF≌△FEC，①正确； ∵D、E 分别是 AB、BC 边上的中点， ∴DE∥AC 且 DE= AC， 同理 EF∥AB，EF= AB， ∴四边形 ADEF 是平行四边形． 又∵AB=AC， D FH E G CB A G H FE D CB A 1 2 1 231 ∴EF=DE， ∴四边形 ADEF 是菱形．②正确； ∵∠ADF=∠C，∠A=∠A ∴△ADF∽△ABC ∴ ∴③正确；故答案为①②③． 【知识点】全等三角形的判定，菱形的判定，中位线，相似三角形的判定和性质 2. (2018 山东菏泽，13，3 分)如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，相似比为 ， ， ，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是 ． 【答案】(2， ) 【解析】如图，作 AE⊥x 轴于 E，∵ ， ，∴∠ABO=∠OAE=30°．∵点 的坐标是 ，∴AO= OB=3，∴OE= OA= ，∴AE= = = ，∴A( ， )．∵ 与 是以点 为位似中心的位似图形，相似比为 ，∴点 C 的坐标为( × ， × )，即(2， )． 2 1( ) 4 ADF ABC S AF S AC = =  OAB∆ OCD∆ O 3: 4 90OCD∠ =  60AOB∠ =  B (6,0) C 2 3 90OCD∠ =  60AOB∠ =  B (6,0) 1 2 1 2 3 2 2 2OA OE− 2 233 ( )2 − 3 3 2 3 2 3 3 2 OAB∆ OCD∆ O 3: 4 3 2 4 3 3 3 2 4 3 2 332 【知识点】位似；勾股定理；含 30°角的直角三角形的性质； 3. （2018 广东广州，16，3 分）如图，CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点 O，CE 与 DA 的延 长线交于点 E，连接 AC，BE，DO，DO 与 AC 交于点 F，则下列结论： ①四边形 ACBE 是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF∶BE＝2∶3； ④S 四边形 AFOE∶S△COD＝2∶3． 其中正确的结论有_______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【思路分析】由AE∥BC 和点 O 是 AB 的中点，可得四边形 ACBE 是平行四边形，进而得菱形，从而①正确；由 AB ∥DC 和 AB 平分∠EAC（或菱形 ACBE）可得∠ADC＝∠ACD，从而②正确；由 AB∥DC，可得△AOF∽△CDF，从而 AF CF＝ AO CD ＝ 1 2；从而③错误；设△AFO 的面积为 S，将四边形 AFOE 和△COD 的面积用 S 来表示即可判断④正确． 【解析】由已知“CE 是 AB 的垂直平分线”可得 AC＝CB，所以∠CAB＝∠CBA，由□ABCD 可得 AB∥CD，AD∥BC， 所以∠CAB＝∠ACD，∠BAE＝∠CBA，∴∠CAB＝∠ACD=∠BAE，②正确．由∠CAB＝∠BAE，AO＝AO，∠AOC＝∠AOE 可得△AOC≌AOE，从而 AE＝AC＝BC，又 AE∥CB，所以四边形 ACBE 是平行四边形，又 AC＝BC，□ACBE 是菱形，① 正确．由 AO∥CD，可得 ，∴ ，③错误．设 S△AFO＝S，由 ，可得 S△CFO＝ 2S，再根据△AFO∽△CFD 可得 S△DFC＝4S，所以 S△COD＝6S，S△COA＝3S＝S△AOE，所以 S 四边形 AFOE＝4S，所以 S 四边形 F O B E D C A 1 2 AF AO EO FC DC EC = = = 1 3 AF AF BE AC = = 1 2 AF FC =33 AFOE∶S△COD＝4S∶6S＝2∶3，④正确． 【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质与判定；菱形的判定；相似三角形的判定 与性质 4. （2018 贵州遵义，18 题，4 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处（不与 B、D 重合），折痕为 EF，若 DG=2，BG=6，则 BE 的长为________ 第 18 题图 【答案】2.8 【解析】菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，BD 为对角线，所以∠G=∠A=60°，∠FDG=∠GBE=60°，△ABD 是等边三 角形，因为 DG=2，BG=6，所以 BD=8，所以 AD=DB=8，∠GFD+∠FGD=120°，∠FGD+∠EGB=120°，所以∠DFG=∠ BGE ， 所 以 △ FGD ∽ △ GEB ， 所 以 ， 设 BE=x ， 即 ， FD= ， 则 FG=8- ， 得 ，解得 x=2.8 【知识点】一线三等角，相似三角形，分式方程 5. （2018 广东省深圳市，16，3 分）在 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC, AD、BE 相交 于点 F，且 ,则 ． FG FD DG GE GB BE = = 2 6 FD x = 12 x 12 x 12 128 8 6 x x x − =− Rt ABC∆ 4, 2AF EF= = AC =34 【答案】 ． 