2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测
数学(文科)
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．已知集合，B=，则=
A． B． C． D．
2．设，则关系正确的是
A．b>a>c B． a>b>c C．b>c>a D．c>b>a
3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
5．已知x，y满足约束条件，则 z=3x+2y的最大值为
A,6 B．8 C．10 D．12
6.已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则=
A． B． C． D．
7．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数，则的图象大致为
9．若曲线Cl：与曲线C2：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A. B. C.D.
10．已知函数,若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．
11．在等比数列中，若，则其前3项和S3的取值范围是
12．若某个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是
13．函数的部分图象如右图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为
14．已知双曲线C：的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线的离心率为
15．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“Z函数”．给出下列四个函数：①y=－x3+1，②y=2x，③，④，
其中“Z函数”对应的序号为
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC面积的最大值．
17．(本小题满分12分)
已知等差数列的首项为整数，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，问是否存在最小的正整数n，使得恒成立?若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
18．(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB//CD，AD=DC=AB=，平面PBC⊥平面ABCD．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)在侧棱PA上是否存在一点M，使得DM//平面PCB?若存在，试给出证明；若不存在，说明理由．
19．(本小题满分12分)
随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满 足关系式，(日产品废品率=)
已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．
(1)将该厂日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?
20．(本小题满分13分)
已知函数在x=1处取得极值2．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
21．(本小题满分14分)
已知点P是椭圆C上任意一点，点P到直线的距离为，到点F(－1，0)
的距离为，且，直线l椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上），∠OFA+∠OFB=180°.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；
(3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点?若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．
高三数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
C B D A D D B A A D
说明：第9题曲线的方程应为：.
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15. ②④
三、解答题
16.解: （1）因为,由同角三角函数基本关系和正弦定理得，
, ……………………………1分
整理得： , ……………………………3分
又,所以，
所以. ……………………………5分
又，所以. ……………………………6分
（2）由余弦定理得：，
即：， …………………………………………………8分
所以，当且仅当时取等号，
……………………………10分
所以，
即面积的最大值为. ……………………………12分
17.解：（1）设等差数列的公差为，由，为整数，可知为整数，
又知，. ……………………………2分
所以. ……………………………4分
（2）由（1）知，， ……………………………5分
于是……9分
要使恒成立，
只需， ……………………………10分
解得或（舍）， ……………………………11分
所以存在最小的正整数使得恒成立.……………………………12分
18.（1）证明：取的中点，连结，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，∴四边形是正方形，
∴．
∴为等腰三角形，且，
∴，∴， ……………………………3分
∵平面平面，平面平面，
，平面．
∴平面．又∵平面，∴．………………6分
（2）当为侧棱的中点时，平面. ……………………………7分
证明：取的中点，连接
在中，为中位线，，
由已知，所以.
又，
四边形为平行四边形.
. …………………………10分
又平面，平面，
平面. …………………………12分
19.解：（1）由题意可知，当时，，………2分
当时，， ……………………………4分
所以该厂日利润. ……………………………5分
（2）当时，令，
解得（舍去）， ……………………………6分
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
而时，， …………………………8分
当时，令，解得， ………………9分
当时，，函数单调递减，
所以当时，， …………………………11分
由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元.
…………………………12分
20.解：（1） …………………………1分
因为 在 处取到极值为2，所以,，
解得 ， ， ……………………………4分
经检验，此时 在 处取得极值．
故 ……………………………5分
（2）由（1）
所以 在 上单调递增
所以在 上最小值为
所以在 上最小值为 ……………………………7分
依题意有
函数的定义域为 ， ……………8分
①当 时， 函数 在 上单调递增，其最小值为 合题意；
②当 时，函数在 上有 ，单调递减，在 上有 ，单调递增，所以函数最小值为，
解不等式，得到
从而知符合题意.
③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，舍去. ……………………………12分
综上所述，的取值范围为. ……………………………13分
21.解：（1）设，则， ， ……………………………2分
∴，化简得，
∴椭圆的方程为. ……………………………4分
（2），∴， ……………………………5分
又∵，∴，
.
与联立,解得,或者（舍去）.
∴, ……………………………7分于是，∴.
直线的方程为. ……………………………8分
（3）联立，得. …………………………10分
设，
∴，，
∵，∴.
∴， ……………………………13分
∴直线方程为，
直线总经过定点. ……………………………14分
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