2016-2017学年度第一学期高三期末自主检测
数学(理科)
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．设集合，集合，则=
A． B． C． D．
2．设，则a，b，c的大小关系为
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b
3．己知函数是偶函数，且，则=
A．2 B．－2 C．0 D．1
4．已知l为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知，那么的值为
A． B． C． D．
6．若变量满足，实数是2x和y的等差中项，则z的最大值为
A．3 B．6 C．12 D．15
7．在ABCD中，已知AB=2，AD=l，∠BAD=60°，若E，F分别是BC，CD的中点， 则=
A．2 B．－2 C． D．
8．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点是，则直线OM的斜率为
A．2 B． C．1 D．
9．过双曲线的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于点M，若O为坐标原点，△OFM的面积是，则该双曲线的离心率是
A．2 B． C． D．
10.对任意实数a，b，定义运算：设，若函数有三个不同零点，则实数k的取值范围是
A． B. C． D．
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．
11．计算： =
12．若抛物线y2=8x的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为6，则该圆的标准方程为
13．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是
14．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为
15．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前n项和，且．若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．(本小题满分12分)
已知函数满足，且的最小值为．
(1)求的值，并求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，已知a为△ABC中角A的对边，若g(A)=1，a=4，求△ABC面积的最大值．
17．(本小题满分12分)
如图，四棱锥V-ABCD的底面是直角梯形，VA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，VA=AD=CD=BC=a,点E是棱VA上不同于A，V的点．
(1)求证：无论点E在VA如何移动都有AB⊥CE；
(2)设二面角A—BE—D的大小为，直线VC与平面ABCD所成的角为，试确定点E的位置使．
18．(本小题满分12分)
在数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项的和，求数列的前n项和Tn.
19．(本小题满分12分)
随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环．某 工艺品厂的日产量最多不超过15件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满 足关系式，(日产品废品率=)
已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品亏损1千元．
(1)将该厂日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少?
20．(本小题满分13分)
已知椭圆的焦距为，F1，F2为其左右焦点，M为椭圆上一点，且∠F1MF2=60°，
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求证：平行四边形OAPB的面积为定值．
21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln x．
(1)判断函数的单调性；
(2)若对任意的x>0，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若，求证：.
高三数学理科参考答案及评分标准
一、选择题
D A B D B C D A B A
二、填空题
11. 12. 13.或 14. 15. 25
三、解答题
16.解：（1） …………………………2分
由题意可知，，所以，
故， …………………………4分
即， 而在上单调递增，所以函数的单调递增区间为. ……………6分
（2）由题意可得，，…………………7分
由可得，，而,
可得，， …………………………………………………9分
由余弦定理得：，
即，得，当且仅当时“=”成立，………11分
所以， …………………………………12分
故三角形面积的最大值为.
17.解：(1)证明：连接,在直角梯形中，，
所以,所以， ……………1分
又因为平面，平面，所以, ……………2分
而,所以平面， ………………………………………3分
平面，
所以. ………………………………4分
（2）取中点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间
直角坐标系，不妨设,
可得，
故， …………5分
设为平面的一个法向量，则
，可得，
令可得，， …………………………………………………………6分
又，设为平面的一个法向量，
则，令，可得，…………………………………7分
故，即………………8分
因为为在平面内的射影，所以，在中，, ………………………………………………………9分
所以，所以，，…………………………10分
即，解得或， …………………11分
又，所以，点为的中点.……………………………………12分
18.解：（1）因为，，
所以，
即数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以. ………………………………………3分
，且，
所以数列是首项为3，公差为的等差数列，
故. ………………………………………6分
（2）由，得，…………………………7分
， ………………………………………9分
所以 ……………………10分
故
………………………12分
19.解：（1）由题意可知，当时，， ………2分
当时，， ……………………4分
所以该厂日利润. …………………………5分
（2）当时，令，解得（删）， ……6分
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
而时，， …………………………………………………………………8分
当时，令，解得，……………………………9分
当时，，函数单调递减，
所以当时，， …………………………11分
由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元. ……12分
20.解：（1）由题意可知，，设，
在中，，…………………………………2分
解得，………………………………………………………………………4分
所以
所以椭圆方程为.………………………………………………………5分
（2）联立，消可得， …………6分
，
所以，
设，则，…………………8分
，
而，所以…………………9分
因为点在椭圆上，所以，
整理可得：，满足，………………………………………………10分
又
…11分
设到直线的距离为，则，……12分
所以为定值. ……………13分
21. 解：（1）∵，∴，
故 …………………………………………………………2分
因为，所以当时，，函数在上单调递增；
当时，当，函数单调递增，
当，函数单调递减； ……………………………4分
（2）∵对任意，不等式对任意的，不等式恒成立，
∴在上恒成立，进一步转化为，……5分
设，当时，；当时，，∴当时，． ………………………………………7分
设，当时，，
当时，，所以时，，…………………………9分
即，所以实数的取值范围为………………………………………10分
（3）当时，等价于．………11分
令，设，则，
∵当时，，∴ ………………………13分
∴在上单调递增，∴，
∴． ………………………………………………………14分
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