【思路分析】过点 E 作 BP⊥DG 于点 G，连接 CF，先根据 A D 平分∠CAB, BE 平分∠ABC, ∠C＝90°，求出∠AFE 的度数，在利用特殊角的三角函数值求出 EF 和 AG 的长；然后由“A D 平分∠CAB, BE 平分∠ABC, AD、BE 相交 于点 F，”，利用三角形三边的角平分线相交于一点可知，CF 平分∠CAB,再证明△AEF∽△AFC 即可求出 AC 的长． 【解析】解：∵ AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC, ∠C＝90°， ∴∠AFB＝90°＋ ∠C＝135°，∴∠AFE＝180° －135°＝45°，过点 E 作 BP⊥DG 于点 G，连接 CF，∵ ，∴EG＝EF ·sin45°＝ ＝1，又∵AF ＝4，∴AG＝AF－GF＝4－1＝3，∴ AE＝ ，∵ AD 平分∠CAB, BE 平分∠ABC,且 AD、BE相交于点 F，∴CF 平分∠CAB,∴∠ACF＝∠BCF＝45°，又∵∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠ACF，又∵∠EAF＝ ∠CAF，∴△AEF∽△AFC，∴ ，即 ，解得 AC＝ ． 【知识点】直角三角形的性质；角平分线；相似三角形的性质和判定；勾股定理；三角形角平分线的性质；特殊 角三角函数值的运用 6.（2018 贵州安顺，T15，F4）如图，点 ， ， ， 均在坐标轴上，且 ⊥ ， ⊥ ，若 点 ， 的坐标分别为（0，-1），（-2,0），则点 的坐标为________. 【答案】(8,0) 【解析】∵ ⊥ ， ⊥ ，x 轴⊥y 轴，点 ， 的坐标分别为（0，-1），（-2,0），∴Rt△ 8 10 5 1 2 2EF = 2 22 × 2 2 2 21 3 10AG EG+ = + = AE AF AF AC = 10 4 4 AC = 4 4 16 10 8 10 10 510 × = = 1P 2P 3P 4P 1P 2P 2P 3P 2P 3P 3P 4P 1P 2P 4P 1P 2P 2P 3P 2P 3P 3P 4P 1P 2P 1 2POP35 ∽Rt △ ∽Rt △ ， =1 ， =2. ∴ , . 即 ，解得 =4 ， 解得 =8.∵点 在 x 轴正半轴，∴点 的坐标为（8，0）. 【知识点】相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质. 7. （2018 湖北荆州，T17，F3）如图,将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示(图中数 据单位: )，则钢球的半径为_________ ( 圆锥的壁厚忽略不计). 【答案】 . 【思路分析】①如图构造相似三角形；②利用相似三角形的性质建立等式求解即可. 【解析】如图的示 AC=12,AB=AC+BC+12+14=26,OB=10 易知∆APC∽∆AOB， ∴ 【知识点】相似三角形的性质. 2 3POP 3 4POP 1OP 2OP 1 2 2 3 OP OP OP OP = 32 3 4 OPOP OP OP = 3 1 2 2 OP = 3OP 4 2 4 4 OP = 4OP 4P 4P cm cm 13 60 .13 60 1026 12, === ，PCPC OB PC AB AC 即36 8. （2018 湖北省襄阳市，16，3 分）如图，将面积为 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对应 点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E.若 BE= ，则 AP 的长为= ▲ . 【答案】 【解析】解：设 AP 与 BD 交于 F，AD=a，AB=b, ∵A 点沿 BD 折叠与 P 重合， ∴BD 是 AP 的垂直平分线， ∴AP⊥BD，AF=PF， 又∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=∠CBA=90°， ∴∠BEF+∠EBF=∠EBF+∠ABD, ∴∠BEF=∠ABD， ∴△ABE∽△DAB, ∴ ，即 BA2=EB·AD， ∴b2= a①. 又∵矩形的面积为 ， 232 2 23 16 AD BA BA EB = 2 23237 ∴ab= ②, 联立①②得， 解得， . 在 Rt△ABD 中，由勾股定理 , ∵S△ABD= = , ∴ ， ∴ . 故答案为 . 【知识点】矩形折叠问题、相似三角形 9.（2018 四川凉山州，24，5 分）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4,将△AOC 绕 O 点，逆时针 旋转 90°得到△A1OC1，A1C1，交 y 轴于 B（0，2），若△C1OB ∽ △C1 A1 O，则点 C1 的坐标 【答案】 232    = = 232 22 ab ab    = = 4 28 b a 1222 =+= ABADBD AFBD· 2 1 ADBA· 2 1 23 8· == BD ADBAAF 23 162 == APAP 23 16      53 4,53 238 （第 24 题答图） 【解析】∵OA＝4,将△AOC 绕 O 点，逆时针旋转 90°得到△A1OC1，A1C1，交 y 轴于 B（0，2），∴OB＝2, ∵ △C1OB ∽ △C1 A1 O ， ∴ ∴ ， 可 得 ,在 Rt△OB 中，由勾股定理，解出 B = ,∴ 过 C 作 CH⊥x 轴于 H,可设 C（m，2m），在 Rt△O 中，由勾股定理，解出 ∴ 【知识点】图形的旋转，图形的全等，相似三角形，勾股定理. 10. （2018·北京，13，2）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB＝4， AD＝3，则 CF 的长为_________． 【答案】 ． 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形， OC BC OA OB AC OC 1 1 111 1 == OC BC AC OC 1 1 11 1 4 2 == 1111 2,3 BCOCBCBA == 1A 1A 52 53 4 1 =OC HC1 53 2=m 1C      53 4,53 2 10 339 ∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°． 在 Rt△ADC 中，由勾股定理，得 AC＝ ＝5． ∵E 是边 AB 的中点， ∴AE＝ AB＝2． ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△AEF． ∴ ，即 ． ∴CF＝ ． 【知识点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的性质与判定 三、解答题 1. （2018·重庆 A 卷，24，10）如图，在□ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是 BC 上一点，且 AB＝AE， 连接 EO 并延长交 AD 于点 F．过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 H，交 AC 于点 G． （1）若 AH＝3，EH＝1，求△ABE 的面积； （2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝ CG． 【思路分析】（1）先根据AB＝AE，AH＝3，EH＝1，求出 AB 的长；再在 Rt△ABH 中，由勾股定理，求出 BH 的 长，最后根据三角形的面积公式，得到△ABE 的面积．另外，也可以过点 A 作 AM⊥BC，利用相似三角形的判定及 性质，求出 BE 及 BE 边的高进行求解；（2）过点 G 作 GN⊥BC，先通过相似三角形的性质与判定，得到 AF＝CE， 从而 DF＝BE．再证明△ABM≌△BNG，从而 BM＝NG．由 BE＝2BM，GN＝ GC，得到所求证的结论． 【解析】解：（1）解法一：∵BH⊥AE 于点 H，AB＝AE，AH＝3，EH＝1， ∴AE＝AH＋EH＝4＝AB． 在 Rt△ABH 中，由勾股定理，得 BH＝ ＝ ． 2 23 4+ 1 2 CF CD AF AE = 4 5 2 CF CF =− 10 3 2 2 2 2 2AB BH− 740 ∴S△ABE＝ AE•BH＝ ×4× ＝2 ． 解法二：过点 A 作 AM⊥BC，过点 G 作 GN⊥BC，垂足为 M、N，AM 交 BH 于点 K，如下图： ∵AB＝AE，AM⊥BC， ∴BM＝ME＝ BE＝ a，∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AHK＝ 90°． 又∵∠BKM＝∠AKH， ∴∠KBM＝∠BAM． ∴△BHE∽△AMB． ∴ ，即 ，解得 a＝2 ． ∴BE＝2 ，ME＝ ． 在 Rt△AME 中，由勾股定理，得 AM＝ ． ∴S△ABE＝ BE•AM＝ ×2 × ＝2 ． （2）∵O 是 AC 的中点， ∴OA＝OC． ∵在□ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC， 1 2 1 2 7 7 1 2 1 2 BM AB HE BE = 1 42 1 a a = 2 2 2 2 24 ( 2) 14− = 1 2 1 2 2 14 7 K NM O H G F E D CB A41 ∴△AOF∽△COE． ∴ ，从而 AF＝CE． ∴DF＝BE． ∵∠AMC＝90°，∠ACB＝45°，∠GNC＝90°， ∴∠MAC＝45°＝∠GCN． ∵∠AGB＝∠GBC＋∠GCN，∠BAG＝∠BAM＋∠MAC， ∴∠AGB＝∠BAG． ∴AB＝BG． 又∵∠AMB＝∠BNG＝90°，∠GBN＝∠MAB， ∴△ABM≌△BNG． ∴BM＝NG． 又∵BE＝2BM，GN＝ GC， ∴BE＝2• GC＝ GC． 【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；全等三角形；平行四边形；相似三角形 2. （2018 湖北宜昌，23，11 分） 在矩形 中， ， 是边 上一点，把 沿直线 折叠， 顶点 的对应点是点 ，过点 作 ，垂足为 且在 上， 交 于点 . (1)如图 1，若点 是 的中点，求证: ； (2) 如图 2，①求证: ； ②当 ，且 时，求 的值； ③当 时，求 的值. 1AF AO CE CO = = 2 2 2 2 2 ABCD 12AB = P AB PBC△ PC B G B BE CG⊥ E AD BE PC F E AD AEB DEC∆ ∆≌ BP BF= 25AD = AE DE< cos PCB∠ 9BP = BE EF42 (第 23 题图 1) (第 23 题图 2) (第 23 题图 2 备用图） 【思路分析】(1)∵点 是 的中点，∴AE=DE，再由矩形 ABCD 的性质，得出边角之间的等量关系，用 SAS 证 明 ； (2)①由折叠 与 中角之间的关系，再由平行，得到角之间的关系，从而 ，证 出 . ②当 时，先由 ， 再设 ，则 ， ，解得 由折叠得 ， ,再据 , 设 ，由比例关系，求出 y，得到 BP.在 中，求出 PC,得到∠PCB 的余切值. ③若 , ， ； ， 【解析】(1)证明：如图 1，在矩形 中， , 又点 是 的中点，∴AE=DE，可证: ；, (2)如图 2， ①在矩形 中， , 沿 折叠得到 E AD AEB DEC∆ ∆≌ GPC∆ BPC∆ BPF BFP∠ = ∠得出 BP BF= 25AD = ABE DEC∆ ∆∽ AB DE AE CD =得出 AE x= 25DE x= − 12 25 12 x x −∴ = AE DE与 的值， CE BE再求出 与 ， BP PG= BP BF PG∴ = = BE PG ECF GCP∴∆ ∆∽ EF CE PG CG ∴ = BP BF PG y= = = Rt PBC∆ 9BP = EFC BPC∆ ∆先证 ∽ EF CE BP CB ∴ = AEB EBC∆ ∆再证 ∽ AB CE BE CB ∴ = AB EF BE BP ∴ = BE EF AB BP∴ =  ABCD 90 ,A D AB DC∠ = ∠ = = E AD AEB DEC∆ ∆≌ ABCD 90ABC∠ =  BPC∆ PC GPC∆43 , , ②当 时， , , 又 , ∴设 ，则 ， ， 解得 ， , , 90PGC PBC∴∠ = ∠ =  BPC GPC∠ = ∠ BE CG⊥ BE PG∴  GPF PFB∴∠ = ∠ BPF BFP∴∠ = ∠ BP BF∴ = 25AD = 90BEC∠ =  90AEB CED∴∠ + ∠ =  90AEB ABE∠ + ∠ =  CED ABE∴∠ = ∠ 90A D∠ = ∠ =  ABE DEC∴∆ ∆∽ AB DE AE CD ∴ = AE x= 25DE x= − 12 25 12 x x −∴ = 1 9x = 2 16x = AE DE90°, ∠A=60°，则∠B= ; (2) 如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三 角形”。试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D）， 使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由。 (3) 如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD 丄 CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对 角线 AC 的长。 【思路分析】本题通过新定义考查综合几何知识，(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC 是“准互余三角 形”，则不难得到：2∠A+∠B= 90°或 2∠B+∠A=90°又因∠A=60°，则 2∠A+∠B= 90°不成立，即代入 2∠B+ ∠A= 90°可得∠B.（2）由“准互余三角形”定义可知： 2∠B +∠BAE=90°，可得∠B=∠EAC，进而得△ABC∽△ EAC，所以 ，代入数据可得结果 . (3) 由题意可知∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD.然 后分类讨论，依照（2）可得结果. AB CE BE CB ∴ = AB EF BE BP ∴ = 12 9 108BE EF AB BP∴ = = × =  AC BC EC AC =46 【解析】解：(1)由“准互余三角形”定义可知：若△ABC 是“准互余三角形”，又∠C＞90°，则有 2∠A+∠B= 90 °或 2∠B+∠A=90°， 又因∠A=60°，则 2∠A+∠B= 90°不成立， 即代入 2∠B+∠A= 90°可得∠B=15°. (2) 存在， ∵点 E 在 BC 边 上 ， ∴ ∠ AEB ＞ 90 ° ， ∴2∠BAE+∠B=90° 或 2∠B +∠BAE=90° ， ∵点 E（异于点 D）， ∴2∠BAE+∠B=90°不成立. 由图可知：在 Rt△ABC 中可得∠BAE+∠EAC+∠B=90° ， 又由“准互余三角形”定义可知： 2∠B +∠BAE=90°， ∴∠B=∠EAC， ∴△ABC∽△EAC （AA）， ∴ ， ∵AC=4, BC=5, ∴ , ∴ .5 9=BE AC BC EC AC = 5 16=EC 9BE=BC-EC= .547 (3) 由题意可知：∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠CBD. ∴∠ABC＞90°， ∴本题分 2 类讨论: ①因△ABC 为“准互余三角形”，则∠BAC+2∠ACB=90°，设∠ACD=x，∠ACB=y，则可得：∠BAC=90°-2y，∠ABD=2x+2y， 则∠AEB=90°-2x，又因为在△CDE 中，∠AEB=90°-x，则 x=0°，与构成四边形矛盾，舍去. ②因 2∠BAC+∠ACB=90°，设∠BAC=x，则∠ACB=90°-2x，则∠ABC=90°+x，过点 B 作 BE⊥AB，易得△CBE∽△ CAB，即 CB2= CE× CA ，由∠ABD=2∠BCD 易得∠BAC=∠BCD，则△BAE∽△DCB，设 AE=7a，则 CB=12a，则易得 CE=9a， 可解得 ，勾股定理得： ，∴AC=16a=20. 【知识点】新定义；勾股定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论的思想 4. （2018 江西，14，6 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E.求 AE 的长． 4 21=BE a74 35=AE =48 第 14 题图 【思路分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出 BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式， 求出 AE=2CE，即可得出答案． 【解析】解：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， 又∵AB∥CD， ∴∠D＝∠ABD，∠DBC＝∠D，BC＝CD＝4， ∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED， ∴ AB CD＝ AE CE， ∴ AE CE＝ 8 4＝2， ∴AE＝2EC，即 EC＝ 1 2AE， ∵AC＝AE＋EC＝6， ∴AE＋ 1 2AE＝6，即 AE＝4. 【知识点】角平分线定义，平行线的性质，相似三角形 5. （2018 福建 A 卷，20，8） 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求：①根据给出的△ABC 及线段 A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段 A′B′为一边，在给出的图形上用尺规 作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；49 ②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程. 【思路分析】①利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法完成作图；②利用相似三角形性质及三角形中线性 质得出成比例线段，再根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”证两三角形相似，据此可得出结论. 【解题过程】解：（1） （2）已知：如图，△A′B′C′∽△ABC， ，A′D′=D′B′，AD=DB，求证： . 证明：∵A′D′=D′B′，AD=DB，∴A′D′= A′B′，AD= AB， ∴ . ∵△A′B′C′∽△ABC，∴ ， ， 在△A′D′C′∽△ADC 中， ，且 ， ∴△A′D′C′∽△ADC，∴ . 【知识点】尺规作图——作一个角等于已知角；相似三角形的判定和性质 6.（2018 福建 A 卷，21，8）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方 =A B B C AC kAB BC AC= = ′ ′ ′ ′ ′ ′ =D C kDC ′ ′ 1 2 1 2 1 2= 1 2 A BA D A B AD ABAB = ′ ′ ′ ′ ′ ′ A AÐ =Ð ′ A B AC AB AC= ′ ′ ′ ′ A D AC AD AC= ′ ′ ′ ′ A AÐ =Ð ′ = =D C AC kDC AC ′ ′ ′ ′50 向旋转 90°得到. △EFG 由△ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D.（1）求∠BDF 的大小；（2）求 CG 的长. 【思路分析】（1）根据旋转的性质得出相等的线段，计算出∠ABD 的度数；再由平移的性质，得出平行线，利用 平行线性质即可求得∠BDF 的度数；（2）根据平移性质推出 AE∥CG，AB∥EF，再由平行线性质得到相等的角， 由“两角对应相等的两个三角形相似”，证三角形相似，列出比例式，即可求得 CG 的长度. 【解题过程】解：（1）∵线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到， ∴∠DAB=90°,AD=AB=10, ∴∠ABD=45°, ∵△EFG 由△ABC 沿 CB 方向平移得到， ∴AB∥EF, ∴∠BDF=∠ABD=45°. （2）由平移的性质可得：AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°， ∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ACB∽△ADE，∴ ， ∵AC=8,AB=AD=10, ∴AE= ，由平移的性质可得：CG=AE= . 【知识点】平移、旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定及性质 7. （2018 福建 B 卷，20，8） 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求：①根据给出的△ABC 及线段 A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段 A′B′为一边，在给出的图形上用尺规 作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹； AD AE AC AB= 25 2 25 251 ②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程. 【思路分析】①利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法完成作图；②利用相似三角形性质及三角形中线性 质得出成比例线段，再根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”证两三角形相似，据此可得出结论. 【解题过程】解：（1） （2）已知：如图，△A′B′C′∽△ABC， ，A′D′=D′B′，AD=DB，求证： . 证明：∵A′D′=D′B′，AD=DB，∴A′D′= A′B′，AD= AB， ∴ . ∵△A′B′C′∽△ABC，∴ ， ， 在△A′D′C′∽△ADC 中， ，且 ， ∴△A′D′C′∽△ADC，∴ . 【知识点】尺规作图——作一个角等于已知角；相似三角形的判定和性质 8. （2018 福建 B 卷，21，8）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针 =A B B C AC kAB BC AC= = ′ ′ ′ ′ ′ ′ =D C kDC ′ ′ 1 2 1 2 1 2= 1 2 A BA D A B AD ABAB = ′ ′ ′ ′ ′ ′ A AÐ =Ð ′ A B AC AB AC= ′ ′ ′ ′ A D AC AD AC= ′ ′ ′ ′ A AÐ =Ð ′ = =D C AC kDC AC ′ ′ ′ ′52 方向旋转 90°得到.△EFG 由△ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D.（1）求∠BDF 的大小；（2）求 CG 的 长. 【思路分析】（1）根据旋转的性质得出相等的线段，计算出∠ABD 的度数；再由平移的性质，得出平行线，利用 平行线性质即可求得∠BDF 的度数；（2）根据平移性质推出 AE∥CG，AB∥EF，再由平行线性质得到相等的角， 由“两角对应相等的两个三角形相似”，证三角形相似，列出比例式，即可求得 CG 的长度. 【解题过程】解：（1）∵线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到， ∴∠DAB=90°,AD=AB=10, ∴∠ABD=45°, ∵△EFG 由△ABC 沿 CB 方向平移得到， ∴AB∥EF, ∴∠BDF=∠ABD=45°. （2）由平移的性质可得：AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°， ∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ACB∽△ADE，∴ ， ∵AC=8,AB=AD=10, ∴AE= ，由平移的性质可得：CG=AE= . 【知识点】平移、旋转的性质，平行线的性质，相似三角形的判定及性质 9.（2018 四川雅安，21 题，10 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC 和 CD 于点 P、Q。 AD AE AC AB= 25 2 25 253 第 21 题图 （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）求 的值。 【思路分析】（1）由平行四边形的性质可得，两个三角形三边对应相等，故全等得证；（2）先证 PC 为中位线， 得到 PC 与 RE 的关系，再利用三角形相似的性质，得到 PQ 与 QR 的比，从而得到 PQ 和 PR 的比值。 【解题过程】（1）因为四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，所以 AB=CD，BC=AD=CE，AC=DE，所以△ABC ≌△DCE（SSS）； （2）在△BRE 中，C 为 BE 中点且 CP∥RE，所以 CP 为△BER 的中位线，所以 CP：RE=1:2，又因为 R 为 DE 中点， 所以 RE=DR，所以 CP：DR=1:2，又因为 CP∥DR，所以∠CPQ=∠DRQ，∠PCQ=∠RDQ，△CPQ∽△DRQ，所以 PQ： QR=CP：DR=1：2，所以 【知识点】全等三角形，中位线，相似三角形 10. （2018 武汉市，23，10 分）在△ABC 中，∠ABC＝90°. (1) 如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：△ABM∽△BCN. (2) 如图 2，P 是边 BC 上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝ ，求 tanC 的值. (3) 如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝ ， ，直接写出 tan∠CEB 的值. PQ PR 1= 3 PQ PR 5 52 5 3 5 2= AC AD54 3 2 1 C M N A B M C N B A P 【思路分析】（1）由已知得∠M＝∠N＝90°，易证∠1＝∠2，故△ABM∽△BCN. （2）过 P 点作 PN⊥AP 交 AC 于 N 点，过 N 作 NM⊥BC 于 M 点，由（1）知△BAP∽△MPN， ； ∵ ，设 ， ，则 ， ，用 b 表示 PC；由已知 可证△ ∽△ ，求得 a 与 b 的关系，求得 tanC 的值. （ 3 ） 过 作 交 于 ， 过 作 交 的 延 长 线 于 ， 则 DE ∥ AH ∥ CK ， ∴ ，设 ，由△ ∽△ ，求得 ，再求得 HK＝10x，便可得 tan∠CEB 的值. 【解题过程】证明： ⑴∵∠ABC＝90°， ∴∠3＋∠2＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°， 又∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠M＝∠N＝90°，∠1＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠2. ∴△ABM∽△BCN. 23⑴答题图 （2）过 P 点作 PN⊥AP 交 AC 于 N 点，过 N 作 NM⊥BC 于 M 点， ∵∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠NPC＝90°， ∴∠BAP＝∠NPC，△BAP∽△MPN， ，又∵ ， AP BA BP PN MP MN = = 2 5tan 5 PNPAC PA ∠ = = 2 5MN a= 2 5PM b= 5BP a= 5AB b= BAP BCA A AH EB⊥ EB H C CK EB⊥ EB K 2 5 EH DA HK AC = = 3CK x= AHB BKC 4HB EH x= = AP BA BP PN MP MN = = 2 5tan 5 PNPAC PA ∠ = =55 设 ， ，则 ， ， 23(2)答题图 又∵ ，∴ ，∴ ， 又△ ∽△ ， ，∴ ， ，解得： ， ∴ . （3）过 作 交 于 ，过 作 交 的延长线于 ∵ ∴ ，易知△ ∽△ ， 设 ，∵△ ∽△ ，∴ ，∴ ∴ ，∴ 23（3）答题图 【知识点】相似三角形的判定性质 锐角三角函数的定义 等腰三角形的性质 解一元二次方程 11. （2018 湖南省永州市，26，12）如图 1，在△ABC 中，矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上，顶点 G、H 分别在 BC、 AC 上，CD 是边 AB 上的高，CD 交 GH 于点 I，若 CI=4，HI=3，AD= ，矩形 DFGI 恰好为正方形. 2 5MN a= 2 5PM b= 5BP a= 5AB b= BAP BCA∠ = ∠ NPC BCA∠ = ∠ NP NC= 2 4 5PC PM b= = BAP BCA BA BC BP BA = 2BA BP BC= ⋅ ( ) ( )25 5 5 4 5b a a b= ⋅ + 5 5a b= 2 5 5tan 52 5 MN a aC MC bb ∠ = = = = A AH EB⊥ EB H C CK EB⊥ EB K AE AB= EH HB= AHB BKC 2 5 EH DA HK AC = = 3CK x= AHB BKC AB HB BC CK = 4HB EH x= = 5 20 102 2 EH xHK x= = = 3tan 14 CKCEB EK ∠ = = K C BH A E D 9 256 （1）求正方形 DFGI 的边长； （2）如图 2，延长 AB 至 P，使得 AC=CP，将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平移，当点 G 刚好落在 CP 上时，试判断 移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？ （3）如图 3，连接 DG，将正方形 DFGI 绕点 D 顺时针旋转一定的角度得到正方形 DF′G′I′.正方形 DF′G′I′ 分别与线段 DG、DB 相交于点 M，N，求△MNG′的周长. 【思路分析】（1）由 HI∥AD，得到 = ，求出 AD 即可解决问题；（2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应 的点为 G′，点 F 的对应的点为 F′．求出 IG′和 BD 的长比较即可判定；（3）如图 3 中，如图将△DMI′绕点 D 逆时针旋转 90°得到△DF′R，此时 N、F′、R 共线．只需要证明 MN=MI′+NF′，即可解决问题. 【解题过程】（1）解：∵ HI∥AD，∴ = ， ∴ = ，∴ CD=6， ∴ ID=CD﹣CI=2， ∴ 正方形的边长为 2． （2）如图 2 中，设等 G 落在 PC 时对应的点为 G′，点 F 的对应的点为 F′． ∵ CA=CP，CD⊥PA，∴ ∠ACD=∠PCD，∠A=∠P， ∵ HG′∥PA，∴ ∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P， ∴ ∠CHG′=∠CG′H，∴ CH=CG′， ∴ IH=IG′=DF′=3， H I G D B C A E F 图1 P GIH D FA E B C 图2 G′ F′ I′ GIH DA E M B C N F 图3 HI AD CI CD HI AD CI CD 3 9 2 4 CD57 ∵ IG∥DB，∴ = ， ∴ = ，∴DB=3， ∴ DB=DF′=3， ∴ 点 B 与点 F′重合， ∴ 移动后的矩形与△CBP 重叠部分是△BGG′， ∴ 移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形． （3）如图 3 中，如图将△DMI′绕点 D 逆时针旋转 90°得到△DF′R， 此时 N、F′、R 共线． ∵ ∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°， ∵ DN=DN，DM=DR， ∴△NDM≌△NDR， ∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′， ∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4． 【知识点】四边形综合题 矩形的性质 正方形的性质 平行线等分线段定理 全等三角形的判定和性质 12. （2018 四川攀枝花，23，12）如图 12，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9， 动点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以每秒 5 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C 点同时出发，以相同的速度沿 CA 方向向 A 点匀速 运动，当点 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作正△PQM(P、Q、M 按逆时针排序)，以 QC 为 边 在 AC 上 方 作 正 △QCN 。 设 点 P 运 动 时 间 为 t 秒 1) 求 cosA 的 值 ;2) 当 △PQM 与 △QCN 的 面 积 满 足 时 ，求 t 的值；3)当 t 为何值时，△PQM 的某个顶点(Q 点除外) 落在△QCN 的边上. GI BD CI CD 2 DB 4 6 ,4 81=∆ABCS QCNPQM SS ∆∆ = 5 958 【思路分析】（1）由△ABC 的 面 积 求 出 AC 边 上 的 高 BD， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 AD， 最 后 由 三 角 函 数 的 定 义 求 出 ；（ 2）由 已 知 条 件 可 得 △ PMQ 和 △ NCQ 的 面 积 之 比 ，进一 步 求 出 边 长 之 比 ， 列 出 等 式 可 求 的 值 。（ 3）分两 种 情 况 进 行 讨 论 ，第一 种 点 M 落 在 边 NQ 上 ，第二 种 点 M 落 在 边 QC 上 。 【解题过程】（1）如图 23-1，过点B 作 BD⊥ AC， 垂 足 为 D， ∵ ， ∴ BD= ， 在 AB=7.5，BD=4.5，由勾股定理得 AD=6，∴ ; （ 2） 如 图 23-2， ∵ △ PMQ 与 △ NCQ 均 为 正 三 角 形 ， ∴ △ PMQ∽ △ CNQ， ∵ ， ∴ ， 过 点 P 作 PE⊥ AC， 垂 足 为 E， 则 AP=5t， AE=4t， PE=3t， CQ=5t， EQ=9-9t， 在 由勾股定理可得 ， ∴ ， 整 理 得 ： ， 解 得 ： 。 因 此 ， 当 时 ， 。 A∠cos 4 8192 1 2 1 =××=×=∆ BDBDACS ABC 2 9 中，ABDRt∆ 5 4 5.7 6cos === AB ADA QCNPQM SS ∆∆ = 5 9 2 5 9      == ∆ ∆ CQ PQ S S QCN PQM 中，PEQRt∆ ( ) ( ) 8116290993 2222 +−=−+= ttttPQ 5 9 25 8116290 2 2 2 2 =+−= t tt CQ PQ 09185 2 =+− tt 3 5,3 21 == tt QCNPQM SS ∆∆ = 5 9 3 5,3 21 == tt59 （ 3） 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 。 第 一 种 情 况 ： 如 图 23-3， 点 M 落 在 边 NQ 上 ， 此 时 ， PM∥AC， EQ=9-9t， PE=3t， , ， 解 得 ： 。 第 二 种 情 况 ： 如 图 23-4， 点 M 落 在 边 QC 上 ， 此 时 ， 。 【知识点】三角函数，勾股定理，相似三角形。 13. （2018 湖北省襄阳市，24，10 分）如图(1)，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为点 E，GF⊥CD，垂足为点 F. ，°=∠=∠ 60QPMPCQ EQPE 3= 399 3 =−= t t EQ PE 329 3 29 27 −=t 329 3 29 27 +=t60 (1)证明与推断: ①求证：四边形 CEGF 是正方形； ②推断： 的值为 ▲ . (2)探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 a 角(0°